专题07导数与函数的单调性（五大题型重难点突破）

专题07导数与函数的单调性知识点一：单调性基础问题1、函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．2、已知函数的单调性问题=1\*GB3①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；=2\*GB3②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．知识点二：讨论单调区间问题类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；（5）导数图像定区间；【解题方法总结】1、求可导函数单调区间的一般步骤（1）确定函数的定义域；（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性．注：①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数．②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论：单调递增；单调递增；单调递减；单调递减．重难点题型一：求单调区间例1、（2122高三上·广东珠海·期末）函数的递减区间为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用导数与原函数单调性的关系进行求解即可.【详解】，由，所以函数的递减区间为，故选：C例2、（2324高二下·江苏·阶段练习）函数的单调增区间为．【答案】（或）【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可.【详解】函数的定义域为，又，令，解得，所以函数的单调增区间为（或）.故答案为：（或）例3、（2223高二下·河南省直辖县级单位·期末）的单调增区间为.【答案】【分析】利用导数求解．【详解】函数定义域是，由已知，由得，所以递增区间为.故答案为：．变式训练1、（2223高二下·河南省直辖县级单位·阶段练习）设，则的单调递减区间是（

）A． B．C． D．和【答案】D【分析】利用函数的单调性与导函数的正负之间的关系即可得.【详解】由，得，令，得或，，的变化情况如下表所示.单调递减单调递增单调递减所以，的单调递减区间是和.故选：D.变式训练2、（2223高二下·福建福州·期中）已知函数，则其单调增区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出的定义域和导数，解不等式结合定义域即可求解.【详解】由，函数定义域为，求导，令，得或（舍去）,所以单调增区间是故选：D.变式训练3、（2223高二下·广东茂名·阶段练习）函数的单调递减区间是.【答案】【分析】求导函数并由求自变量范围，即可得单调递减区间.【详解】由题设，令，解得，因此，函数的单调递减区间是.故答案为：重难点题型二：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像例4、（2122高二下·安徽安庆·阶段练习）设是函数f(x)的导函数，的图象如图所示，则的解集是.【答案】【分析】根据原函数与导函数的图象关系，分类讨论求解即可得到答案.【详解】当时，，为减函数，所以，即，当时，，为增函数，所以，即，当时，，为减函数，所以，即，综上的解集为故答案为：例5、（2324高二下·重庆黔江·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用的图象分析的正负情况，从而分类讨论即可得解.【详解】由图象可知在上单调递增，在上单调递减，所以当或时，；当时，；而等价于①，或②，由①得或，则，由②得，则，综上，.故选：B.例6、（2324高二上·山西长治·期末）函数的导函数的图象如图所示，那么该函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据导函数的图像利用导数函数知识从而得到的图像，从而求解.【详解】由题意知与轴有三个交点，不妨设为，当，，当，,当，，当，，所以在区间，单调递减，故A、C错误；在区间,单调递增，故B错误，故D正确.故选：D.变式训练4、（2324高二下·湖北黄冈·阶段练习）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为．【答案】【分析】由函数图象的单调性可得其导数的正负，即可解出该不等式.【详解】由的图象可得在，上单调递增，在上单调递减，所以当时，，当x∈时，，因为，所以或，即或或，解得或，所以原不等式的解集为．故答案为：.变式训练5、（2324高三上·辽宁抚顺·开学考试）如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函数的单调性与导数的关系及符号法则解不等式即可.【详解】由题可得函数的单调增区间为，，单调减区间为，所以时，，时，，由，可得或，所以.故选：D.变式训练6、（2223高二下·四川乐山·期中）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数图象判断其导数的正负情况，即可求得答案.【详解】由函数的图象可知当或时，；当时，，等价于或，故不等式的解集为，故选：A重难点题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围例7、（1718高二下·辽宁沈阳·期中）设函数在区间上单调递减，则实数取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出原函数的导函数，由导数小于零，求出函数的减区间，由题意得到关于的不等式组，求解得答案．【详解】由（），得，由，得，解得，所以的减区间为因为在区间上单调递减，所以，解得，所以实数的取值范围是，故选：D例8、（2324高三上·山西晋中·阶段练习）若函数在区间单调递增，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的单调性可得在上恒成立，则在上恒成立，结合函数单调性得最值，即可得的取值范围.【详解】若函数在区间单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立；又函数在上递减，所以恒成立，则故的取值范围是.