2024届河南省新乡市高三第三次模拟考试数学试题（解析版）

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.下列集合中有无数个元素的是（）

A.|xeN|—GN|B.|xeZ|—GN|C.|xeN|—ezjD.|xeQ|—GN|

【答案】D

【解析】

【分析】求出各个选项的元素个数即可得出答案.

【详解】对于A,因为geN,xeN,则x=l,2,4,eN||eN|={1,2,4},故A错误；

4

对于B,因为一eN,xeZ,贝ijx=l,2,4,

X

所以卜€2|：€,={1,2,4},故B错误；

对于C,xeN,|eZ,所以|xeN|：ez}={l,2,4},故C错误；

对于D,{xeQlgeN1有无数个元素.故D正确.

故选：D.

2.已知2=（1-3。（4+。（4611）为纯虚数，则。=（）

A3B.—3C.—D.—

33

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数乘法求出z,再利用纯虚数的意义求解即得.

a+3=0

【详解】依题意，z=(a+3)+(l-3a)i,由z是纯虚数，得〈

[1-3awO

所以a=—3.

故选：B

3.已知向量日=(4,3),忖=4,若方与B的夹角为(，则£/=()

A.10B.10^C.5D.5G

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量的坐标求出同="2+32=5,即可利用向量数量积公式求出结果.

【详解】•・•1=(4,3),.,.同="2+3?=5,

则=|«|-|z>|cosa,=5x4xcosy=10,

故选：A.

4.已知直线4:2x+7盯一1=0,l2:(m+l)x+3y+l=0,贝！|“机=2"是“"//2''的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】C

【解析】

【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得.

【详解】当机=2时，直线乙：2x+2y—l=0,/2:3x+3y+l=0,贝i]“/(，

2m—1

当时，----=一丰---，解得7〃=2,

m+131

所以“加=2”是“/J4”充要条件.

故选：C

5.已知球。的半径为5,点A到球心。的距离为3,则过点A的平面a被球。所截的截面面积的最小值

是()

A.9兀B.1271C.16兀D.20K

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用球的截面小圆性质求出截面小圆半径即得.

【详解】由点A到球心。的距离为3,得球心。到过点A的平面a距离的最大值为3,

因此过点A的平面a被球。所截的截面小圆半径最小值为J52-3z=4,

所以过点A的平面a被球。所截的截面面积的最小值是4?兀=16兀.

故选：C

6.如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的C：换成厂义方得到

的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（）

1

T

11

22

111

363

1X±1

412124^

1j_J_j_1

52030205

1111,1_1

----1----r=--------

y(n-l)C；i+1

111111

--------1--------T二--------r----

(〃+l)C：("+1)C”nCn+l5+DC；(”+i)c/"c"

【答案】D

【解析】

【分析】观察莱布尼茨三角形，得出规律即可判断得解.

【详解】观察莱布尼茨三角形，知每一个数等于下一层与它紧挨的两个数之和,

111

因此(〃+l)C；+(〃+l)C；M,即D正确，ABC错误.

nCn-l

故选：D

JT兀

7.倾斜角为。的直线/经过抛物线C：丁二露刀的焦点R且与C相交于A,3两点.若,则

-64

|4目怛耳的取值范围为（）

【解析】

Inx

【分析】根据给定数据，构造函数/(》)=——，利用导数探讨单调性并比较大小即得.

X

-

YI_I-J1丫

【详解】令函数/(x)=——,x>e,求导得r(x)=：y—<0,即函数/(x)在(e,+8)上单调递减，

XX

I£

ln22

工ln2ln4,ln34-21n2T„ee

而a=.=丁,b=-^-,c=--j—=X3<—<4,因止匕/(3)>/(彳)>/(4),

/45ee，2

~2

所以<z<c<b.

故选：B

【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间

的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知由5个数据组成的一组数据的平均数为7,方差为2,现再加入一个数据1,组成一组新数据，则

()

A.这组新数据的平均数为3B.这组新数据的平均数为6

C.这组新数据的方差为丑D.这组新数据的方差为§

【答案】BC

【解析】

【分析】根据给定条件，求出新数据组的平均数，再利用分层抽样的方差公式求出方差即得.

【详解】依题意，这组新数据的平均数为三里=6,方差为

6

|x[2+(7-6)2]+jx[0+(l-6)2]=^.

