立体几何大题综合（学生版）-2024届新高考数学复习题型突破

立体几何大题综合

I冲剌秘籍I

1.空间中的平行关系

(1)线线平行

(2)线面平行的判定定理：

平面外一直线与平面内一直线平行,则线面平行

(3)线面平行的性质定理

若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行

(4)面面平行的判定定理

判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行

判定定理2:一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行

(5)面面平行的性质定理

性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面

性质定理2:两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行

2.空间中的垂直关系

(1)线线垂直

(2)线面垂直的判定定理

一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直

(3)线面垂直的性质定理

性质定理1：一直线与平面垂直,则这条直线垂直于平面内的任意一条直线

性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行

(4)面面垂直的判定定理

一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直(或:一个平面经过另一个平面的垂线，则

面面垂直)

(5)面面垂直的性质定理

两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面

3.异面直线所成角

cos。=卜。s伍，间=卫乌=,山"竺竺」

|a|,\b\y/xl+yl+zl•J曷+若•••

（其中60y490°）为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量）

ARa/vvj

4.直线AB与平面所成角，sin£="皿（亦为平面a的法向量）.

\AB\\m\

5.二面角a-Z—£的平面角

cosd=巫曳（抗，n为平面a,B的法向量）.

|m||n|

6•点8到平面a的距离

d=|AB，W|（n为平面a的法向量，AB是经过面a的一条斜线，ACa）.

\n\

一、解答题

遮目|T（2023•广东梅州•统考三模）如图所示，在几何体尸ABCD中，入。，平面产AB,点。在平面

PAB的投影在线段PB上（BC<PC）,BP=6,AB=AP=273,DC=2,CD//平面PAB.

D

⑴证明:平面PCD，平面PAD.

（2）若二面角B-CD-P的余弦值为4,求线段AD的长.

建目U（2023•浙江•校联考模拟预测）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面

PAD是边长为2的正三角形，平面PAD±平面ABCD,AB±PD.

（1）求证:平行四边形ABCD为矩形；

（2）若E为侧棱PD的中点,且平面ACE与平面ABP所成角的余弦值为平，求点B到平面ACE的

距离.

题目|T(2023•福建福州•福建省福州第一中学校考二模)如图1，在△ABC中，AB=4C=2,/R4C=

等,E为8。的中点，F为AB上一点，且EF_LAB.将ABEF沿E尸翻折到的位置，如图2.

O

⑴当今吕二方时，证明：平面平面ABC；

(2)已知二面角B-EF-A的大小为?棱AC上是否存在点M,使得直线RE与平面笈M尸所成角

的正弦值为竞？若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由.

•••

建目［T（2023•江苏扬州•统考模拟预测）如图，平行六面体ABCD-A.B.C.D,的体积为6，截面ACC,

4的面积为6.

（1）求点B到平面ACG4的距离；

（2）若AB=4D=2,ABAD=60°，44产V6，求直线8。与平面CCQQ所成角的正弦值.

建目叵（2023•浙江温州•乐清市知临中学校考二模）在三棱锥O—ABC中，AB=BC=OB=2,

NABC=120°,平面BCO±平面ABC,且OB±AB.

⑴证明：OBLAC；

（2）若F是直线OC上的一个动点，求直线人尸与平面ABC所成的角的正切值最大值.

6

建目|T（2023•福建宁德•校考模拟预测）图1是由直角梯形ABCD和以CD为直径的半圆组成的平面

图形，AB,==E是半圆上的一个动点，当△CDE周长最大时,

将半圆沿着CD折起,使平面PCD，平面此时的点E到达点P的位置，如图2.

⑴求证：_BD，PD；

（2）求平面PAB和平面PCD夹角的余弦值.

题目［7（2023•福建福州•福州四中校考模拟预测）如图，在直三棱柱ABC—45G中，47,BC,AC

=2,且BC=C”1,点。在线段（含端点）上运动，设4=*.

（1）当AB〃平面A.CD时,求实数A的值；

（2）当平面A.CD±平面AQQ时,求平面A.CD与平面ABBA的夹角的正弦值.

