2023-2024学年北京通州区初二（上）期中数学试题及答案

2023北京通州初二（上）期中数学考生须知：1．本试卷共6页，共三道大题，28个小题，满分为分，考试时间为分钟．2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束后，请将答题卡交回．一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．x+1x−21.要使分式有意义，x的取值应满足（）A.x22.如图所示，AD是，△ACEB.x2且x1C.x1D.x=2中边上的高，延长EC至点B，使CE=，连接AB．设的面S1S2积为的面积为，那么下列判断正确的是（）1S21S2A.B.SC.D.不能确定D.扩大9倍1x+yxy中的和都扩大倍，那么分式的值（33.如果把分式）A.不变B.扩大3倍C.扩大6倍a4.已知三条线段的长分别是3，8，如果这三条线段首尾顺次相接能构成一个三角形，那么整数的最大值是（）A.B.C.9D.7xm−125.计算的结果正确的是（）m+12xm−1m+1m−1m−12m+2A.B.C.D.222x116x+y+=3，那么分式6.如果的值是（）xyA.6B.3C.2D.127.如图，AC与BD相交于点O，ABDC，要使△DCO=，则需添加的一个条件可以是（）A.=B.A=DC.=AOB=D.8.如图，测量河两岸相对的两点A，B的距离时，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，CE在同一直线上时，可证明△EDC≌△ABC，从而得到ED＝AB，则测得ED的长就是两点A，B的距离．判定△EDC≌△ABC的依据是（）A.“边边边”B.“角边角”D.“边角边”C.“全等三角形定义”二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）△，BC=7，EC=4，则CF的长为_____．9.如图，△ABCa2b2+10.计算的结果是______．a−bb−a△△．如图，已知平分BAD．请添加一个条件：______，使12x+312.分式方程=的解为________．x13.如图，在中，AD=，是BC边上的中线，⊥，垂足为E，已知CBE=25．那么BAC的度数为______．1314.分式和的最简公分母为______．26x2y4xy15.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰三角形是是“倍长三角形”，底边BC长为5，则等腰三角形的周长为______．16.定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分式”．x+1x−1+2x−1223x−2x+−5x+55x+1==+=1+;==+=3+例如：；将x−1x−1x−1x−1x−1x+1x+1x+1x+14x+12x−1“赋整分式”化为一个整数与一个分子为常数的分式的利的形式是______．三、解答题（本题共分，第－24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．2a−b1a+b17.计算：−．a22x218.解分式方程：−=1．x+1x2−119.如图，在中，延长到点E，使EAAB，过点E作=ED∥AB且=，连接AD．求证：=．=，点D，E在BC边上，且=．求证：=CAE．20.如图，在中，ADAEba+baa−b1−a−b=6，其中．21.先化简，再求值：22中，AD平分BAC交BC于点，⊥于点，如果=，5022.如图，在DEBACE=30，求ADC的度数．23.下面是学习了分式混合运算后，甲，乙两名同学解答一道题目中第一步的做法，选择其中一名同学的做法，完成解答过程．3xxx2−1−计算：x−1x+12x甲同学解：原式=乙同学解：原式+−2−+−3x(xx(xx13xx+(xx−=−．(x−x+(x−x+2xx−1x12x我选择：______同学．24.如图，在中，点E是BC边上一点，且ABEB，点D在=，DE上，连接，如果=，A=，CDE=40，求C的度数．25.列分式方程解应用题：2022年10月16日，习总书记在中国共产党第二十次全国代表大会上的报告中提出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少10A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？=AD、CE，AD与26.如图，在中，点EAB上，点D在边BC上，且，连接CE相交于点F，BAD=BCE．求证：=（1）（2）CF．27.如果两个分式M与N的差为整数，那么称；=aMNa的“汇整分式”，整数称为“汇整值”，如分为2xx−12x−12x22x−22(x−M=,N=,M−N=−===2M式，则为N的“汇整分式”，x−1x−1x−1x−1“汇整值”a2．=x2−6x+92xx+3（1）已知分式A=,B=，判断A是否为B的“汇整分式”，若不是，说明理由；若x2−9a是，请求出“汇整值”；E2−xx+2（2）已知分式C=,D=，其中E为多项式，且C为D的“汇整分式”且“汇整值x+4x+42a=1，求E所表示的多项式．=．28.如图，在中，AD为BC边上的中线，任DA延长线上报一点F，使得CF（1）求证：F=BAD；完成下面的证明过程：证明：过点C作CG∥AB，交AD的延长线于点G．如图1，G=BAD∵AD为边上的中线，∴BCBD=CD．BAD=GB=BD=CD在和中，∴△．∴______．又∵CF=AB，∴______．∴______．∵G=∴F=BAD．（2）过点C作CE⊥AD于点E，如图2．用等式表示线段之间的数量关系，并证明．