浙江省协作体2024-2025学年高三年级上册开学考试数学试题（含答案）

高三年级数学学科

考生须知：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号;

3,所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

4.考试结束后，只需上交答题卷.

选择题部分

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

2

1.已知集合4=,B=1x|2x-5x-3<0j,则NU5=(▲)

B.{x|x>-1)3

A.{%|x>1}C.{x11<x<-}D.1x|l<x<31

2.已知复数z满足5z+3z=8-22,则|z|=(▲)

A.1B.2C.A/2D.2yf2

3.已知等比数列｛%｝的前2项和为12，-a3=6,则公比q的值为(▲)

A1

B.2cD.3

2-l

已知平面向量n满足：|冽|=|〃|=2,且加在次上的投影向量为g九,

4.则向量前与向量G-蓝的夹角为

(▲)

A.30°B.60°C.120°D.150°

已知函数/（x）=sin（0x+0）（0>O）满足/仔）=1,最小正周期为兀，函数g（x）=sin2x.则将f（x）的

图象向左平移（▲）个单位长度后可以得到g（x）的图象

117C

A.—D.

1212

6.已知圆锥的底面半径为1,高为3,则其内接圆柱的表面积的最大值为（▲：

A.乂97c5兀

B.27cC・—D.

44T

第6题图

7.已知42是椭圆%与双曲线

=1的公共顶点，M是双曲线上一点，直线初4,板分别交

椭圆于C,0两点，若直线CQ过椭圆的焦点b，则线段CD的长度为（▲）

第1页共4页

3r—Q

A.-B.3C.273D.-A/3

22

8.正三棱台44G中，AB=24B\=2其他=2,点。为棱4B中点，直线/为平面4用G内的一条

动直线.记二面角C-/-。的平面角为。，则cos®的最小值为(▲)

A.0B.-C.—D.-

8147

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是(▲)

A.已知随机变量X服从正态分布b越小，表示随机变量X分布越集中

B.数据1,9,4,5,16,7,11,3的第75百分位数为9

C.线性回归分析中，若线性相关系数|r|越大，则两个变量的线性相关性越弱

17

D.已知随机变量X~8(7,5),贝!JE(X)=]

10.设函数/(x)与其导函数/(x)的定义域均为R,且r(x+2)为偶函数，/(1+乃一/(1一x)=0,贝！1(▲)

A.力(l+x)=/(l—x)B.尸(3)=0

C./'(2025)=0D./(2+x)+/(2-x)=2/(2)

11.已知正项数列｛。“｝满足。1=1,。“+2(4+1-4)=%(见+2一%+JG©M)，记看=生的+电生+…+，

%=4.则(上)

n6

A.｛3｝是递减数列B.-4=-----------

20242029

4100

C.存在〃使得[=]D.£%>10

i=l

非选择题部分

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.

12.的展开式中，常数项为▲.

13.已知正实数。满足(折)"<a而，则』的取值范围是▲.

14.将12张完全相同的卡牌分成3组，每组4张.第1组的卡牌左上角都标1,右下角分别标上1,2,

3,4；第2组的卡牌左上角都标2,右下角分别标上2,3,4,5；第3组的卡牌左上角都标3,右下角分别

标上3,4,5,6.将这12张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回选取3张，则左上角数字依次不减小且

右下角数字便次构成等差数列的概率为▲.

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四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知在A4SC中，角所对的边分别为a,b,c,且满足a=J%,a>c,

sin4+cos(B+Q=cos(5一Q•

(1)求角C的值；

(2)若A45c的面积为?，求A45C的周长.

16.（15分）已知三棱锥P-/BC满足4B_L4C,/B，PB,4CJ_PC,且AP=3,BP=®BC=2yfi•

(1)求证：AP1BC；

(2)求直线BC与平面口所成角的正弦值.

第16题图

17.(15分)已知函数/(%)=/+2*+4,g(x)=21nx+2x+5.

(O判断函数g(x)的零点个数，并说明理由；

(2)求曲线y=/(力与>=8@)的所有公切线方程.

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18.（17分）如图，已知抛物线/=4x的焦点为尸，过点尸（-1,2）作一条不经过户的直线/,若直线/与

抛物线交于异于原点的48两点，点B在X轴下方，且/在线段P3上.

（1）试判断：直线工4,尸8的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

（2）过点5作PF的垂线交直线〃t于点C,若AFBC的面积为4,求点3的坐标.

第18题图

19.（17分）对于一个四元整数集A=｛a,b,c,d｝,如果它能划分成两个不相交的二元子集｛a,b\和｛c,d｝,

满足。6-4=1,则称这个四元整数集为“有趣的”.

（1）写出集合｛1,2,3,4,5,6,7,8｝的一个“有趣的”四元子集；

（2）证明：集合｛1,2,3,4,5,6,7,8｝不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集；

（3）证明：对任意正整数"（"22），集合｛1,2,3,…,4〃｝不能划分成切个两两不相交的“有趣的”四元子集.

