考点02 二次根式（原卷版）

考点二二次根式知识点整合1．二次根式的有关概念（1）二次根式的概念形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．【注意】被开方数只能是非负数．即要使二次根式eq\r(a)有意义，则a≥0．（2）最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．（3）同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．2．二次根式的性质（1）≥0（≥0）；（2）；（3）；（4）；（5）．3．二次根式的运算（1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．（2）二次根式的乘除乘法法则：；除法法则：．（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．考向一二次根式的概念及性质1．二次根式的有关概念（1）二次根式的概念形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．2．二次根式的性质（1）≥0（≥0）；（2）；（3）；（4）；（5）．典例引领1．在函数中，自变量的取值范围是（

）A．且 B． C．且 D．且2．下列式子有意义的是（

）A． B． C． D．3．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）A． B． C． D．4．要使在实数范围内有意义，应满足的条件是（

）A． B． C． D．5．若在实数范围内有意义，则实数的值可以是．（写一个即可）6．若在实数范围内有意义，则x取值范围为．7．要使代数式有意义，则x可以取的最小整数是．8．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．9．函数的自变量x的取值范围是．10．若代数式有意义，则的取值范围是．11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．若x、y都是实数，且，则的平方根为．13．函数中自变量x的取值范围是14．已知：a、b、c满足．(1)求a、b、c的值；(2)试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请判断三角形的形状；若不能构成三角形，请说明理由．15．已知．(1)求a的值；(2)求的平方根．16．若有意义，求的值．17．如果，求代数式的值．变式拓展1．要使代数式有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．若二次根式有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．下列根式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．4．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．函数中自变量的取值范围是（

）A． B．且 C．且 D．7．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．8．使等式成立的x的取值范围在数轴上可以表示为（

）A． B．C． D．9．在函数中，自变量x的取值范围是（

）A．且 B．且 C． D．10．若，则xy的值为（

）．A．8 B．12 C．5 D．-811．二次根式有意义，则x．12．使代数式有意义的x的取值范围是．13．在函数中，自变量的取值范围是．14．，则的平方根为．15．下列各式：①②③④，其中一定是二次根式的是．（只填序号）16．在函数中，自变量x的取值范围是．17．若x、y都是实数，且，求．18．函数中，自变量的取值范围是．考向二二次根式的运算（1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．（2）二次根式的乘除乘法法则：；除法法则：．（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．典例引领1．已知，求代数式的值．2．实数、在数轴上的位置如图所示，化简：．3．计算：．4．计算(1)(2)5．已知，，求的值．6．计算：(1)；(2)．7．计算(1)；(2)；(3)8．已知的立方根是2，是的整数部分，是9的平方根，求的算术平方根．9．（1）已知的平方根为，的立方根为2，求的算术平方根．（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简：．10．我们知道无理数都可以化为无限不循环小数，所以的小数部分不可能全部写出来，若的整数部分为，小数部分为，则，且．(1)的整数部分是________，小数部分是________；(2)若的整数部分为，小数部分为，求的值．11．计算：(1)；(2)．12．当时，求的值，如图是小亮和小芳的解答过程：(1)______的解法是错误的；(2)当时，求的值．13．观察下列各式：第1个算式：；第2个算式：；第3个算式：；……请利用你所发现的规律，解决下列问题：(1)第5个算式为__________．(2)第n个算式为___________．（请用含n的式子表示）(3)求的值．14．细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题：，，（是的面积）；，，（是的面积）；，，（是的面积）；…(1)填空：__________，__________；(2)请用含有n（n为正整数）的式子填空：___________，___________；(3)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值；15．已知正数，正数的两个不同的平方根分别是和，(1)求，的值；(2)求的值．变式拓展1．计算：(1)；(2)．2．计算：(1)(2)3．计算题(1)(2)(3)(4)4．[阅读材料]材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的．例如，化简解：材料二：化简方法，如果能找到两个实数m，n，使，并且，那么．例如，化简解：【理解应用】(1)填空：化简的结果等于______．(2)计算：①②5．如图甲，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，魔方体积为．

(1)求出这个魔方的棱长．(2)图甲中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分正方形的边长．(3)把正方形放置在数轴上，如图乙所示，使得点与数1重合，则在数轴上表示的数为______．6．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简：以上这种化简的步骤叫做分母有理化．学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．(1)计算：(2)已知是正整数，，，，求；(3)已知，求的值．7．如图，面积为的正方形四个角是面积为的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子．

(1)则原来大正方形的边长为；（保留根号）四个角的小正方形的边长为．（保留根号）(2)求这个长方体盒子的底面边长和体积分别是多少?并将结果精确到0.01．提示：8．我们知道无理数都可以化为无限不循环小数，所以的小数部分不可能全部写出来，若的整数部分为a，小数部分为b，则，且．例如，∴的整数部分为3，小数部分为．(1)的整数部分，是小数部分是；(2)若的整数部分为m，小数部分为n，求的值．9．请阅读下列材料：问题：已知，求代数式的值．小敏的做法是：根据得，∴，得：．把作为整体代入：得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：(1)已知，求代数式的值；(2)已知，求代数式的值10．已知，求代数式值．11．已知，．(1)求的值；(2)求．12．已知，，求的值．13．已知：，求：的值14．把四张形状大小完全相同，宽为的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为盒子底部(如图②)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（

）

A． B． C． D．15．郡园“美美与共”数学兴趣小组编了一个“”的计算程序，规