【高阶微分方程的降阶技巧探究4700字（论文）】

高阶微分方程的降阶技巧研究目录TOC\o"1-2"\h\u25932高阶微分方程的降阶技巧研究 13742引言 11521微分方程的一般理论 2264451.2齐次线性微分方程的解 3107391.3非齐次微分方程的解 4142392可降阶的一些方程的类型 58176以二阶微分方程 5154753降阶的方法和技巧 102618即 1030443.1常数变易法 1118173.2欧拉方程 13189213.3积分因子法 1631326即 1731313例13求方程 189715解现将方程化为 18引言线性微分方程的通解结构问题理论上已解决的很完善。然而，对于一般的高阶微分方程，并没有一种普遍适用的求解方法，解决这一类型方程的原则就是去降低阶数。因为一般来说，低阶的微分方程比高阶微分方程更容易求解。特别是对于高阶齐次线性微分方程，如果已知它的一个不等于零的特殊的解，则可以通过降阶法得到另一个与它线性无关的特解，从而得到方程的通解。另外，常系数线性微分方程及可化为这一类型的方程是能够彻底解决求解问题的一类方程。本篇论文先回顾了课本上的一些基本定理知识，并且对几类微分方程做了基础回顾，让我们对方程的解有一定探究，然后总结了三类简单的可降阶的一些基本的微分方程，为更深入的探讨典型的可降阶的高阶常微分方程的解法打下基础。通过分析方程的类型特点，对于不同类型的高阶方程选择适合的方法来进行科学合理的降阶，并对前面讨论的方法进行归纳总结，随后分析了一些降阶的方法和技巧，通过常数变易法[1]、变量代换法和积分因子等方法来解高阶微分方程，比直接降阶更高效，使得研究课题更具有实际应用价值和意义。1微分方程的一般理论1.1阶齐次线性微分方程严格地说，常微分方程的一般形式是(1)其中是一个元的已知函数，而是未知函数的阶导数。我们称为方程(1)的阶，称方程(1)为阶常微分方程。我们讨论形如以下的微分方程：(2)其中及都是给定区间上的连续函数。如果，则方程（2）可以化为(3)我们称它为阶齐次线性微分方程。定理1对于方程（2）来讨论，如果函数在区间上连续，有直到阶的导数，而且对所有的（2）恒成立，则称为方程（2）在区间上的一个解。把含有个独立的任意常数的解称为阶方程（2）的通解。所谓阶线性微分方程（2）的初值条件是指如下的个条件：当时，这里是给定的个常数。初值条件上式有时写为(4)当一个方程的定解条件为初始条件时，那么相应的定解问题称为这个方程的初始值问题。满足初始条件的解称为这个微分方程的特殊解。不同的初始条件对应不同的特殊解。一般来说，可以通过限制初始值条件，从一般解中确定任何一个常数，从而获得这个方程的特殊解[2-3]。1.2齐次线性微分方程的解对于齐次线性微分方程我们可以从微分式中求出一个常数，和一个函数它和的导数等于导数之和，通过对这两个定律结合与应用，我们能够得到推导出微分方程的一个定理，这个定理就是叠加原理。定理2如果是方程（3）的个解，则它们的线性组合也是（3）的解，这里是任意常数。特别地，当时，即方程（3）有解定理3阶齐次线性微分方程一定存在个线性无关的解，称为其一组基本解组。定理4如果是齐次微分方程的个线性无关的解，则该方程的通解可表为其中是任意常数，而且通解包括了该方程的所有解。1.3非齐次微分方程的解对于非齐次微分方程的解:性质1如果是该方程的解，而是方程的解，则也是该方程的解。性质2方程的任意两个解之差必为齐次微分方程的解。定理5设为齐次微分方程的基本解组，而是非齐次微分方程的某一解，则该方程的通解可表示为其中是任意常数，而且该通解包含了方程的所有解。2可降阶的一些方程的类型以二阶微分方程而论，如果能够利用一些方法作代换把二阶微分方程降至一阶微分方程，那么就能够求出它的解了。