题目叵（2023•福建三明・统考三模）如图，平面五边形ABCDE由等边三角形ADE与直角梯形AB。。

组成，其中AD±DC,AD=2BC=2,CD=g,将△ADE沿AD折起，使点E到达点M

的位置，且BM=a.

（1）当a=4时，证明AD，并求四棱锥M-ABCD的体积；

（2）已知点尸为棱CM上靠近点。的三等分点，当a=3时,求平面PBD与平面ABCD夹角的余弦

值.

题目叵(2023•河北•统考模拟预测)在圆柱QQ中，等腰梯形ABCD为底面圆Q的内接四边形，且

人。=。。=6。=1,矩形45尸后是该圆柱的轴截面，CG为圆柱的一条母线，CG=1.

(1)求证:平面OQG//平面ADE-,

(2)设毋=4反/e[0,1],试确定A的值,使得直线AP与平面ABG所成角的正弦值为卫骁.

题目回（2023•河北衡水•衡水市第二中学校考三模）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB〃CD，CP，

CD,CD=2AB=2,AP=AC=AD.

⑴证明：平面PBC±平面PCD；

（2）已知CP=V2BC=2,DQ=ADP,/IG[0,1].若平面ABP与平面ACQ夹角的余弦值为普，求4

的值.

11

题目E(2023•河北•校联考三模)如图，四棱锥P—ABC。的底面ABCD是菱形，其对角线交

于点。，且PO,平面48。。,0。=1,0。=0。=2,“是/:＞。的中点，加_是线段。0上一动点.

(1)当平面OMNII平面PBC时，试确定点N的位置，并说明理由；

⑵在⑴的前提下，点Q在直线MN1.,以PQ为直径的球的表面积为年乃.以。为原点，OC,OD,

OP的方向分别为土轴、沙轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系。-cyz,求点Q的坐标.

•••

建目|j2j（2023•河北沧州•校考模拟预测）如图,在斜三棱柱ABC-中，AA产AB,AB.A.A.C,

A5的中点为0,8。的中点为D.

⑴证明：O。//平面ACC^；

（2）若ZACB=90°,ABi=BQ,4。=2BC=4,求平面ACG4与平面ABC所成角的大小.

题目［J3J（2023-山东济南•校考模拟预测）如图，在直角梯形ABCD中，4D〃RC,AD，,四边形

CDEF为平行四边形,对角线CE和OF相交于点H,平面CDEF_L平面ABCD,BC=2AD,ADCF

=60°,G是线段BE上一动点（不含端点）.

（1）当点G为线段BE的中点时,证明：AG〃平面CDEF；

（2）若人。=1,。。=。七=2,且直线。3与平面。。后尸成45°角，求二面角后一。3—尸的正弦值.

建目［nJ（2023•山东•山东师范大学附中校考模拟预测）矩形ABCD所在平面与等腰梯形ACEF所在

平面互相垂直,EF〃AC,EF=卷入。,直线4F1与平面ABCD所成角为60°,E尸=48=2.

E

（1）求平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值；

（2）线段A尸上任意一点到平面的距离是否为定值？如果是，则求出定值，否则说明理由.

题目叵(2023•山东荷泽•山东省邺城县第一中学校考三模)已知在直三棱柱ABC-中，其中

AA,=2AC=4,AB=BC,F为5场的中点，点E是CG上靠近G的四等分点，4口与底面4BC所成

角的余弦值为乎.

⑴求证:平面AFC1.平面ArEF；

(2)在线段A1尸上是否存在一点N,使得平面AFC与平面NBiG所成的锐二面角的余弦值为笫,

若存在，确定点N的位置，若不存在,请说明理由.

•••

题目叵（2023•湖北武汉•统考模拟预测）已知图1是由等腰直角三角形人成和菱形BCDE组成的一

个平面图形，其中菱形边长为4,ZA=90°,ZL>=60°.将三角形A3E沿BE折起，使得平面

平面BCDE（如图2）.

4

图1图2

⑴求证：AC±CD；

（2）求二面角B—4C—D的正弦值.