故选：D.例9、（2223高三上·江苏扬州·开学考试）已知，其中e为自然对数的底数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由，得，再由，得，由，得，然后构造函数，利用导数判断其单调性，可比较出的大小，从而可得答案.【详解】令，则，当时，，当时，，所以当时，取得最小值，即，所以，所以﹔因为，所以，令（），则，当时，，当时，，所以当时，取得最小值，所以，所以，所以：设设在上，，递减，所以所以，递增，所以，即所以综上：故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数判断函数的单调性，考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是根据合理构造函数，通过函数的单调性比较大小，考查数学转化思想，属于较难题.变式训练7、（2223高二下·广西南宁·期末）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即a的最小值为．故选：D．变式训练8、（2324高三上·上海静安·期中）函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】求导，即或恒成立，分类讨论即可.【详解】因为函数在区间上是单调函数，则在上有或恒成立，当时，即，则，当时，即，则，综上：实数a的取值范围是.故答案为：变式训练9、（1920高二下·宁夏·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是．【答案】【分析】对函数求导，函数在上单调递增，即在上恒成立，分离参数求出最值，可得实数的取值范围．【详解】在上恒成立，即在上恒成立，在上单调递增，故答案为：【点睛】本题考查导数在单调性中的应用，考查学生计算能力，属于基础题．变式训练10、（2023·辽宁·模拟预测）若，，，则、、的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，，利用导数分析函数在上的单调性，可得出、、，结合函数的单调性可得出、、的大小关系.【详解】设，，当时，，令，则，所以函数在区间上单调递减，所以，又，所以，所以函数在区间上单调递减，所以，故.故选：B.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.重难点题型四：不含参数单调性问题例10、（2122高三上·河南·阶段练习）已知函数.(1)若，求的单调递增区间；(2)已知在区间上单调递增，求实数的取值范围.【答案】(1)单增区间为，(2)【分析】（1）求出导函数，解可得增区间；（2）求出导函数，由在上恒成立可得参数范围．【详解】（1）由题可知：，当时，，由得：或，故的单增区间为，.（2）由（1）可知，若在区间上单调递增，则对恒成立，即对恒成立，结合，从而，即对恒成立，于是.例11、（2021·陕西榆林·模拟预测）已知函数的定义域为．（1）求的单调区间；（2）讨论函数在上的零点个数【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为，（2）答案见解析【分析】（1）求出函数导数，令，分析导数在零点分割定义域所得区间上的符号，即可的出函数的单调性；（2）原函数零点可转化为方程根的个数，利用函数的单调性求出函数的极值，即可讨论出答案.【详解】（1），因为，所以的零点为0和1.令，得；令，得或.所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.（2）由（1）知，在上的极大值为，极小值为，因为，，所以.，由，得.当或时，的零点个数为0；当或时，的零点个数为1；当或时，的零点个数为2；当时，的零点个数为3.【点睛】关键点点睛：函数在上的零点个数可转化为在上根的个数，需要结合函数的极值，讨论的范围得出方程根的个数，属于中档题.变式训练11、（2223高三上·北京海淀·期中）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若在区间上的取值范围是，求的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为，；单调递减区间为(2)【分析】（1）求导后，根据的正负即可确定的单调区间；（2）分别令，可求得的临界值，分别在、和的情况下，根据值域确定满足题意的范围.【详解】（1）由题意知：定义域为，，当时，；当时，；的单调递增区间为，；单调递减区间为.（2）由得；，解得：或；由得：或；；①当时，，不合题意；②当时，，即值域为，满足题意；③当时，，不合题意；综上所述：实数的取值范围为.变式训练12、（1819高二·全国·单元测试）已知函数（为自然数对数的底数）.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.【答案】(1)递减区间是和，递增区间是；(2).【分析】(1)当时，求出函数的导数，再求出导数值大于0及小于0的x取值区间即可得解；(2)求出函数的导数，由给定条件转化成恒成立的不等式即可求解作答.【详解】(1)当时，，求导得，解得或，解得，所以函数的单调递减区间是和，单调递增区间是；(2)依题意，，因函数在上单调递增，则，令，，显然在上单调递增，于是得时，，则，所以的取值范围是.重难点题型五：含参数单调性问题例12、（2324高三上·江苏淮安·开学考试）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)求证：当时，．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论，从而求得的单调区间.（2）将要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.【详解】（1）因为，所以．①当时，在单调递减；②当时，由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）当时，，要证明，只要证，即证，设，则，令得，列表得a10单调递减极小值单调递增所以，即，所以．例13、（2223高二上·重庆沙坪坝·期末）已知函数，其中是自然对数的底数．(1)讨论函数的单调性；(2)若在区间上有解，求实数的取值范围．