参考答案一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.【答案】A【分析】根据分式的分母不为0可得关于x的不等式，解不等式即得答案，熟练掌握分式有意义的条件是解题关键．x+1x−2【详解】解：要使分式有意义，则x−20，所以x2．故选：A．2.【答案】B【分析】因为=CE，AD是的高，也是△ACE的高，根据三角形的面积公式即可得出结果，确定两个三角形等底同高是解决本题的关键．【详解】解：根据等底同高，可得：1．故选B．3.【答案】B【分析】根据已知列出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可．3x3y9(+)3x+y==【详解】解：3x3y3xy+x+y即如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值扩大3倍，故选：B．【点睛】本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键．4.【答案】B【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．根据“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，即可求解．【详解】解：根据题意得：8−3a8+3，即5a11，a∴整数的最大值是10．故选：B5.【答案】A【分析】本题考查了分式的乘法，把分子分解因式约分即可．(+)(−)m1m1m−1xm2−1x==【详解】解：．m+12xm+12x2故选A．6.【答案】C11+=3得出x+y=3．【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键根据xy11+=3，【详解】解：∵xyx+y=3∴即∴，x+y=3，66x+y3==2，故选：C．7.【答案】B【分析】根据全等三角形的判定方法，进行判断即可．【详解】解：AB=DCAOB=，不符合题意；A、当时，SSA无法证明△DCO=B、当A=D时，，可以证明△DCO，符合题意；C、当时，SSA无法证明△DCO=，不符合题意；D、AOB=，两个条件无法证明△DCO，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．8.【答案】B【分析】由“ASA”可证△EDC≌△ABC．【详解】解：由题意可得∠ABCCDE=90=CD==在△EDC和△ABC中，∴△EDC≌△ABC（ASA故选：B．【点睛】本题考查三角形全等的判定，掌握判定方法正确推理论证是解题关键．二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9.【答案】3【分析】利用全等三角形的性质可得==7，再解即可．【详解】解：∵，==7∴，∵EC=4，∴CF3，=故答案为：．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．10.【答案】ab+【分析】根据分式的加减运算进行计算即可求解．a2b2+【详解】解：a−bb−aa2−b2=a−ba+b)(a−b)=a−b=a+b，故答案为：a+b．【点睛】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题的关键．【答案】（答案不唯一）=【分析】由角平分线的性质可得=，要使△△，由于是公共边，即已知一组边和一组角分别对应相等，根据全等三角形的判定并结合条件的特点，可补充一组对应边相等或补充一组对应角相等．【详解】解：∵平分∴=，BAD，添加时，证明与中，==△△的理由如下：在==，()；△△∴△△添加B=D时，证明的理由如下：在与中，B=D==，∴)；S添加ACB=ACD时，证明△△的理由如下：在与中，===，∴A)；==D或ACB=ACD∴添加一个条件是：或B．==D或ACB=ACD故答案为：或B．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个一般三角形全等的方法有：SSS、、ASA、，判定两个直角三角形全等的方法有：SSS、、ASA、、HL．注意：、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．理解和掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．12.【答案】x3=【分析】先去分母化为整式方程，解整式方程，检验即可．12x+3=【详解】解：，x方程两边都乘以x(x+3)约去分母得：，x+3=2x解这个整式方程得x3，=检验：当x=3时，x(x+30)，∴x=3是原分式方程的解．故答案为：x=3．【点睛】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．13.【答案】50【分析】根据三角形三线合一的性质可得CAD=BAD，根据同角的余角相等可得：CBE=CAD，再根据等量关系即可求解，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．【详解】解：C，AD是BC边上的中线，=，⊥C，，CBE+C=CAD+C=90，CBE=CAD=25，=CAD=．故答案为：50．14.【答案】12x2y2【分析】根据确定最简公分母的方法：取各分母系数的最小公倍数；凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．即可求解，熟练掌握最简公分母的相关知识是解题的关键．13的最简公分母为12x2y2，【详解】解：分式，6x2y4xy2故答案为：12xy2．215.