663

故选：BC

10.已知m，n,/为空间中三条不同的直线，a，B，7为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的

是（）

A.若ac/3=m,mLy,则a_L7,〃_L/

B.若则m与〃为异面直线

C.若ac。=I,/3cy=m,yca=n,且加=P,贝！

D,若“z_L/?3///,则////

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用面面垂直的判定判断A；确定线线位置关系判断B；利用平面基本事实判断C；利用线面垂

直的性质、面面平行的性质判断D.

【详解】对于A,显然机ua,wu〃，又则a_L7,〃_L/,A正确；

对于B,由〃得加与〃可能相交、可能平行、也可能为异面直线，B错误；

对于C,由acp=l,/3cy=m,l^m=P,知点P在平面名〃,/内，

即为平面的公共点，而7I。=〃，因此尸C正确；

对于D,由加得a//，，而。//九因此，///,D正确.

故选：ACD

11.已知定义在R上的函数“可满足〃2x+6)=/(—2力，且/(x—l)+/(x+l)=/(—2),若

/(|)=1，则()

A./(2024)=1B.”力的图象关于直线为=—3对称

20251

C.外可是周期函数D.W--)=2025

k=\2

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据给定的等式，结合赋值法推导出函数〃无)及对称轴，再逐项分析计算得解.

详解】由/(%—1)+/(%+1)=/(-2),得/(%+l)+/(x+3)=/(—2),

则/Xx—l)=/(x+3),即/(幻=/(%+4),因此是周期为4的周期函数，C正确；

令x=—1,得/(一2)+/(0)=/(-2),则40)=0,因此/(2024)=/(0)=0,A错误;

由/(2x+6)=/(—2%),得/(%+6)=/(—%),则](-%)="(x-12)+6]=/(X-6),

因此/(X)的图象关于直线x=—3对称，B正确；

由/(%+6)=f(-x),得/(%)的图象关于直线x=3对称，

因此直线x=—3+4〃及x=3+4”(“eZ)均为了(尤)图象的对称轴，

从而八―2)=〃0)=0"(3=宿)=1,令川=｝得〃|一1)+收+1)=°，

w/(1)=-/(()=-b则

二一1,

故£(一球W-1)=-/(1)+2/(|)-3/(|)+4/(1)——2025/(等)

=(1—2—3+4)+…+(2021-2022-2023+2024)+2025=2025,D正确.

故答案为：BCD

【点睛】结论点睛：函数y=/(x)的定义域为。，VxeD,

①存在常数。，b使得/(©+/(2a—x)=2bo/(a+%)+/(4—%)=2人，则函数>=/(尤)图象关于点

(。,6)对称.

②存在常数a使得f(x)=f(2a一幻of(a+%)=/(«-%),则函数y=f(x)图象关于直线x=a对称.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

22

12.双曲线石：^^-----------=1的实轴长为4,贝.

a~+a+22a+3

【答案】1

【解析】

【分析】根据给定条件，确定双曲线的焦点位置，再列式计算即得.

【详解】显然片+“+2>0恒成立，则双曲线E的焦点在x轴上，

。2+。+2=2一

于是<，所以a=l.

2。+3〉0

故答案为：1

13.已知函数/(%)=sinax-J5cosox(口>0),若存在玉£[0,兀],使得/(%)=—2,则。的最小值为

【答案】—##1—

66

【解析】

【分析】利用辅助角公式化简函数〃%)，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求解即得.

jI'jIjIjI

【详解】函数/(x)=2sin(°x—,),由％6[0,兀],得。%

7137111

由存在石£[0,兀]，使得/(%)=-2,得兀啰--->—->解得力之二，

326

所以G的最小值为一.

6

故答案为：一

6

14.如图，在扇形Q43中，半径。4=4,ZAOB=90°,C在半径OB上，。在半径。4上，E是扇形

弧上的动点（不包含端点），则平行四边形5CDE的周长的取值范围是.

OcB

【答案】（8,12]

【解析】

【分析】设0。=%,利用平行四边形性质，结合勾股定理求出nBCDE周长的函数关系，再求出函数的

值域即可.

【详解】设OC=x,则BC=4—x,由口BCDE,得DE=5C=4—%,显然0<x<4,

连接0E,由OE〃台C,ZAOB=90°,得NODE=90°,

2

0。2=0后2-DE?=4?—（4-4=8x-d,BE=CD=yJoif+OC=2>/2x

因此口BCDE的周长/=23C+2CD=8—2x+4岳=—（岳—2）2+12

显然0<J^<2j^，当=2，即X=2时，/max=12,而x=0时，1=8,

所以口6CDE的周长的取值范围是（8,12].

