2025年高考数学一轮复习：课时作业三十二 余弦定理、正弦定理

三十二余弦定理、正弦定理

（时间：45分钟分值:85分）

【基础落实练】

1.（5分）在AA8C中,sidZusiirN+sidC+sinBsin。，则cos4=（）

【解析】选B.因为sin2^=sin25+sin2C+sinBsinC,

/+c2a2

222

所以由正弦定理得a^b+c+bc厕cos4=——^bc——2■

2

2.（5分）（2023・连云港模拟）在&18c中,a7^,c=3,cos/方则b=（）

A.lB.2C.3D.4

【解析】选B.由余弦定理可得，

a2^b2+c2-2bccos4=62+9-46=5,

即62-46+4=0,解得6=2.

3.（5分）在ZU5C中,a=2,b=3,cos31,贝U4=（）

琮D.窖

【解析】选A.因为a=2,b=3,cosB二,

所以sin5=^1_COS2B=|,

因为由正弦定理可得总b

S111/1sinB'

3

r-r-iM.,asinB2x41

所以smA-b-3

又打凡可得/为锐角，所以力三.

o

4.(5分X2023•丰台模拟)在ZU5C中,(a-c)(sin/+sinC)=(a+b)cos(；+5),则

C=()

【解析】选C.在AA8C中,(a-c)(sin/+sinG)=(a+b)cos(g+5),

贝U(a-c)(sin/+sinQ=-(tz+Z))sinB,

由正弦定理可得(a-c)(a+c)=-(a+b)b,所以a2+b2-c2~ab,

2,22

则C0SC—a2abc_-7由于C'(0")，故C^-.

5.(5分)在&ISC中4反。所对的边分别为a,b,c,若a2-b2^c2-y/2bc且bcosC=asin

民贝35。是()

A.等腰直角三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.直角三角形

【解析】选A.因为小"二/一福如即叫_。2-。2="如

,2.22

所以cos^T^

~2bc"""P

又/金（0,71）,所以力$

4

因为bcosC=asin民利用正弦定理可得sinBcosC=sin4sinB,

仅

由sin%0,可得cosC=sin^4=-^-,

又C£（0,兀），所以。1,5=兀-4-。（

则ZU5C是等腰直角三角形.

6.（5分）（多选题）在中，已知c2=3（a2_〃）,tan。=3,则下列结论正确的是（）

2c

Acos'B.tan4=2tanB

C.tan5=-1D.5=45°

2

【解析】选ABD.因为。2=3(析方),所以b2=a2-^,

2

2,2,2c

a2+,2c,-2ba+c-(a-y)

所以cosB=If,故A正确;

2ac2ac

由cos可得34cosB=2c,

所以3sin4cos5=2sin(4+5),3sin4cosB

=2sinAcos5+2cosAsin5,sinAcosB=2cosAsinB,

所以tan4=2tan氏故B正确;

因为tan0=3,所以tan（/+5）日瑞2tanB+tanB3tanB-

2------2---3°,

1-2tanB1-2tanB

1、

彳导tan3=-］或tanB=T.

因为cos人||>0,所以B为锐角,tan3=1,5=45。,故C错误,D正确.

7.（5分）已知ZU5C中角A,B,C的对边分别为S=2,c=3M=25则a=.

【解析】因为4=2氏所以sin4=sin2与故sin4=2sinBcosB,

由正弦定理得a=2bcosB,

22,2

又由余弦定理得4=2都短j

代入b=2,c=3,可得oMo,故

答案

8.（5分）（2022•上海高考）已知在A45C中〃三43=24。=3,则A45C的外接圆半径

为.

■TT

【解析】在&43。中么=^45=24。=3,

利用余弦定理B^AC^+AB^AB-AC-cos4整理得所以黑=26解得R=

sin/i

A/21

亍，

-J21

口木.3

9.（5分X2023・潍坊质检）已知&45C的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=3,a-

21T—

C=2〃F，则八的面积为.

【解析】由余弦定理得a2^b2+c2-2.bccosA,

因为b—3^a-c—2

所以(c+2)2=32+c2-2x3cx(-｝，解得c=5,

贝［JAA8C的面积为S=，csin/=1x3x5义红年£

冬案.感！

10.(10分)已知AX8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c^asmC-ccosA.

⑴求角4

⑵若a=j,b+c=F求/\ABC的面积S

【解析】(1)因为c=GasinC-ccosA,

所以sinC=^/3sin^4sinC-sinCeosA,

又sinCRO,所以I=psin4-cos4

即sin(4-》=1.

又/金(0,71),所以4二

(2)因为a=j,b+c="”<

所以由a2=b2+c2-2bccos7=〃+。2-如即7=(6+c)2-3bc,解得bc=4.

所以S=/csinA=乖.

IT5

11.(106)AABC的内角A,B,C的对边分别为a力,c,已知cos2(-+^)+cos仆.

Z4

⑴求4；

/g,

(2)若b-c得a,证明:AA8C是直角三角形.

yr55

【解析】⑴因为cos2(+^)+cos所以sin2^+cosA^-,

yL4,4,

5i

即1-COS24+COS4「解得cosZf.

4L

又0<4<九,所以4q.

222

._.ii।b+c-a1

(2)因M为4方,所K以cos，=~~空，

即b2+c2-a2^bc.@

又b-c普a,②

将②代入①得62+C2_30C)2=6C,

即2b2+2c2-5bc=0,而b>c,

解得6=2c,所以a=Fc.

所以参工+己即是直角三角形

【能力提升练】

12.(5分)在中,/5=45。1=4,只需添加一个条件,即可使ZU5C存在且唯一.

在条件:①4=3也;②6=2";③cosC=g中，所有可以选择的条件的序号为()

A.①B.①②

C.②③D.①②③

【解析】选B.在A45C中,/5=45。产4,

若添加条件①，则由余弦定理可得b2=q2+c2-2accos5=10,即6=/^,即A45C存在

且唯一；

若添加条件②，则由余弦定理b2^a2+c2-2accos民可得"-4退a-4=0,解得a=2（也+

平）,即&45C存在且唯一；

若添加条件③，则由-除占得635。,则5+045。+135。=180。,即&45。不存在,

即可以选择的条件的序号为①②.

13.（5分）（多选题）东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”根

据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”如图1,它是由四个全

等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2,它

是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形〃皮。拼成的一个大等边三角

形对于图2,下列结论正确的是（）

A.这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形

5/3

B.若5皮=3,sin皮一贝UA'B'=2

14

C.若48=24里贝uAB'^BB'

D.若/是力5的中点，则三角形/5C的面积是三角形/皮。面积的7倍

【解析】选ABD.由图可知44，=网所以BBVAB做A正确；

5/3

在AABB中,sinZABBTr,而ZAB6=120。，

14

I-----5--------1]

所以cosZABB_sinZ.ABB'^,

sinZ5^45-sin(60°-NA85)=sin60°cosAABB-cos60°sin-3^.

由正弦定理/m就，解得“吗

又因为凡4，=59=3,所以4皮=482〃=2,故B正确；

不妨设AB^IA'BfBB』x,

由余弦定理得AB2=BBQ+ABQ-2BBL

AB'cos120。魂单得％=三二，

所以北DD-X_1故C错误；