人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题1.1 集合的概念-重难点题型精讲+检测（原卷版）

第第页专题1.1集合的概念-重难点题型精讲1．元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．2．元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．3．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．4．常用的数集及其记法5．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．6．描述法(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．【题型1集合的基本概念】【方法点拨】给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素．【例1】下列对象不能组成集合的是（）A．不超过20的质数 B．π的近似值 C．方程x2＝1的实数根 D．函数y＝x2，x∈R的最小值【变式1-1】以下各组对象不能组成集合的是（）A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流 C．方程x2﹣7＝0的实数解 D．周长为10cm的三角形【变式1-2】下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数 B．北附广南实验学校2020～2021学年度第二学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家【变式1-3】有下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④直角三角形的全体．其中能构成集合的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【题型2判断元素与集合的关系】【方法点拨】直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．【例2】下列关系中正确的个数是（）①12∈Q；②2∉R；③0∈N*；④A．1 B．2 C．3 D．4【变式2-1】下列关系中，正确的是（）A．﹣2∈{0，1} B．32∈Z C．π∈R D．【变式2-2】下列元素与集合的关系中，正确的是（）A．﹣1∈N B．0∉N* C．3∈Q D．【变式2-3】设集合A＝{2，3，5}，B＝{2，3，6}，若x∈A，且x∉B，则x的值为（）A．2 B．3 C．5 D．6【题型3利用集合中元素的特异性求参数】【方法点拨】①集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么；②构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．③利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．【例3】设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（）A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2【变式3-1】若a∈{1，a2﹣2a+2}，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．0 D．1或2【变式3-2】已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6﹣a∈A，那么a为（）A．2 B．2或4 C．4 D．0【变式3-3】已知A是由0，m，m2﹣3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（）A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可【题型4用列举法表示集合】【方法点拨】①求出集合的元素；②把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．③用花括号括起来．【例4】集合{x∈N|x﹣2＜2}用列举法表示是（）A．{1，2，3} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4} D．{0，1，2，3}【变式4-1】集合A={x∈NA．{3，6} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【变式4-2】集合{x∈N|x﹣4＜1}用列举法表示为（）A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}【变式4-3】将集合{（x，y）|x+y=52x−y=1}A．{2，3} B．{（2，3）} C．{x＝2，y＝3} D．（2，3）【题型5用描述法表示集合】【方法点拨】①用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．②用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．③多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．【例5】用描述法表示所有偶数组成的集合．【变式5-1】用描述法表示被5整除的整数组成的集合．【变式5-2】用描述法表示被3除余2的所有自然数组成的集合．【变式5-3】平面直角坐标系中坐标轴上所有点的坐标组成的集合可以用描述法表示为．【题型6集合中的新定义问题】【方法点拨】根据题目所给的有关集合的新定义问题，结合集合的相关知识，进行转化求解即可.【例6】设集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P⊗Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P⊗Q中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【变式6-1】设P＝{1，2，3，4}，Q＝{4，5，6，7，8}，定义P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q中元素的个数为（）A．4 B．5 C．19 D．20【变式6-2】设集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，定义集合A⊗B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，则A⊗B中所有元素之积为（）A．﹣8 B．﹣16 C．8 D．16【变式6-3】定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{2，0}，B＝{0，8}，则集合A⊗B的所有元素之和为（）A．16 B．18 C．20 D．22集合的概念-重难点题型检测一．选择题1．下列集合中，表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} B．M＝{1，2}，N＝{（1，2）} C．M＝{（x，y）|y＝1﹣x}，N＝{x|y＝1﹣x} D．M＝{3，2}，N＝{2，3}2．下列说法中，正确的是（）A．若a∈Z，则﹣a∉Z B．R中最小的元素是0 C．“3的近似值的全体”构成一个集合 D．一个集合中不可以有两个相同的元素3．已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x∈N*且x﹣1∈A}，则B＝（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}4．若用列举法表示集合A＝{（x，y）|2y−x=7A．{x＝﹣1，y＝3} B．{（﹣1，3）} C．{3，﹣1} D．{﹣1，3}5．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，|x﹣y|∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．86．已知集合A中含有5和a2+2a+4这两个元素，且7∈A，则a3的值为（）A．0 B．1或﹣27 C．1 D．﹣277．集合{1，3，5，7}用描述法表示出来应为（）A．{x|x是不大于7的非负奇数} B．{x|1≤x≤7} C．{x|x∈N且x≤7} D．{x|x∈Z且1≤x≤7}8．设P＝{1，2，3，4}，Q＝{4，5，6，7，8}，定义P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q中元素的个数为（）A．4 B．5 C．19 D．20二．多选题9．下列各组对象能构成集合的是（）A．拥有手机的人 B．2020年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于π的正整数10．已知集合A＝{2，a2+1，a2﹣4a}，B＝{0，a2﹣a﹣2}，5∈A，则a为（）A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣111．下面四个说法中错误的是（）A．10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7} B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1} C．方程x2﹣2x+1＝0的所有解组成的集合是{1，1} D．0与{0}表示同一个集合12．设M、N是两个非空集合，定义M⊗N＝{（a，b）|a∈M，b∈N}．若P＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}，则P⊗Q中元素的个数不可能是（）A．9 B．8 C．7 D．6三．填空题13．已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是．14．集合A={x∈N|83−x∈N∗}，用列举法可以表示为15．已知x∈{1，2，x2﹣x}，则实数x为．16．设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2两个元素，Q中含有1，6两个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，则P+Q中元素的个数是．四．解答题17．已知﹣3是由x﹣2，2x2+5x，12三个元素构成的集合中的元素，求x的值．18．用适当的方法表示下列集合①方程x（x2+2x+1）＝0的解集；②在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；③不等式x﹣2＞6的解的集合；④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．19．用适当的方法表示下列集合．（1）方程组2x−（2）1000以内被3除余2的正整数所构成的集合；（3）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合；（4）所有三角形构成的集合．20．设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则11−a∈A