【答案】【分析】由等腰是“倍长三角形”，可知=2或=2，若AB=2BC=10，可得AB的长为10；若BC2AB5，因2.52.55，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答==+=案．【详解】解：∵等腰是“倍长三角形”，∴=2或=2，若AB=2BC=10，则三边分别是10、10、5，符合题意，等腰三角形的周长为10+10+5=25；若BC2AB5，则===，三边分别是、5、，∵2.52.55，+=∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上所述，等腰三角形的周长为，故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系，读懂题意，理解“倍长三角形”是解本题的关键．316.【答案】2+2x−1【分析】根据分式的加减法及提公因式法整理计算即可，理解题意是解题关键．4x+12x−1【详解】解：2(2x−+32x−1==2(2x−2x−13+2x−13=2+，2x−132+故答案为：．2x−1三、解答题（本题共分，第－24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．1a−b17.【答案】【分析】先通分，化成同分母分式，再根据同分母分式加减法法则计算即可．+b−b)+b−b)a−b=−【详解】原式−a+b+b−b)===a+b+b−b)1．a−b【点睛】本题主要考查了异分母分式加减法，掌握运算法则是解题的关键．18.【答案】无解【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．x2−=1，【详解】解：x+1x−12(−)−=−1，xx12x2去分母得：解得：x=−1，检验：当x=−1时，x2，∴原方程无解．19.【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得到E=EAB，再证明△≌△BAC()，可得结论，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．【详解】解：∵ED∥AB，∴E=EAB，在△AED和中，=E==，∴()，△≌△BAC∴=．20.【答案】见解析【分析】先根据等边对等角得出B=C，ADE熟练掌握等腰三角形及三角形外角的性质是解题关键．【详解】证明：∵=，=AED，再由三角形外角的性质即可得出结果，∴B=C，又∵ADAE，=∴ADE=AED，．=CAE∴a−b21.【答案】，23a−b=6【分析】本题主要考查了分式的化简求值．先计算括号内的，再计算除法，然后把结果，即可．代入化简后的ba+baa−b1−2【详解】解：2+−abb(a+b+)(−)abab==a+)(aa+b()abab−aa−b=，363a−b=6==2．当时，原式22.【答案】80【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，根据三角形内角和定理可得BAC60，从=1==而得到，再由直角三角形两锐角互余，即可求解．2B=⊥50，，【详解】解：∵∴BCE=90−B=40，∴ACB=BCE+ACE=40+30=70，∴BAC=180−B−ACB=60．∵AD平分BAC，1==30∴．2∴ADC=180−DAC−ACB=．23.【答案】甲或乙，过程见解析【分析】题目主要考查分式的混和运算，熟练掌握分式的四则混和运算法则是解题关键．【详解】解：选择甲同学：3xxx2−1−x−1x+12x+−x−123x(xx(x=−(x−x+(x−x+2x+−−+−3x(xx(x(xx==(x−x+2x2x(x+2)(x+x−(x−x+2x=x+2；选择乙同学：3xxx2−1−x−1x+12x3xx(x+x−===−x−1x+12x3x(x+x−x(x+x−x+12x−x−12xx+(x−−22=x+2．24.【答案】40【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，可得=80，再利用三角形的外角和的性质可得答案，证明=80是解本题的关键．全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等．全等三角形的判定：SSS，，，ASA，HL．【详解】解：∵ABEB，==，BD=BD，()，△≌△EBDSSS∴∵A=，∴BED=A=80，∵CDE=40，∴C=BED−CDE=40．25.【答案】B型汽车的进价为每辆20万元，A型汽车的进价为每辆30【分析】本题考查了分式方程的应用．设B型汽车的进价为每辆万元，则A型汽车的进价为每辆1.5xx万元，列出分式方程，解方程即可；正确列出方程是解决本题的关键．【详解】解：设B型汽车的进价为每辆万元，则A型汽车的进价为每辆1.5xx万元，12001500−=10，依题意得：x1.5x解得：x，经检验，x是方程的解且符合实际意义，∴1.5x=30，答：B型汽车的进价为每辆20万元，A型汽车的进价为每辆30万元．26.1）见解析（2）见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质；（1）根据“AAS”证明△ABD≌CBE，再根据全等三角形的性质得出答案；BAC=BCABAD=BCEFAC=FCA，即可得出，进（2）先根据（1）的结论得而证明；，再根据【小问1证明：在△ABD和CBE中，=BCEB=B=，∴△，，ABD≌CBE=∴；【小问2∵△ABD≌CBE∴BAD=BCE．=∵，∴BAC=BCA，∴BAC−BAD=BCA−BCE，即FAC=FCA，∴FA=FC．27.1）是，a=−1（2）E=4x+8【分析】题目主要考查分式的加