人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题1.2 集合间的基本关系-重难点题型精讲及检测（原卷版）

第第页专题1.2集合间的基本关系-重难点题型精讲1．子集的概念2．真子集的概念3．集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B.4．空集的概念【题型1子集、真子集的概念】【方法点拨】①集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．②不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．③在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.【例1】已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}，则A的子集共有（）A．3个 B．4个 C．8个 D．16个【变式1-1】已知集合A＝{x|x2＜3，x∈N}，则A的真子集共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．7个【变式1-2】设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，则在集合A的子集中，有2个元素的子集个数为（）A．A62 B．C62 C．6【变式1-3】已知集合A={x∈N|86−xA．5个 B．6个 C．7个 D．8个【题型2集合的相等与空集】【方法点拨】①利用集合相等的定义和集合中的元素的性质去解题．②利用空集的定义去解题.【例2】（2021秋•新余期末）下列集合与集合A＝{2022，1}相等的是（）A．（1，2022） B．{（x，y）|x＝2022，y＝1} C．{x|x2﹣2023x+2022＝0} D．{（2022，1）}【变式2-1】下列四个集合中，是空集的是（）A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5} C．{x∈N|x2﹣1＝0} D．{x|x＞4}【变式2-2】设a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{﹣1，﹣b}，若P＝Q，则a﹣b＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【变式2-3】设a，b∈R，集合P＝{0，1，a}，Q＝{﹣1，0，﹣b}，若P＝Q，则a+b＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【题型3集合间关系的判断】【方法点拨】①列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系．②元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断．③图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系．【例3】已知集合M={y|y=2x+13，x∈Z}，N={y|y=A．M＝N B．M⊂N C．M⊃N D．M∩N＝ϕ【变式3-1】已知集合M={x|x=kπ4A．N⊆M B．M⊆N C．M＝N D．M∩N＝∅【变式3-2】已知集合A＝{x|x≥﹣2}，B＝{x|﹣2≤x≤1}，则下列关系正确的是（）A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．A∩B＝∅【变式3-3】下面五个式子中：①a⊆{a}；②∅⊆{a}；③{a}∈{a，b}；④{a}⊆{a}；⑤a∈{b，c，a}．正确的有（）A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤【题型4有限集合子集、真子集的确定】【方法点拨】①确定所求集合，是子集还是真子集．②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出．③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．假设集合A中含有n个元素，则有：①A的子集的个数为2n个；②A的真子集的个数为2n－1个；③A的非空真子集的个数为2n－2个．【例4】满足∅⫋M⊆{1，2，3}的集合M共有（）A．6个 B．7个 C．8个 D．15个【变式4-1】已知{1，3}⊆A⫋{1，2，3，4，5}，则满足条件的集合A的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【变式4-2】已知集合S＝{x|ax＝1}是集合T＝{x|x2﹣1＝0}的子集，则符合条件的实数a的值共（）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个【变式4-3】已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a1+a2+a3＝（）A．1 B．2 C．3 D．6【题型5利用集合间的关系求参数】【方法点拨】①当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．②当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．【例5】已知集合A＝{﹣2，3，1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m的取值集合为（）A．{1} B．{3} C．{1，﹣1} D．{3，−【变式5-1】已知集合A＝{x∈R|x2+x﹣6＝0}，B＝{x∈R|ax﹣1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为（）A．13或−12 B．−13或12【变式5-2】已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|x﹣a＜0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（）A．（3，+∞） B．[3，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]【变式5-3】设集合A＝{x|0＜x＜2019}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．{a|a≤0} B．{a|0＜a≤2019} C．{a|a≥2019} D．{a|0＜a＜2019}【题型6集合间关系中的新定义问题】【方法点拨】根据题目所给的有关集合的新定义问题，结合集合间的关系，进行转化求解即可.【例6】定义集合A★B＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，设A＝{2，3}，B＝{1，2}，则集合A★B的非空真子集的个数为（）A．12 B．14 C．15 D．16【变式6-1】集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q的真子集个数为（）A．31 B．63 C．32 D．64【变式6-2】定义集合中的一种运算“*”，A*B＝{ω|ω＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，若集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则A*B的非空子集个数是（）A．7 B．8 C．15 D．16【变式6-3】对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”，法则如下：当m，n都是正奇数时，m※n＝m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N*，b∈N*}的真子集的个数是（）A．27﹣1 B．211﹣1 C．213﹣1 D．214﹣1专题1.2集合间的基本关系-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2021秋•凉州区校级月考）下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅⫋A，则A≠∅．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．下列集合中表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} B．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1} C．M＝{4，5}，N＝{5，4} D．M＝{1，2}，N＝{（1，2）}3．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，则A的含有2个元素的子集的个数是（）A．3 B．5 C．10 D．204．已知集合A＝{1，a，b}，B＝{﹣1，a2，b2}，若A＝B，则a+b＝（）A．1 B．0 C．﹣1 D．无法确定5．设集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，集合B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则a的取值范围为（）A．a≥3 B．﹣1≤a≤3 C．a≥﹣1 D．a≤﹣16．已知集合M＝{1，4，x}，N＝{1，x2}，若N⊆M，则实数x组成的集合为（）A．{0} B．{﹣2，2} C．{﹣2，0，2} D．{﹣2，0，1，2}7．已知集合A＝{x∈R|x2+x﹣6＝0}，B＝{x∈R|ax﹣1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为（）A．13或−12 B．−13或128．定义A*B＝{Z|Z＝xy+1，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0，1}，集合B＝{1，2，3}，则A*B集合中真子集的个数是（）A．14 B．15 C．16 D．17二．多选题9．下列集合中，与{1，2}相等的是（）A．{4，(−2)0} B．{x∈N||C．{x|x2﹣3x+2＝0} D．{10．给出下列四个集合，其中为空集的是（）A．{∅} B．{x∈R|x2+x+1＝0} C．{（x，y）|y=−1xy=x，x，y∈R} D．{x∈R11．以下满足{0，2，4}⊆A⫋{0，1，2，3，4}，则A＝（）A．{0，2，4} B．{0，1，3，4} C．{0，1，2，4} D．{0，1，2，3，4}12．定义：若集合A非空，且是集合B的真子集，就称集合A是集合B的孙子集．下列集合是集合B＝{1，2，3}的孙子集的是（）A．∅ B．{1} C．{1，2} D．{1，2，3}三．填空题13．若集合A＝{x|ax2﹣2ax+a﹣1＝0}＝∅，则实数a的取值范围是．14．设集合A={x∈N|y=12x+3∈N}，则集合A的子集个数为15．已知集合A＝{x∈R|2a≤x≤a+3}，B＝{x∈R|x＜﹣1或x＞4}．若A⊆B，则实数a的取值范围是．16．定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈B}，设A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊗B的真子集的个数为．四．解答题17．已知集合A＝{x|x2+2x+m＝0}，是否存在这样的实数m，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由．18．已知集合A＝{x|x2+4ax﹣4a+3＝0}，B＝{x|x2+（a﹣1）x+a2＝0}，C＝{x|x2+2ax﹣2a＝0}，其中至少有一个集合不为空集，求实数a的取值范围．19．定义A⊗B＝{z|z＝xy+xy，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，（1）求集合A⊗B的所有元素之和．（2）写出集合A⊗B的所有真子集．20．已知集合A＝{x|x