山东省部分名校2024-2025学年高二上学期9月质量检测数学试题B1

高二质量检测数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将木试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第十章､选择性必修第一册第一章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知空间向量，且，则（）A.B.4C.2D.2.已知在正四面体中，，则向量与的夹角为（）A.B.C.D.3.有一个正十二面体，如图所示.其12个面上分别写着1到12这12个连续的整数.投掷这个正十二面体一次，则向上一面的数是素数的概率为（）A.B.C.D.4.已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（）A.B.C.D.5.已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则下列选项可能正确的是（）A.B.C.D.6.已知在空间直角坐标系中，在方向上的投影向量为，则点到直线的距离为（）A.B.C.D.27.在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（）A.B.C.1D.8.如图，在正方体中，点满足.设二面角的平面角为，则当增大时，的大小变化为（）A.增大B.减小C.先增大后减小D.先减小后增大二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.有四个盲盒，每个盲盒内都有3个水晶崽崽，其中三个盲盒里面分别仅装有红色水晶崽崽､蓝色水晶崽崽､粉色水晶崽崽，剩下的那个盲盒里面三种颜色的水晶崽崽都有.现从中任选一个盲盒，设事件为“所选盲盒中有红色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有蓝色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有粉色水晶崽崽”，则（）A.与不互斥B.C.D.与相互独立10.在长方体中，为长方体表面上一动点，则的值可能是（）A.B.C.D.211.已知四棱柱的底面是边长为4的菱形，平面，，点满足，其中.若，则的值可能为（）A.B.C.8D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知空间单位向量满足，则__________.13.在空间直角坐标系中，点均在球的同一个大圆（球面被经过球心的平面截得的圆）上，则球的表面积为__________.14.如图，图中共有10个交汇点：.已知质点甲在地，质点乙在地，若每经过一次移动，两质点都将等可能地随机移动到与之相邻的任意一个交汇点，则同时经过两次移动后，两质点移动到同一个交汇点的概率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，在正方体中，分别为棱的中点，.（1）试用表示.（2）证明：四点共面.（3）证明：三点共线.16.（15分）如图，在四棱锥中，，.（1）证明：平面.（2）求直线与平面所成角的正弦值.17.（15分）某知识比赛积分规则如下：参赛队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分.某校代表队参加该次知识比赛，已知该校代表队与A队进行一场红色知识比赛获胜的概率为，平的概率为，负的概率为；与B队进行一场科技知识比赛获胜的概率为，平的概率为，负的概率为.这两场比赛结果相互独立.（1）求该校代表队与队进行红色知识比赛获得积分超过与B队进行科技知识比赛获得积分的概率；（2）求该校代表队与队进行红色知识比赛和与B队进行科技知识比赛获得的积分之和不小于4分的概率.18.（17分）在如图1所示的图形中，四边形为菱形，和均为直角三角形，，现沿将和进行翻折，使（在平面同侧），如图2.（1）当二面角为时，判断与平面是否平行；（2）探究当二面角为时，平面与平面是否垂直；（3）在（2）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值.19.（17分）若在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，且过点，直线的方向向量为，且过点，则与方向向量的叉积为与的混合积为.若，则与共面；若，则与异面.已知直线的一个方向向量为，且过点，直线的一个方向向量为，且过点.（1）证明：与是异面直线.（2）若点，求的长的最小值.（3）若直线为坐标原点，求的坐标.高二质量检测数学参考答案1.D依题意得，解得.2.A根据题意可得分别为的中点，则.因为，所以.3.C投掷这个正十二面体一次，则向上一面的数是素数的情况有，则向上一面的数是素数的概率为.4.B，A错误.易得三个向量不共面，B正确.错误.错误.5.C因为，所以.对于，A错误.对于B，，B错误.对于C，，C正确.对于D，，D错误.6.B根据题意可得点到直线的距离为.7.C因为，所以.因为，所以.因为四点共面，所以，即.因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为1.8A以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系（图略）.设，则，所以，.设平面的法向量为，则得取.连接（图略），易得平面的一个法向量为，所以.因为，所以的值随着的增大而减小，则钝角随着的增大而增大.由图可知为钝角，所以随着的增大而增大.9.ACD和可以同时发生，A正确.因为，所以，B错误.，C正确.因为，所以正确.10.BC以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系（图略），则.设，则，所以.设，连接（图略），则.因为为长方体的中心，所以.因为，所以，所以.11.BCD因为点满足，所以点在底面上，连接（图略），则，得.因为平面，所以，则5.因为，且当点与点或重合时，取得最大值，最大值为4，所以，即的取值范围为.12.2因为，所以.由，得，则，所以为直角三角形，则即外接圆的直径，即是球的直径.因为，所以，得球的半径为，故球的表面积为.14.由题意可得同时经过两次移动后，两质点都移动到交汇点的概率为，易得同时经过两次移动后，两质点都移动到交汇点的概率相等.同时经过两次移动后，两质点都移动到交汇点的概率为，易得同时经过两次移动后，两质点都移动到交汇点的概率相等.故同时经过两次移动后，两质点移动到同一个交汇点的概率为.15.（1）解：依题意可得，.（2）证明：连接.因为所以，则共面，故四点共面.（3）证明：连接.因为，，所以，则.因为，所以三点共线.16.（1）证明：取的中点，连接.因为，所以.因为，所以四边形是平行四边形，所以.因为，所以，所以.因为，所以.因为平面，且，所以平面.（2）解：易证两两垂直，则以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意可得，则.设平面的法向量为，则令，得.设直线与平面所成的角为，则.故直线与平面所成角的正弦值为.17.解：（1）设事件为“该校代表队与A队进行一场红色知识比赛获得积分3分，与B队进行一场科技知识比赛获得积分1分”，则；事件为“该校代表队与A队进行一场红色知识比赛获得积分3分，与B队进行一场科技知识比赛获得积分0分”，则；事件为“该校代表队与A队进行一场红色知识比赛获得积分1分，与B队进行一场科技知识比赛获得积分0分”，则.故该校代表队与A队进行红色知识比赛获得积分超过与B队进行科技知识比赛获得积分的概率为.（2）设事件为“该校代表队与A队进行红色知识比赛和与B队进行科技知识比赛获得的积分之和等于4分”，则；设事件为“该校代表队与A队进行红色知识比赛和与B队进行科技知识比赛获得的积分之和等于6分”，则.故该校代表队与A队进行红色知识比赛和与B队进行科技知识比赛获得的积分之和不小于4分的概率为.18.解：（1）若二面角为，则平面平面.因为平面平面，且，所以平面.如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则.设平面的法向量为，因为，所以令，得.因为，所以，所以不与平面平行.（2）取的中点，连接，则，因为，所以二面角的平面角为，即.如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则.设平面的法向量为，因为，所以令，得.设平面的法向量为，因为，所以令，得因为，所以不垂直，所