下面介绍三种容易降阶的高阶微分方程的求解方法。2.1型微分方程（5）的右端仅含有自变量，容易看出，只要把将其视为一个未知的函数，那么（5）式就转化为新方程，对新方程两边积分，即有阶的微分方程，同理可得依照此方法继续进行，接连积分次，便得方程（5）的含有个任意常数的通解。例1求微分方程的通解。解对原方程接连三次积分，得这就是所求原方程的通解。例2求解微分方程的通解。解对原方程接连两次积分，得这就是所求原方程的通解。2.2型此类方程（6）的右端不显含未知函数，如果我们设，那么而方程（6）就变成，这是一个关于变量的一阶微分方程，设其通解为但是，因此又得到一个一阶微分方程对其进行积分，可得到原方程的通解为例3求微分方程满足条件的特解。解设，代入方程并分离变量后，得两端积分得即由条件，得,所以，两端再积分，得又由条件得,于是所求的特解为例4求解微分方程满足条件的特解。解设，则，原方程化为分离变量得积分得代入初始条件，得,从而有，即又积分得代入初始条件，得,故所求特解为2.3型此类方程（7）中不显含有自变量，为了求出它的解，我们令，并利用复合函数的求导法则把化为对的导数，即这样方程（7）就成为这是一个有关于变量的一阶微分方程，设它的通解为分离变量并积分，便得方程（7）的通解为例5求微分方程解方程不显含自变量，令且原方程化为分离变量得,积分得即，分离变量得积分得即通解为例6求解微分方程解方程不显含自变量令，则且原方程化为分离变量得积分得故分离变量，得由于，故上式两端积分两边平方，得3降阶的方法和技巧对于阶微分方程一般地可以写为但是如果当方程不显含自变量时，则可以令，则方程可以降为关于的阶方程再对方程进行次积分，可以求出方程的通解为即两边同时积分次，得到当方程不显含自变量时，即我们求解一般地，对令，则根据数学归纳法得可由来表示，其中，带入方程可以得到于是我们可以得到关于的阶方程，但是从推导过程我们可以看出应用常规的降阶方法解高阶微分方程过程比较烦琐，因此对于常规的降阶方法只是适合应用在解决高阶微分方程中阶数较低的方程[4]。解高阶方程的关键是在降阶，对于可以降阶的高阶方程，我们可以借助常数变易法、分离变量法和积分因子法等方法做出适当的变量代换转换成低阶的方程，从而可以简便运算过程，提高运算效率。3.1常数变易法在讨论非齐次线性微分方程通解的求法时，我们可以明显的看出齐次线性微分方程，对于这一类方程的其中一种特殊形式就是非齐次线性微分方程，假设：在微分方程的通解中将常数变易为的待定函数令微分之，得到代入有即积分后得到这里为任意常数。将上式代入方程得到非齐次线性微分方程的通解这种将常数变易为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法[5]。这种方法是解高阶线性微分方程的重要方法之一。它更容易理解，因此它的解题思路很清晰，可是在求解高阶微分方程中使用这种方法，还有一个特别重要的条件，就是要知道所求的这个方程的基本的解组，这也是这个方法的不足之处[6]。例7求方程的通解[7]。解该方程对应的齐次线性微分方程为，通过分离变量和积分可以得到对应齐次线性微分方程的通解为我们应用常数变易法，令,将它代入原来的方程可以得到将上面式子两边积分可以得到：所以，原方程的通解为：例8已知是方程的解，求方程的通解。解令，由可得：，其中，为任意常数。故为该方程的通解。例9求微分方程的通解。解方程的特解,由通解公式得：而,所以方程的通解为：3.2欧拉方程欧拉方程是一种特殊的变系数线性微分方程，而对于这种特殊的变系数线性微分方程，也就是欧拉方程。我们就可以用变换法，将其中的一个变量换成另一个含有未知数的函数，这样一来欧拉方程就可以转化为好求解的常系数线性微分方程，这样就使得方程的求解更容易。