故答案为：（8,12]

OcB

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/（力二xlnx.

(1)求/(X)的极值；

(2)若过点(。力)可以作两条直线与曲线y=/(x)相切，证明：b<dna.

【答案】(1)极小值为无极大值；

ee

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)求出函数/(九)的导数，判断函数的单调性并求出极值.

(2)设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，把点(。,。)的坐标代入，构造函数

g(x)^alnx-x+a,分类探讨单调性、确定方程Z?=alnx—x+a正根个数即得.

【小问1详解】

因为/(x)=xlnx,所以/"'(尤)=lnx+l,令/'(x)=。，得关=!，

e

当xe时，f'(x)<0,/(x)在上单调递减，

当xe时，/'(x)>0,/(x)在|［，+8］上单调递增，

所以当x=!时，/(x)取得极小值，且极小值为/'=一J_,无极大值.

ee

【小问2详解】

设切点为(%,/In%),则切线的方程为y-xolnxo=(l+lnx0)(j;-x0),

则人一不!!!/=(l+ln%0)(Q-%o),整理得b=aln/-a,

由过点(db)可以作两条直线与曲线y=/(x)相切，

可得方程Z?=Qlnx-x+Q有两个不相等的正根.

a—x

g(x)=alnx-x+a,贝|g'(%)=----,

x

当aWO时，g'(x)<O,g(光)在(0,+8)上单调递减，则方程〃=alnx—x+a最多只有一个正根，不符合

题意，

当a>0时，若xe(0,a),则g'(x)〉O,g(x)在(O,a)上单调递增，

若xe(a,+oo),则8'(龙)<0送(九)在(。,+8)上单调递减，贝ijg。"”=g(a)=alna,

故要使得方程Z?=alnx—x+a有两个不相等的正根，则人<alna.

16.如图，在四面体4BCD中，45=4。=4。=5。=5。,3。，5£）,£,厂分别为48AC的中点.

（1）证明：平面ACD,平面BC。；

（2）求平面应）户与平面CDE夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；

【解析】

【分析】（1）取CD的中点。，借助勾股定理逆定理证得06,Q4,再利用线面垂直、面面垂直的判断

推理即得.

（2）以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面应）尸与平面C0E的法向量，再利用面面角的向

量求法求解即得.

【小问1详解】

CD

取CD的中点。，连接。4,0B,因为6。=5£）,所以OB_LCD,且03=——,

2

CD

又AC=4£>=6。=5£）,所以必，CD,AACD0△BCD,则NG4D=NC5£>=90。，有OA=，

2

因为AB=3C=交CD，所以O4+QT=Ag2,则O5LQ4,

2

又OAnCD=O，OACDu平面ACD,所以03,平面ACD,

又O6u平面BCD,所以平面ACO，平面BCD.

【小问2详解】

由（1）知，8,03,04两两垂直，

以。为坐标原点，直线8,03,04分别为羽yz轴，建立空间直角坐标系，如图，

设CD=4,则A(0,0,2),B(0,2,0),C(-2,0,0),£>(2,0,0),

因为E,产分别为AB,AC的中点，所以E（0,1,1）,尸（—1,0,1）,

则BD=(2,-2,0),BF=(-1,-2,1),C£>=(4,0,0),CE=(2,1,1)，

m-BD=2x-2y,=0一

设平面产的法向量为沆=（&X，zJ,贝卜—.，令石=1，得加=(1,1,3),

m-BF=-2M+=0

n-CD=4X2=0_

设平面CDS的法向量为五二（42，为，22），贝人一.，令%=1，得几=(。/,—1)，

n-CE=2X2+为+Z2=0

inn1-3

cos(m,n)=

|m||n|TiTxVz11

所以平面BDF与平面CDE夹角的余弦值为叵.

11

17.甲、乙两个不透明的袋中各装有6个大小质地完全相同的球，其中甲袋中有3个红球、3个黄球，乙

袋中有1个红球、5个黄球.

（1）若从两袋中各随机地取出1个球，求这2个球颜色相同的概率；

（2）若先从甲袋中随机地取出2个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出2个球，记从乙袋中取出的红

球个数为X，求X的分布列与期望.

