2024-2025学年贵州省遵义市正安二中高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年贵州省遵义市正安二中高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.一组数据：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位数为(

)A.34 B.35 C.36 D.372.若A={x|x2<1}，B={x|y=ln(−A.(−1,2) B.[0,1) C.(0,1) D.(−1,0)3.下列函数中，值域为R且区间(0,+∞)上单调递增的是(

)A.y=−x3 B.y=x(x−2) C.y=4.已知条件p：−1≤x<2，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为(

)A.{a|a>2} B.{a|a≥2} C.{a|a<−1} D.{a|a≤−1}5.已知函数f(x)=x2+2x,x≤0ln(x+1),x>0，则不等式A.(−∞,−1]∪[1,+∞) B.(−∞,−2]∪[0,+∞)

C.[1,+∞) D.[0,+∞)6.已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，P是抛物线C上的一点，O为坐标原点，|OP|=43，则A.4 B.6 C.8 D.107.已知函数f(x)=(x−a)(x2−x)在x=a处取得极小值，则a=A.−1 B.0 C.1 D.0或18.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则(

)A.两人都中靶的概率为0.12 B.两人都不中靶的概率为0.42

C.恰有一人中靶的概率为0.46 D.至少一人中靶的概率为0.74二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列结论中正确的是(

)A.已知集合A={0,2a+1,a2+3a+1}，若−1∈A，则实数a=−2

B.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x+y≥4”的充分不必要条件

C.若a<b<0，则ba>ab

D.10.下列各组函数是同一个函数的是(

)A.f(x)=x2−2x−1与g(t)=t2−2t−1

B.f(x)=x0与g(x)=1

C.11.对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下结论，①(xA.f(x)=lnx B.f(x)=sin(π2x) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(2x−13x13.已知函数f(x)=log16x,x≤22f(x−1),x>2则14.函数f(x)=2x3−3x+1四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知函数f(x)=(x−2)ex．

(1)求函数y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)求函数f(x)的单调区间．16.(本小题12分)

某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛，比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每个题的概率均为23，且相互间没有影响．

(Ⅰ)求选手甲进入复赛的概率；

(Ⅱ)设选手甲在初赛中答题的个数为X，试求X的分布列和数学期望．17.(本小题12分)

如图，AB是圆的直径，平面PAC⊥面ACB，且AP⊥AC．

(1)求证：BC⊥平面PAC；

(2)若AB=2，AC=1，AP=1，求直线AC与面PBC所成角的正弦值．18.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，过F2的直线与椭圆C交于M，N两点，且△MNF1的周长为8，△MF1F2的最大面积为3．

(Ⅰ)19.(本小题12分)

定义：一个正整数n称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列a1，a2，…，ak，满足①②：

①a1<a2<...<ak−1<ak=n(k≥2)；

②1a1+1a2参考答案1.D

2.C

3.D

4.C

5.B

6.B

7.C

8.C

9.ABD

10.AC

11.BCD

12.−1760

13.1

14.3

15.解：(1)∵f(x)=(x−2)ex，∴f(0)=−2，

且f′(x)=(x−1)ex，∴f′(0)=−1，

∴函数y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=−x−2，即x+y+2=0．

(2)∵f(x)=(x−2)ex，f(x)的定义域为R，

∴由(1)得f′(x)=(x−1)ex．

令f′(x)=0，解得x=1，

∴当x∈(−∞,1)时，f′(x)<0，函数f(x)在(−∞,1)上单调递减；

当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)在(1,+∞)上单调递增，

16.解：(Ⅰ)设选手甲任答一题，正确的概率为P，则P=23，

记选手甲进入复赛为事件A，则甲选答3道题目后进入复赛的概率为(23)3=827，

或选手甲答了4个题，前3个2对1错，第4次对进入复赛，∴C32(23)21323=827，(4分)

或选手甲答了5个题，前4个2对2错，第5次对进入复赛，∴C42(23)2(13)2X345P1108∴EX=10727(13分17.解：(1)证明：因为平面PAC⊥面ACB，且AP⊥AC，

又平面PAC∩面ACB=AC，AP⊂平面PAC，

所以PA⊥面ACB，又因为BC⊂平面PBC，

所以PA⊥BC，又AB是圆的直径，所以AC⊥BC，

又AC∩PA=A，AC，PA⊂平面PAC，

所以BC⊥平面PAC；

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，

因为AC⊥BC，所以BC=AB2−AC2=4−1=3，

所以C(0,0,0),A(0,1,0),B(3,0,0),P(0,1,1)，

则CB=(3,0,0),CP=(0,1,1)，

设平面PBC的法向量为m18.解：(Ⅰ)因为△MNF1的周长为8，△MF1F2的最大面积为3，

所以4a=812⋅2bc=3a2=b2+c2，

解得a=2，b=3或a=2，b=1，

则椭圆C的方程为x24+y23=1或x24+y2=1；

(Ⅱ)因为b>1，

由(Ⅰ)知，F2(1,0)，

设直线MN的方程为x=my+1(m≠0)，P(t,0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

联立x=my+1x24+y23=1，消去x并整理得(4+3m2)y2+6my−9=0，

由韦达定理得y119.解：(1)若n是“漂亮数”，设a1<a2<...<ak−1<ak=n(k≥2)满足1a1+1a2+...+1ak=1．

则1=1a1+1a2+...+1ak>1a1，∴a1>1，即a1≥2．

故a2>a1≥2，得a2≥3，从而1a1+1a2≤12+13<1，∴k≥3．

此时，假设ak=n≤5，则a1，a2，…，ak≤5．

但由于k≥3，故1a1+1a2+...+1ak的全部可能取值就是12+13+14，12+13+15，12+14+15，13+14+15，12+13+14+15，

计算可知它们都不等于1，不满足②；

∴n≥6．

∵1=12+13+16，∴6是“漂亮数”．

∴最小的“漂亮数”是6．

(2)若n是“漂亮数”，设a1<a2<...<ak−1<ak=n(k≥2)满足1a1+1a2+...+1ak=1．

则1=1a1+1a2+...+1ak>1a1，∴a1>1，即a1≥2．