云南省丽江市古城二中2025届高二上数学期末综合测试试题含解析

云南省丽江市古城二中2025届高二上数学期末综合测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．抛物线的焦点到准线的距离是A.2 B.4C. D.2．圆与圆的公切线的条数为（）A.1 B.2C.3 D.43．已知四面体中，，若该四面体的外接球的球心为，则的面积为（）A. B.C. D.4．设集合，集合，当有且仅有一个元素时，则r的取值范围为（）A.或 B.或C.或 D.或5．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.6．已知椭圆的离心率为，则（）A. B.C. D.7．已知正的边长为，那么的平面直观图的面积为（）A. B.C. D.8．过抛物线的焦点作直线l，交抛物线与A、B两点，若线段中点的纵坐标为3，则等于（）A.10 B.8C.6 D.49．在等差数列中，若，且前n项和有最大值，则使得的最大值n为（）A.15 B.16C.17． D.1810．圆与圆的位置关系是（）A.相交 B.相离C.内切 D.外切11．在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则（）A.5 B.6C.7 D.812．已知椭圆的离心率，为椭圆上的一个动点，若定点，则的最大值为A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在空间直角坐标系中，向量为平面ABC的一个法向量，其中，，则向量的坐标为______14．如图，已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，则点G横坐标的取值范围为________15．若圆C的方程为，点P是圆C上的动点，点O为坐标原点，则的最大值为______16．总书记在2021年2月25日召开的全国脱贫攻坚总结表彰大会上发表重要讲话，庄严宣告，在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚取得了全面胜利.在脱贫攻坚过程中，为了解某地农村经济情况，工作人员对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下列结论中所存确结论的序号是____________①该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%；②该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%；③估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元；④估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆：，是坐标原点，，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，过作的外角的平分线的垂线，垂足为，且（1）求椭圆方程：（2）设直线：与椭圆交于，两点，且直线，，的斜率之和为0（其中为坐标原点）①求证：直线经过定点，并求出定点坐标：②求面积的最大值18．（12分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线C过点.（1）求双曲线C的标准方程；（2）过点M的直线与双曲线C的左右支分别交于A、B两点，是否存在直线AB，使得成立，若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由.19．（12分）已知直线l：，圆C：.（1）当时，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由；（2）若直线l被圆C截得的弦长恰好为，求k的值.20．（12分）同时抛掷两颗骰子，观察向上点数.（1）试表示“出现两个1点”这个事件相应的样本空间的子集；（2）求出现两个1点”的概率；（3）求“点数之和为7”的概率.21．（12分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营.军营所在区域可表示为.（1）求“将军饮马”的最短总路程；（2）因军情紧急，将军来不及饮马，直接从A点沿倾斜角为45°的直线路径火速回营，已知回营路径与军营边界的交点为M，N，军营中心与M，N连线的斜率分别为，，试求的值.22．（10分）已知函数R)（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；（2）求的单调区间

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】因为抛物线方程可化为，所以抛物线的焦点到准线的距离是，故选D.考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的几何性质.2、D【解析】公切线条数与圆与圆的位置关系是相关的，所以第一步需要判断圆与圆的位置关系.【详解】圆的圆心坐标为，半径为3；圆的圆心坐标为，半径为1，所以两圆的心心距为，所以两圆相离，公切线有4条.故选：D.3、C【解析】根据四面体的性质，结合线面垂直的判定定理、球的性质、正弦定理进行求解即可.【详解】由图设点为中点，连接，由，所以，面，则面，且，所以球心面，所以平面与球面的截面为大圆，延长线与此大圆交于点.在三角形中，由，所以，由正弦定理知：三角形的外接圆半径为，设三角形的外接圆圆心为点，则面，有，则，设的外接圆圆心为点，则面，由正弦定理知：三角形PAB的外接圆半径为，所以，又三角形中，，所以为的角平分线，则，在直角三角形OMD中，，在直角三角形OED中，，在三角形中，取中点，由，所以，故选：C.【点睛】关键点睛：运用正弦定理、勾股定理、线面垂直的判定定理是解题的关键.4、B【解析】由已知得集合M表示以点圆心，以2半径左半圆，与y轴的交点为，集合N表示以点为圆心，以r为半径的圆，当圆C与圆O相外切于点P，有且仅有一个元素时，圆C过点M时，有且有两个元素，当圆C过点N，有且仅有一个元素，由此可求得r的取值范围.【详解】解：由得，所以集合M表示以点圆心，以2半径的左半圆，与y轴的交点为，集合表示以点为圆心，以r为半径的圆，如下图所示，当圆C与圆O相外切于点P时，有且仅有一个元素时，此时，当圆C过点M时，有两个元素，此时，所以，当圆C过点N时，有且仅有一个元素，此时，所以，所以当有且仅有一个元素时，则r的取值范围为或，故选：B.5、A【解析】设，对实数的取值进行分类讨论，求得，解不等式，综合可得出实数的取值范围.