2023-2024学年北师大版九年级数学上册2.1.2一元二次方程解的估算 教案

2023--2024学年北师大版九年级数学上册2.1.2一元二次方程解的估算教案学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容2023--2024学年北师大版九年级数学上册2.1.2一元二次方程解的估算教案

本节课主要内容包括北师大版九年级数学上册第二章第一节“一元二次方程”中的2.1.2“一元二次方程解的估算”。具体内容涉及：

1.一元二次方程解的概念和性质；

2.利用估算方法求解一元二次方程；

3.通过实际例子掌握估算方法的运用；

4.分析估算结果，提高解题精度和效率。核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养。通过探究一元二次方程解的估算方法，学生将提升对数学问题的抽象思维能力，能够从实际问题中提炼出一元二次方程模型。同时，通过估算方法的运用，学生将增强逻辑推理能力，学会如何分析问题、选择合适的解题策略。在运算过程中，学生将提高精确计算与估算的技能，发展数学运算素养，为解决更复杂的数学问题奠定基础。教学难点与重点1.教学重点

本节课的教学重点是让学生掌握一元二次方程解的估算方法，具体包括：

-理解一元二次方程解的概念，如方程ax^2+bx+c=0的解是什么。

举例：求解方程x^2-4x+3=0的解，学生需要理解解的含义和求法。

-掌握利用估算方法求解一元二次方程，如通过观察系数和根的符号进行估算。

举例：对于方程x^2-2x-3=0，学生要学会通过系数估算解的大致范围。

2.教学难点

本节课的教学难点在于如何准确地运用估算方法，并理解其背后的数学原理，具体包括：

-理解并应用一元二次方程的根的判别式，判断方程的根的性质（实数根、相等根、复数根）。

难点：学生可能难以理解判别式的计算和如何根据判别式的值来判断根的性质。

举例：对于方程x^2-4x+4=0，学生需要通过判别式b^2-4ac=0来判断方程有两个相等的实数根。

-学会根据一元二次方程的系数进行估算，预测解的范围。

难点：学生可能不习惯于通过系数进行估算，容易忽略估算的重要性。

举例：在求解方程x^2-5x+6=0时，学生需要通过观察系数和根的符号来估算解的范围，而不是直接求解。教学资源-硬件资源：多媒体投影仪、计算机

-软件资源：数学教学软件（如几何画板、数学工具）

-课程平台：学校教学管理系统

-信息化资源：数学教学视频、在线练习题库

-教学手段：板书、PPT演示、小组讨论、实物模型教学流程1.导入新课（5分钟）

详细内容：通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的基本概念和求解方法，例如让学生举例说明一元二次方程的标准形式，并询问他们之前学过的求解一元二次方程的方法。接着，提出问题：“当方程的根不容易直接求解时，我们能否采用其他方法来估算方程的解？”从而引出本节课的主题——一元二次方程解的估算。

2.新课讲授（15分钟）

详细内容：

-讲解一元二次方程解的估算概念，介绍估算的意义和在实际问题中的应用。

举例：通过一个实际生活中的问题，如投掷物落地时间估算，引导学生理解估算的重要性。

-介绍一元二次方程解的估算方法，包括判别式的应用和系数的观察。

举例：利用方程x^2-4x+3=0，讲解如何通过判别式估算解的性质，并通过系数判断解的范围。

-分析估算方法的局限性，强调估算结果需要进一步验证。

举例：对于方程x^2-2x-3=0，说明估算得到的解的范围，并指出需要精确计算来验证估算结果。

3.实践活动（10分钟）

详细内容：

-让学生独立完成几个一元二次方程的估算练习，巩固估算方法。

举例：提供方程x^2-3x+2=0，要求学生估算解的范围，并尝试精确求解验证。

-通过小组合作，让学生互相检查估算结果，讨论估算的准确性和改进方法。

举例：小组内部分别求解方程x^2-5x+6=0和x^2-4x+4=0，讨论估算过程中遇到的困难和解决策略。

-利用教学软件或在线资源，让学生通过互动方式探索一元二次方程解的变化规律。

举例：使用几何画板软件，让学生观察不同系数的一元二次方程图像，理解系数变化对解的影响。

4.学生小组讨论（10分钟）

详细内容：

-讨论一元二次方程解的估算方法在实际问题中的应用。

举例：讨论如何利用估算方法来预测物体的运动轨迹。

-分析估算过程中可能出现的误差，探讨减少误差的方法。

举例：分析估算过程中忽略小数或近似值对结果的影响，讨论如何提高估算精度。

-分享各自在估算一元二次方程解时的经验和心得，交流学习心得。

举例：学生分享在估算x^2-4x+3=0的解时，如何利用判别式和系数进行估算的经验。

5.总结回顾（5分钟）

详细内容：回顾本节课学习的重点内容，包括一元二次方程解的估算方法、估算的局限性和在实际问题中的应用。强调估算作为一种快速得到近似解的方法，在解决实际问题中的重要性，并指出在实际应用中需要结合精确计算来验证估算结果。同时，提醒学生注意估算过程中的误差，并探讨如何提高估算的准确性。学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.理解并掌握了一元二次方程解的估算方法，能够运用估算技巧快速判断方程解的性质和范围。通过本节课的学习，学生能够独立分析一元二次方程的系数，利用判别式进行初步的估算，例如在解决x^2-4x+3=0时，学生能够通过判别式b^2-4ac=4-12=-8，判断该方程没有实数根。