题目叵（2023•广东佛山•统考模拟预测）如图1,菱形ABCD的边长为2瓜，AABC=冷，将AABD沿

0

BD向上翻折,得到如图2所示得三棱锥A-BCD.

图1图2

（1）证明：

（2）若3,在线段BD上是否存在点G，使得平面ACG与平面BCD所成角的余弦值为吟?若

存在，求出BG；若不存在,请说明理由.

题目叵（2023•广东佛山•校考模拟预测）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，平面

PAD，平面48CD,=4,P4=PD,E,尸分别为的中点.

（1）求证：E尸〃平面PAB；

（2）若PD，后尸,求二面角F-BE-A的余弦值.

题目厘（2023•广东深圳•统考二模）如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形，PA，平面

ABCD,PA=AD=V2AB，点M是的中点.

⑴证明：AMJ_PC；

（2）设AC的中点为。，点N在棱PC上（异于点P,C）,且ON=O4,求直线AN与平面AC7W所成角

的正弦值.

题目20（2023•江苏徐州.校考模拟预测）在三棱台ABC-OE尸中，G为AC中点，AC=2。尸，ABV

BC,BC_LCF.

⑴求证：BC,平面DBG；

⑵若AB=8C=2,CF，43,平面EFG与平面ACFD所成二面角大小为母,求三棱锥E-DFG

O

的体积.

题目②3（2023•重氏二模）如图,在圆台OQ中，AB分别为上、下底面直径，且4B〃AB,AB

2A1B1,CG为异于的一条母线.

（1）若M为AC的中点，证明：G河〃平面ABB.A,；

（2）若OOi=3,AB=4：,ZABC=30°,求二面角A-C^-O的正弦值.

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题目囱（2023•广东汕头•金山中学校考模拟预测）如图，在三棱台ABC-A.B.C.中湎44QQL面

ABC,ZACA,=/ACB=45°,AQ=2BC=4

（1）证明：耳G_L4B；

（2）若棱台的体积为坐2,47=号4。，求二面角A—BC—瓦的余弦值.

21o

题目叵（2023•湖北武汉•华中师大一附中校考模拟预测）如图，平行六面体ABCD-ABiGA中，点

P在对角线AD1上，ACn=。,平面ACP//平面4GD

⑴求证：O,P，B三点共线;

（2）若四边形ABCD是边长为2的菱形，ABAD=ABAA=ADAA,=三,A4产3,求二面角P-AB

XO

-C大小的余弦值.

•••

题目叵〕（2023・湖北•统考二模）如图，在三棱柱ABC—4BQ1中，入。==1,瓦尸分别为A

C,8场的中点，且E尸，平面AAVCXC.

（1）求棱的长度；

（2）若BB」45，且ZVliFC的面积S^iFC=乌,求二面角瓦―4斤-。的正弦值.

25

题目画(2023•山东荷泽•统考二模)如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PDC，平面ABCD,PD=

PC=2V2,CB=BA=^-AD=2,AD//CB,ABAD=90°,E为PD中点.

⑴求证：CE〃面PAB；

⑵点Q在棱P4上，设所=4巨?(0V4V1),若二面角P-CO-Q余弦值为霁，求Z

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题目回（2023•江苏•统考三模）如图，三棱锥P—ABC的底面为等腰直角三角形，AABC=90°,AB=

2.分别为AC,的中点，尸。1.平面ABC,点M在线段PE上.

⑴再从条件①、②、③、④四个条件中选择两个作为已知，使得平面MB。，平面PBC,并给予证明;

（2）在⑴的条件下,求直线BP与平面所成的角的正弦值.

条件①:PD=2；

条件②：APED=60°；

条件③：PN=3ME：

条件④：PE=3ME.

题目区(2023•安徽黄山吨溪一中校考模拟预测)如图所示,在平行四边形ABCD中，48=2BC=

8V3,/.DAB=号,E为边AB的中点，将AADE沿直线0E翻折为△/'£>£,若尸为线段AC的中点.

O

在△ADE翻折过程中，

(1)求证：BF〃平面HDE；