形如（8）的方程（其中为常数），叫做欧拉方程。做变换或，将自变量换成，则有如果采用记号表示对求导的运算，那么对上述的计算结果可以表示成一般的，有（9）把(9)式代入欧拉方程（8），便得到一个以为自变量的常系数线性微分方程，在求出这个方程的解后，把换成，即得原方程的解。例10求欧拉方程的通解。解令，记，则原方程化为（10）所以特征方程为即，有特征根故方程（10）有通解即原方程的通解为例11求方程的通解。解令，记，则方程可化为（11）其特征方程为即有根，故方程（11）的通解为即原方程的通解为例12求解方程的通解。解令，记，则方程可化为即（12）方程(12)对应的齐次方程的特征方程为，有根，故齐次方程的通解为因不是特征方程的根，故可令是（12）的特解，代入方程（12），比较系数得,即于是方程(12)的通解为即原方程的通解为这里将特殊的变系数微分方程通过变量代换，令或以及采用记号表示，将原方程用表示出来进而求出特征方程的特征根，即可知道原方程的通解。这种方法可以避免通过常用的转化方法下的复杂繁琐的运算过程，实际应用中例如将二阶微分方程通过因式分解法降阶化成一阶微分方程，就可以不需要再通过常系数方法进行转化，这使得欧拉方程的解法显得非常有意义[8]。3.3积分因子法在介绍积分因子法[9]之前，我们先对几种常见的微分方程的积分因子做一下总结：常见类型的微分方程的积分因子：可分离变量的方程有积分因子(2)齐次方程有积分因子(3)齐次方程当，有积分因子贝努利方程有积分因子我们可以将一阶方程写成微分的形式或把平等看待，写成如下具有对称形式的一阶微分方程这里假设在某矩形域内是的连续函数，且具有连续的一阶偏导数。如果方程的左端恰好是某个二元函数的全微分，即这个方程我们称之为恰当微分方程。用积分可以求得恰当微分方程的通解。接下来为了更好的求解这一类方程，使得方程的求解更容易我们加入了一个概念，即积分因子。有一个连续可微的函数，使得为一恰当微分方程，即存在，使则称为方程的积分因子。一般情况下积分因子求解的过程相对比较复杂，我们在本文中讨论的是线性微分方程的积分因子。我们令根据此前所学知识，积分因子只与有关，这样只是求解积分因子的一种特殊情况，我们能够求出积分因子对于二阶微分方程能否找到非零二阶可微函数两边同乘以方程后方程转化为如果存在使得以上方程成立，则分别称为的第一积分因子和第二积分因子。如果存在非零二阶可微函数，使成立，则方程的通解为例13求方程的通解。解现将方程化为由我们可以得到：对方程作变量代换，令，通过化简整理可得：取，即，由此可得因此可以取由此可以得到通解为：例14解方程解所以原方程的通解为例15解方程解把方程改写为容易观察出一个积分因子为，将它乘原方程两边，得即从而原方程得通解为虽然对于使用积分因子法求解微分方程时，对于求解的过程中的替换思想可能很难理解。如果利用积分因子法求解时，相对来说求解的过程更注重有较高的技巧性，这种方法也有不好的地方，就是在运用方法过后实际的运算难度就很高。而且在利用方程积分因子求解时，不需要知道变量分离方程与齐次方程的一般解和特殊解之间的关系和性质。在平时的解题中，我们要灵活的应用这些方法，寻找适合解题的方法进行求解。积分因子法是难理解，可是它能够很好的让我们理解求解线性微分方程的思想，不能因为涉及到恰当方程，而选择别的方法。更况且难以理解的方法越用也会越熟练[10]。结束语在微分方程中，高阶微分方程的解法一直是一个学习的难点。通过梳理已有的微分方程的理论知识和结构，从对不同方程的特点和解做总结和探究，使得进一步讨论高阶线性微分方程的解法就显得比较容易。在探究的过程中，我们还是要做到在大学课堂学好教授给我们的数学理