【详解】设，其中.①当时，即当时，函数在区间上单调递增，则，解得，此时不存在；②当时，，解得；③当时，即当时，函数在区间上单调递减，则，解得，此时不存在.综上所述，实数的取值范围是.故选：A.6、D【解析】由离心率及椭圆参数关系可得，进而可得.【详解】因为，则，所以.故选：D7、D【解析】作出正的实际图形和直观图，计算出直观图的底边上的高，由此可求得的面积.【详解】如图①②所示的实际图形和直观图.由斜二测画法可知，，，在图②中作于，则.所以.故选：D.【点睛】本题考查直观图面积的计算，考查计算能力，属于基础题.8、B【解析】根据抛物线的定义求解【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，设，则，所以，故选：B9、A【解析】由题可得，则，可判断，，即可得出结果.【详解】前n项和有最大值，，，，，，，使得的最大值n为15.故选：A.【点睛】本题考查等差数列前n项和的有关判断，解题的关键是得出.10、A【解析】求出两圆的圆心及半径，求出圆心距，从而可得出结论.【详解】解：圆的圆心为，半径为，圆圆心为，半径为，则两圆圆心距，因为，所以两圆相交.故选：A.11、B【解析】当n为偶数时，展开式中第项二项式系数最大，当n为奇数时，展开式中第和项二项式系数最大.【详解】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故，得.故选：B12、C【解析】首先求得椭圆方程，然后确定的最大值即可.【详解】由题意可得：，据此可得：，椭圆方程为，设椭圆上点的坐标为，则，故：，当时，.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查椭圆方程问题，椭圆中的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据向量为平面ABC的一个法向量，由求解.【详解】因为，，所以，又因为向量为平面ABC的一个法向量，所以，解得，所以，故答案为：14、【解析】设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的垂直平分线方程，可求得点的横坐标，利用不等式的基本性质可求得点的横坐标的取值范围.【详解】设直线的方程为，联立，整理可得，因为直线过椭圆的左焦点，所以方程有两个不相等的实根设点、，设的中点为，则，，直线的垂直平分线的方程为，令，则.因为，所以故点的横坐标的取值范围.故答案为：15、##【解析】根据点与圆的位置关系求得正确答案.【详解】圆的方程可化为，所以圆心为，半径.由于，所以原点在圆外，所以最大值为.故答案为：16、①②④【解析】利用频率分布直方图中频率的求解方法，通过求解频率即可判断选项①，②，④，利用平均值的计算方法，即可判断选项③【详解】解：对于①，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为，故选项①正确；对于②，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为，故选项②正确；对于③，估计该地农户家庭年收入的平均值为万元，故选项③错误；对于④，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为，故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于45万元至8.5万元之间，故选项④正确故答案为：①②④三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）①证明见解析，；②.【解析】（1）根据椭圆的定义以及角平分线的性质可得，，结合点在椭圆上，以及即可求出的值，进而可得椭圆的方程.（2）①设，，联立直线与椭圆方程，求得，，利用斜率之和等于得出关于的方程，解得即可得所过的定点，②由弦长公式求出，点到直线的距离公式求得高，由面积公式表示三角形的面积，利用基本不等式即可求最值.【详解】（1）如图，由题意可知，由椭圆定义知，则，连接，所以，所以又在椭圆上则，解得：，，所以椭圆的方程为：；（2）①证明：设，，联立，整理可得：，所以，可得，，，设直线，，的斜率为，，，因为直线，，的斜率之和为0，所以，即所以，由，所以，所以直线恒过定点；②由①可得：，原点到直线的距离，所以，因为，当且仅当时，即，即时取等号，所以，即面积的最大值为1【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：18、（1）；（2）存在，直线AB的方程为：或.【解析】(1)根据给定的渐近线方程及所过的点列式计算作答.(2)假定存在符合条件的直线AB，设出其方程，借助弦长公式计算判断作答.【小问1详解】依题意，，解得：，所以双曲线C的标准方程是.【小问2详解】假定存在直线AB，使得成立，显然不垂直于y轴，否则，设直线：，由消去x并整理得：，因直线与双曲线C的左右支分别交于A、B两点，设，于是得，则有，即或，因此，，解得，所以存在直线AB，使得成立，此时，直线AB的方程为：或.19、（1）相离，理由见解析；（2）0或【解析】（1）求出圆心到直线的距离和半径比较即可判断；（2）求出圆心到直线的距离，利用弦长计算即可得出.【详解】（1）圆C：的圆心为，半径为2，当时，线l：，则圆心到直线的距离为，直线l与圆C相离；（2）圆心到直线的距离为，弦长为，则，解得或.20、（1）（2）（3）【解析】（1）由题意直接写出基本事件即可得出答案.（2）样本空间一共有个基本事件,由（1）可得答案.（3）列出“点数之和为7”的基本事件，从而可得答案.【小问1详解】“同时抛掷两颗骰子”的样本空间是{1，2，…，6；1，2，…，6}，其中i、j分别是抛掷第一颗与第二颗骰子所得的点数.将“出现两个1点”这个事件用A表示，则事件A就是子集.【小问2详解】样本空间一共有个基本事件，它们是等可能的，从而“出现两个1点”的概率为.小问3详解】将“点数之和为7”这个事件用B表示，则{，，，，，}，事件B共有6个基本事件，从而“点数之和为7”的概率为.21、（1）；（2）.【解析】（1）根据题意作出图形，然后求出关于直线的对称点，进而根据圆的性质求出到圆上的点的最短距离即可；（2）将直线方程代入圆的方程并化简，进而结合韦达定理求得答案.【小问1详解】若军营所在区域为，圆：的圆心为原点，半径为，作图如下：设将军饮马点为，到达营区点为，设为A关于