2.学生能够将估算方法应用于实际问题的解决中，提高了数学建模和解决问题的能力。通过实践活动，如估算投掷物体落地时间的问题，学生不仅学会了估算技巧，还学会了如何将估算应用于具体情境，增强了解决实际问题的信心。

3.在小组讨论中，学生能够积极参与，与同伴交流估算心得，共同探讨估算的准确性和改进方法。这种合作学习促进了学生之间的思维碰撞，例如在讨论x^2-5x+6=0的估算过程中，学生互相指出对方估算的不足，并共同寻找解决方案。

4.学生通过使用教学软件和在线资源，对一元二次方程的图像有了更直观的认识，能够更好地理解方程系数与图像之间的关系。例如，在几何画板上观察不同系数的方程图像，学生能够直观地看到系数变化对方程解的影响。

5.学生能够意识到估算的局限性和必要性，学会了在估算后进行精确计算以验证估算结果，提高了数学运算的准确性。在解决x^2-3x+2=0时，学生先进行估算，然后通过因式分解或求根公式得到精确解，从而验证估算的合理性。

6.学生在总结回顾环节能够清晰地复述本节课的重点内容，表明他们已经内化了所学知识。通过回顾一元二次方程解的估算方法和实际应用，学生能够更好地构建自己的知识体系。

7.学生在估算一元二次方程解的过程中，逐渐培养了数学抽象和逻辑推理的能力，这些能力的提升为他们后续学习更高阶的数学知识打下了坚实的基础。例如，通过分析方程x^2-4x+4=0的解，学生学会了如何从具体问题中抽象出数学模型，并运用逻辑推理来解决问题。典型例题讲解例题1：

求解方程x^2-6x+9=0，并估算其解的范围。

解答：

这是一个完全平方公式，可以直接得到解x=3。估算解的范围时，由于a=1,b=-6,c=9，判别式b^2-4ac=(-6)^2-4*1*9=36-36=0，因此解为两个相等的实数根，估算范围是x=3。

例题2：

估算方程x^2-5x-6=0的解的范围，并用精确计算验证。

解答：

观察系数，a=1,b=-5,c=-6，判别式b^2-4ac=(-5)^2-4*1*(-6)=25+24=49，解的范围在x=-1和x=6之间。通过求根公式得到解x=6或x=-1，验证估算的正确性。

例题3：

如果一个二次函数的图像开口向上，且顶点坐标为(2,-3)，求该二次函数的表达式，并估算其与x轴交点的范围。

解答：

由于顶点坐标为(2,-3)，二次函数的表达式可以写为y=a(x-2)^2-3。由于图像开口向上，a>0。估算与x轴交点的范围，即解方程a(x-2)^2-3=0。由于a>0，解的范围在x<2和x>2的两侧。

例题4：

某物体的运动轨迹可以用方程x^2-4x+4=0来描述，估算该物体在运动过程中与地面接触的时间点，并用实际计算验证。

解答：

方程x^2-4x+4=0可以化简为(x-2)^2=0，解得x=2。估算物体与地面接触的时间点在x=2附近。实际计算得到精确解x=2，验证估算的准确性。

例题5：

一个抛物线的顶点在原点，且经过点(4,8)，求该抛物线的方程，并估算其与x轴交点的范围。

解答：

由于顶点在原点，抛物线的方程可以写为y=ax^2。由于经过点(4,8)，可以求得a=2。因此，抛物线的方程为y=2x^2。估算与x轴交点的范围，即解方程2x^2=0，解得x=0，估算范围为x=0两侧。教学评价与反馈1.课堂表现：

学生在课堂上的表现积极，能够跟随教师的引导，理解一元二次方程解的估算方法。在讲解估算方法时，学生能够主动提问，表现出对知识点的兴趣和好奇心。在实践活动中，学生能够独立完成练习题，并在教师的引导下，对自己的估算结果进行反思和修正。

2.小组讨论成果展示：

小组讨论环节，学生能够围绕估算方法的有效性和准确性进行深入探讨。各小组在成果展示时，能够清晰地表达自己的观点，如对估算方法的改进建议、估算过程中可能遇到的困难等。同时，学生能够积极地接受同伴的反馈，共同提高估算能力。

3.随堂测试：

随堂测试旨在检验学生对一元二次方程解的估算方法的掌握程度。测试内容包括估算方法的运用、估算结果的验证等。通过测试，发现大部分学生能够正确运用估算方法，并对估算结果进行验证。但对于一些复杂情况，部分学生还需要进一步的练习和指导。

4.课后作业反馈：

课后作业的布置旨在巩固学生对课堂所学知识的理解和应用。学生提交的作业显示，大部分学生能够独立完成题目，但仍有少数学生在估算方法的运用上存在困难。教师针对这些学生的作业进行了个别辅导，帮助他们理解估算的原理和技巧。

5.教师评价与反馈：

针对本节课的教学，教师认为学生在理解一元二次方程解的估算方法上取得了良好的进展。在课堂表现、小组讨论、随堂测试和课后作业等