拓展2 数列求和常用的方法（精讲）（解析版）-人教版高中数学精讲精练选择性必修二

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】拓展2数列求和常用的方法（精讲）考点一公式法【例1】（2022嘉兴）已知等差数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】【解析】（1）解：设等差数列的公差为，由可得，解得，（2）解：，且，故数列为等比数列，且首项为2，公比为4，因为【一隅三反】1（2022·惠州）已知正项等比数列的前项和为，，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和【答案】（1）（2）【解析】（1）解：设的公比为（），因为，且，，成等差数列，所以，即，解得，所以（2）解：由（1），2．（2022高二·昌平）已知等差数列的前项和为，且满足，各项均为正数的等比数列满足.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）【解析】（1）解：设等差数列的公差为，则，所以.设等比数列的公比为，由于，所以，所以（2）解：，所以考点二裂项相消求和【例2-1】（2022高三上·鞍山月考）已知等差数列满足首项为的值，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】见解析【解析】（1）解：根据题意得，，因为数列是等差数列，设公差为，则由，得，解得，所以.（2）解：由（1）可得，所以.【例2-2】（2022·衡水）已知数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】见解析【解析】（1）解：因为数列满足，设，则，与已知矛盾，所以，又，所以，所以所以数列是等比数列，设数列的公比是q，首项是，则q＝3.由，可得，所以，所以（2）解：因为，所以.【例2-3】（2022·天津市模拟）已知是等差数列，是等比数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）记的前n项和为，证明：；（3）记，求数列的前项和．【答案】见解析【解析】（1）解：设等差数列公差为d，等比数列公比为q，所以，所以（2）证明：的前n项和为，(当时，取等号)命题得证（3）解：由（1）得，，所以数列的前项和，【一隅三反】1．（2022安徽）已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）解：因为，，令，则，即，解得，由题知，由，两边同除以，得，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，即.（2）解：由（1）及条件可得，所以2．（2022·广东梅州）已知是数列的前项和，，___________.①，；②数列为等差数列，且的前项和为.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：(1)求；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)条件选择见解析，(2)【解析】(1)解：选条件①：，，得，所以，，即数列、均为公差为的等差数列，于是，又，，，所以；选条件②：因为数列为等差数列，且的前项和为，得，所以，所以的公差为，得到，则，当，.又满足，所以，对任意的，.(2)解：因为，所以.3．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，.(1)求的通项公式；(2)若，求的前n项和.【答案】(1)(2)【解析】(1)解：由，可得，即，所以当时，，，，，将上述式子进行累加得，-将代入可得，即.当时也满足上式，所以数列的通项公式.(2)解：由（1）得，则.4．（2022河南）已知数列，满足，；（1）求的通项公式；（2）若，求的前2n项和．【答案】（1）（2）【解析】（1）解：∵，∴，即，又，∴数列是首项为1，公差为的等差数列，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴.考点三错位相减求和【例3】（2022高三上·湖北月考）已知数列的前项和为，，.（1）证明：为等比数列；（2）求.【答案】见解析【解析】（1）证明：，，即，故为等比数列.（2）解：由（1）知，，，，，【一隅三反】1．（2022河北）已知数列的前n项和为，且，.（1）证明：为等比数列，并求的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】见解析【解析】（1）证明：因为，所以（），故，即（）又，故，即，因此（）故是以2为首项，3为公比的等比数列.因此（）（2）解：因为①故②①②，得，即.2．（2022·安徽黄山）已知数列、满足，若数列是等比数列，且．(1)求数列、的通项公式；(2)令，求的前项和为.【答案】(1)，(2)【解析】(1)

当时，，，又，∴

是以为首项，为公比的等比数列，

∴当时，由累加法可得：，又当时，也适合上式，∴(2)

∴①∴②①-②得：

∴3．（2022如皋）从条件①，②，③，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知数列的前项和为，____.（1）求的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，是否存在正整数使得.【答案】见解析【解析】（1）解：若选择①，因为，所以，两式相减得，整理得，即，所以为常数列，而，所以；若选择②，因为，所以，两式相减，得，因为，所以是等差数列，所以；若选择③，由变形得，，所以，由题意知，所以，所以为等差数列，又，所以，又时，也满足上式，所以；（2）解：若选择①或②，，所以所以，两式相减得，则，故要使得，即，整理得，，当时，，所以不存在，使得.若选择③，依题意，，所以，故，两式相减得：，则，令，则，即，令，则，当时，，又，故，综上，使得成立的最小正整数的值为5.考点四分组转化求和【例4-1】（2022河南）设等比数列的前项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】见解析【解析】（1）解：设数列的公比为，则a2=a1q=9，S3故．（2）解：由（1）可得．则．【例4-2】（2022·滨海模拟）已知数列中，，，令．（1）求数列的通项公式；（2）若求数列的前23项和．【答案】见解析【解析】（1）解：当n=1时，a1a2=2，又a1=1，得a2=2，由，①，得，②，①②两式相除可得，则，且b1=a2=2，所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，故（2）解：当n为偶数时，；当n为奇数时，，，所以数列的前23项和为，=，=．【一隅三反】5．（2022·福建省福州第一中学）已知等差数列中，．(1)求；(2)设，求的前项和．【答案】(1)(2)【解析】(1)设等差数列的公差为，∵，所以，可得，两式相减可得：，所以所以可得：；(2)由（1）知：，所以，2．（2022高二下·楚雄期末）已知数列的前项和满足，数列是公差为-1的等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】见解析【解析】（1）解：因为，所以，当时，，由于满足，所以的通项公式为，因为数列是公差为的等差数列，，所以，所以（2）解：因为，所以.3．（2022黄冈）已知数列