命题：温州中学嘉兴一中（审校）审核：春晖中学

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高三数学参考答案

1-5BCACA6-8CBD

9AD10BCD11ABD

123

13(1,4)

14—

132

四、解答题：本大题共5小题，共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.【解析】(1)由题意得：sinZ+cos3cosc-sin5sinC=cos3cosc+sin5sinC»

即：sinZ=2sin8sinC...................2分

a=sin4=应sin8

因此，sinC=—...................5分

2

因为“〉c,因此4>C,C为锐角，因此C=巳..................6分

4

(2)由余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC=2b2+b2-2-y/2b2--=b2,得:b=c...................8分

2

可得：B=C=-,A=-,因此，A4BC为等腰直角三角形..................10分

42

由S得；h=c=--,a=1

242

因此，"8C的周长为1+返..................13分

16.【解析】(1)VAP=3,BP=y/5,AB1PB,:.AB=2

VBC=2>f2,ABYAC,:.AC=2

vAC1PC,PC=y/5

即：AB=AC=2,PB=PC=y[5...................2分

取BC中点O,连接4O,P。，贝lj40J_8C,P0_LBC,且4。0尸。=。

BCA.l^AOP，5分

vAP^AOPBC1AP6分

(2)解法一：由(1)知，8C_L面40尸，.•.面4BC_L面4。尸

作垂足为〃

•.•面/BCD面片。尸=40，且尸，u面40P

尸”，面Z3C

A/IOP中，cosZAOP=S,PH=PO-sin(7t-ZAOP)=1

9分

记点C到平面/BP的距离为d,8C与平面力80所成角为6,则sin。三色

由〃“棺=得：d=S，"；PH=空=当...................12分

因此，sin8=2-="^...................[5分

BC10

解法二：如图，以O为坐标原点，。4,。8所在百线分别为轴建立空间直角坐标系.....7分

由(1)可知，zl(>/2,0,0),5(0,>/2,0),C(0,-x/2,0)

以0P中，COSNP40=¥，"=3,/.P(-V2,0,l)...................9分

AB=(-V2,V2,0),AP=(-272,0,1),BC=(0,-2加,0)

设MBP的法向量m=(K，Mz)

,\AB-JTI=0\—s[2x+\/2y=0—r-..

由<_____得：<L，取m=(l,l,2及).........12分

[AP-m=0[-2v2x+z=0

....-57；—।IBC•mI2V25/10

记8c与平面初?所成角为6ni贝lnjsin0=|cos<BC,m>=—="=—--^==---15分

\BC\-\m\2日瓦10

(如有其它解法，酌情给分)

7

17.【解析】(1)•:g，(x)=、+2>0,.,.g(x)在(0,+»)单调递增......

3分

又gW)=1-l<0，g(l)=7>0，二8门)存在唯一,零点，在(el)之间..........6分

（2）・・・/‘a）=2x+2,

・,.以/（x）上的点（X]J（xJ）为切点的切线方程为歹-储+2演+4）=（2$+2）（x-xJ.

以8（\）上的点（工2记（工2））为切点的切线方程为歹-（21"2+2々+5）=12+2卜-*2）-..........8分

2玉+2=—+2.........................................................................（1）

令1一/\

石+2工1+4—（2玉+2）X]=2Inx＞+2x2+5—I1-2Jx,......（2）

则为='-,代入⑵，得1=年一2111玉，BP1=x,2-Inxf...................10分

%

设x：=z,函数旅）="2,贝以r（/）=1一；.

当Ov/＜1时，1。）＜0,力（，）单调递减，当/＞1时，〃（/）＞0,攸）单调递增，口力⑴=1,

1=x：-Inx：的解为为=±1,又占＞0,工玉＞0,玉=1•..................13分

・・・/（X）和g（x）存在唯一一条公切线为，=4x+3.15分

18.【解析】⑴若"的斜率不存在，则点8不存隹或与原点重合；若8b的斜率不存在，则点力与

原点重合.因此，直线/尸与8斤的斜率均存在.

设I直线/:x=〃z（y-2）-l,F（l,0）

代入抛物线方程得：y2-Amy+8〃?+4=0

设2（和力18（%口），则乂+必=4"，

yxy2=8〃i+4..................3分

必.%=4必4乃____________16yly2

1,6分

为一112一】yi-4y?~4（凹72）2-4（必+夕2『+8必必+16

（2）由题意可知，m的斜率为-1,方程为y=-x+l,

设点以/2）（，＜（）,l_]）,所以直线BC:y-Z=x-/,

kT+I，，得丁-2，+1

解方程组

y-2（=x-t~.2

微

因此直线BC与PF的交点坐标为M-j+1,+]],...................9分

因为原『=々一，由(1)得及”.=£且，

r-12t

/_]

所以直线XF:y=4(x-l),解方程组y=~^~(xT)，得x=2f+51]=1_?,

y-2t=x-r.

因此可得(7(1-21,172),..........12分

所以〃为8C的中点，从而S^=2S^IIM=\BM\-\FM\,

s皿c=应产-号11.&/11_1=步_3)2一,=4,..........15分

所以（»-3）2-8=±8,因为，<0,解得，=-C或/=-，，

因此，所求的点B的坐标为8卜,-2>/^与（7,-26）...........17分

19.【解析】（1）｛1,2,3,5｝（符合要求即可）：.........3分

（2）证明：假设可以划分，,rab-cd=1,.1a%和cd一定是一个奇数一个偶数，

.,.a,4c,d中至多两个偶数.