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先求出导数，分，，讨论单调性.(2)根据第（1）问，分，，讨论在的单调性，求【详解】（1）当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增.当时，时，；时，所以函数在上单调递增，在上单调递减.当时，时，；时，所以函数在上单调递增，在上单调递减.综上：时在上单调递增.时在上单调递增，在上单调递减时在上单调递增，在上单调递减.（2）若在区间上有解，即求当时在上单调递增，所以在上的最小值为不成立，故不满足题意.当时在上单调递增，在上单调递减当时，所以函数在单调递减，所以成立，满足题意.时，函数在单调递减，在上单调递增.所以不成立，舍去时在上单调递增，在上单调递减.所以函数在单调递增，，所以综上的取值范围为：例14．（2122高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若对任意的，都有成立，求a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求出，分别讨论不同范围下的正负，分别求单调性；（2）对任意的，都有成立，只需任意的，，然后，结合（1）的单调性求出即可求解【详解】（1）该函数的定义域为，，①当时，恒成立，函数的递增区间为；②当时，令，解得或，所以函数的递增区间为，递减区间为，所以当时，函数的递增区间为；当时，函数的递增区间为，递减区间为．（2）对任意的，都有成立，只需任意的，，①当时，在上是增函数，所以只需，而，所以满足题意；②当时，，在上是增函数，所以只需，而，所以满足题意；③当时，，在上是减函数，在上是增函数，所以只需即可，而，从而不满足题意；综上①②③可得：实数a的取值范围为．变式训练13、（2122高三上·河南许昌·阶段练习）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）求的导函数，讨论参数判断的符号，进而确定的单调性；（2）由题设可知在上恒成立，构造并利用导数研究单调性，即可求的取值范围.【详解】（1）∵，当时，，由得；由得.当时，令，令得，.当时，由得；由得.当，即时，由得；由得.当，即时，恒成立.当，即时，由得，由得.综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在，上单调递增，在上单调递减.（2）由，故在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，设，则，令，则，，则，在上单调递减，则，，则在上单调递减，有，的取值范围是.【点睛】关键点点睛：第二问，问题转化为在上恒成立，构造函数并利用导数研究单调性求值域，进而确定参数范围.变式训练14、（2021高二上·陕西宝鸡·期末）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）．【解析】（1）求出导函数，分类讨论确定的解得增区间，同时可由得减区间；（2）由（1）得的最小值为，解不等式可得．【详解】（1）函数定义域为，由题意，当时，在时，恒成立，在上单调递增，当时，的解为，的解为，在上递增，在上递减．（2）由（1）知时，在上递增，在上递减．所以，恒成立，则，即，由于时，，不等式不成立，所以，解得．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，研究不等式恒成立问题．一般地恒成立等价于，恒成立，等价于，然后解不等式可得参数范围．或者用分离参数法转化为（其中不参数），则，若，则．变式训练15、（2023·全国·模拟预测）已知.(1)讨论函数的单调性.(2)函数在上是否存在两个零点？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)答案见解析(2)不存在，理由见解析【分析】（1）含有参数的单调性讨论问题，先求导，再分解因式，讨论根的大小问题；（2）由单调性讨论零点的存在与大小即可.【详解】（1）由题意知，函数的定义域为，且

①当时，因为，所以，所以.所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.②当时，由，解得；由0，解得或.所以在上单调递减，在，上单调递增.③当时，（当且仅当时，取等号）恒成立，所以在上单调递增.④当时，由，解得；由，解得或.所以在上单调递减，在，上单调递增.综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增.（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，则最多只有一个零点，不符合题意.当时，在上单调递减，在，上单调递增，所以.当时，，显然与矛盾，所以当时，最多只有一个零点.综上，对于，函数在上不存在两个零点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点，考查分类讨论思想，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养.1．（1920高二下·浙江宁波·期中）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求导，令求解.【详解】解：因为，所以，令，得，所以的单调递减区间为，故选：B2．（2023高三·全国·专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先计算出,由存在单调递减区间知在上有解即可得出结果.【详解】函数的定义域为，且其导数为．由存在单调递减区间知在上有解，即有解．因为函数的定义域为，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是．故选:B．3．（2223高二下·全国·课时练习）如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（

）A．在区间上是减函数B．在区间上是减函数C．在区间上是增函数D．在区间上是增函数【答案】AC【分析】根据函数的导函数图象，即可逐项判断.【详解】对A：由导函数的图象知在区间上，，故在区间上单调递减，故A项正确；对B、D：在区间，上分别有大于零和小于零的部分，故在区间，上不单调，