【答案】（1）!

（2）分布列见解析，E（X）=g

【解析】

【分析】（1）记这2个球颜色相同为事件A,根据相互独立事件的概率公式计算可得；

（2）依题意X的可能取值为0、1、2,利用全概率公式求出P（X=0）,P（X=1）,P（X=2）,即

可得到分布列与数学期望.

【小问1详解】

记这2个球颜色相同为事件A,

【小问2详解】

依题意X的可能取值为0、1、2,

C~^19

贝|P（X=0）=

或C；或C；或C厂35'

z~^lz-^lCQ

ee

p/y_l\_3vJJ^3v7.JJ

「2「2「2o

p/Y—一、3、,、3|、3J、,、2—0

所以X的分布列为:

X012

19293

p

357070

IQ2931

所以石（X）=0x=+lx二+2x3;一

v73570702

22

18.已知椭圆C：:+4=l（a〉6〉0）左、右顶点分别是A，4,椭圆。的焦距是2,P（异于

ab

3

4,4）是椭圆。上的动点，直线A尸与4尸的斜率之积为-]•

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）月,鸟分别是椭圆C的左、右焦点，Q是心内切圆的圆心，试问平面上是否存在定点

M,N,使得|QW|+|QN|为定值?若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.

22

【答案】（1）—+^=1;

43

（2）存在，2.

【解析】

r2Q

【分析】（l）设出点P（玉,％）,必wO,利用斜率坐标公式列式可得彳=彳，借助距离为2求解即得.

（2）设。（％,%），借助三角形面积可得3%=%,利用点到直线距离探讨与与X]的关系，结合椭圆。的

方程推理即得.

【小问1详解】

设P（石，X），XWO,则¥+3=1,即2=（"一引",

ab-71〃2

212o

显然点A（—a，0），A（a，0），依题意，———==--

x{+axx-ax{-aa4

b23l

解得'=由椭圆。的焦距是2,得标一尸=1，则。=2/=若，

a~4

所以椭圆C标准方程为土+乙=1.

43

【小问2详解】

设。（1，%），因为％第=；（「用+|帆|+寓闾）=甲讣闻，则3%=%,

由（1）知耳（—1,0）,则直线P耳的方程为丁=上7（》+1），即（%+i）y+x=0,

,I%%一（石+l）%+x|II

从而点Q到直线PFi的距离d=----1,、2，—=,。1，

《（x+iy+厉

即网4+1）-（再+1）|=Ja+l+y；，即9（%+1）2—6（%+1）（%+1）=叫

22（2、2

因为上+&=1,所以寸=31-3,所以3（/+1）2-25+1）（占+1）=1—匀，

43v4J4

所以12%：+（16-8%］）%0+才一8%=0,即（2/_%）（6%0+8）=0,

因为一1</<L—2<玉<2,6%0一%+8>0,所以2%=玉，

因为手+¥=1，所以。：）+（3g）=1，即焉+辛=1,点。在以（—彳,0）为焦点，长轴

长为2的椭圆上，

故存在定点M（，,0）,N（-',0），使得|QW|+|QN|=2.

【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设出直线方程，再与圆锥曲线方

程联立，利用韦达定理并结合已知推理求解.

19.函数/(x)=[x]称为取整函数，也称为高斯函数，其中国表示不超过实数x的最大整数，例如：

[x],x<[x]+—

[3,2]=3,[0.6]=0,[-1.6]=-2.对于任意的实数x,定义(x)=2]数列｛4｝满足

[x]+1,X>[x]+—

、2

an=(册).

(1)求[3，)2024的值；

(2)设2=〃+%，从全体正整数中除去所有么，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列

R｝-

①求｛1｝的通项公式；

1111119

②证明：对任意的九eN+，都有一+—+—+---+—<77.

。2。3g72

【答案】(1)《3=4，。2024=45;

(2)①C"=/；②证明见解析.

【解析】

【分析】(1)由：<旧<4,y<V2024<45,利用给定的定义即可求出。13，。2024.

⑵①按左2<〃<(4+1)2,F+左+1<“<(左+1)2分段讨论d的取值，即可求出党;②利用①的结论,

结合单调性并借助裂项相消法求和即可推理得证.

【小问1详解】

由工<屈<4,得[万]=3,则而>[而]+工，

22

所以q=(屈)=[屈]+1=4；

由F<0024<45,得[V^J=44,则120