人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题5.6 函数y=Asin(ωx+φ) 重难点题型精讲及检测（教师版）

第第页专题5.6函数SKIPIF1<0（重难点题型精讲）1．匀速圆周运动的数学模型筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-2).明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2).假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.2．SKIPIF1<0,A对函数SKIPIF1<0的图象的影响(1)SKIPIF1<0对SKIPIF1<0的图象的影响函数SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）的图象，可以看作是把正弦曲线SKIPIF1<0上所有的点向左(当SKIPIF1<0>0时)或向右(当SKIPIF1<0<0时)平移|SKIPIF1<0|个单位长度而得到(可简记为“左加右减”).(2)SKIPIF1<0对SKIPIF1<0的图象的影响

函数SKIPIF1<0的图象，可以看作是把SKIPIF1<0的图象上所有点的横坐标缩短(当SKIPIF1<0>1时)或伸长(当0<SKIPIF1<0<1时)到原来的SKIPIF1<0倍(纵坐标不变)而得到.(3)SKIPIF1<0对SKIPIF1<0的图象的影响

函数SKIPIF1<0的图象，可以看作是把SKIPIF1<0图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.(4)由函数SKIPIF1<0的图象得到函数SKIPIF1<0的图象以上两种方法的图示如下：3．函数SKIPIF1<0的图象类似于正弦型函数，余弦型函数SKIPIF1<0的图象的画法有以下两种.

(1)“五点法”，令SKIPIF1<0，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到SKIPIF1<0在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得SKIPIF1<0的图象.

(2)“变换作图法”的途径有两种.

一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由SKIPIF1<0的图象通过变换作图法得到SKIPIF1<0(SKIPIF1<0>0,A>0)的图象，即：二是由诱导公式将余弦型函数SKIPIF1<0转化为正弦型函数，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0的图象通过变换作图法得到SKIPIF1<0的图象即可.【题型1“五点法”作函数SKIPIF1<0的图象】【方法点拨】用“五点法”画函数SKIPIF1<0(x∈R)的简图，先作变量代换，令X=SKIPIF1<0，再用方程思想由X取SKIPIF1<0来确定对应的x值，最后根据x,y的值描点、连线、扩展，画出函数的图象.【例1】（2022·全国·高一课时练习）用五点法作函数y=Asinxπ2πωx+φ0ππ3π2πy040-40则A，ω，φ的值分别为（

）A．4，2，−π3 B．4，12，π3 C．4，2，π6【解题思路】由表中数据求出A、T的值，利用周期公式可求ω的值，根据图象过(π6，0)，即可求得【解答过程】解：由表中的最大值为4，最小值为−4，可得A=4，由2π3−π6=∵y=4sin(2x+φ)，图象过(π6，0)，∴0=4sin(π6×2+φ)∵|φ|<π2，∴当k=0时，φ=−π【变式1-1】（2022·全国·高一课时练习）用“五点法”作y=2cosx−1在[0,2π]的图象时，应取的五点为（A．(0,1),π2,0C．(0,1),(π,−3),(2π,1),(3π,−3),(4π,1) D．(0,1),【解题思路】取[0,2π]内五个关键点，即分别令x＝0，π2，3π2，π，2【解答过程】∵y=2cosx−1，∴周期T＝2应描出的五个点的横坐标分别是x＝0，π2，π，3π2，2π．代入解析式可得点的坐标分别为(0,1),(π2,−1),(π,−3),(3π【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）某同学用“五点法”画函数f(x)=Asinωx+φ0ππ3π2πxππ5π7π3πy020−20则f(x)的解析式为（

）A．f(x)=2sin(x−πC．f(x)=sin(2x−π【解题思路】由表格中f(x)的五点，由正弦型函数的性质可得A=2、T2=π3、【解答过程】由表中数据知：A=2且T2=7π∴2πω=2π3，即ω=3，又3×π4【变式1-3】（2021·浙江台州·高一期中）小明用“五点法”画函数f(x)=Asinωx+φ0ππ2πxπ7πy=A020−20请你根据已有信息推算A，ω,φ的值依次为（

）A．2，2，−π3 B．2，2，π6 C．2，π，−【解题思路】根据“五点法”中五点对应的值计算．【解答过程】由已知A=2，ωπ12+φ=π【题型2三角函数间图象的变换】【方法点拨】可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换.【例2】（2022·宁夏·高三阶段练习（理））为了得到函数y=cosx的图象，只需将函数y=sinA．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移π6B．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移π3C．横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移πD．横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移π【解题思路】根据三角函数的函数变换规则，结合诱导公式，可得答案.【解答过程】由函数y=sin2x+π由sinx+π2=cosx，则将函数【变式2-1】（2022·天津·高三阶段练习）将函数fx=sin2x的图象先向右平移π3个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数gA．12 B．−32 C．−【解题思路】根据三角函数图象的变换求得g(x)，再求结果即可.【解答过程】将函数fx=sin2x的图象先向右平移π3故gπ【变式2-2】（2022·山东青岛·高三期中）把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π6个长度单位，得到函数y=sin2x−A．f(x)=sin4x+πC．f(x)=sinx2【解题思路】根据图象变换求解析式即可.【解答过程】y=sin2x−π6向左平移π6得到y=sin2x+【变式2-3】（2022·安徽·高二开学考试）已知函数fx=cos2x−3π4，先将fx的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移πA．gx=sinxB．gx=−【解题思路】利用三角函数的伸缩变换和平移变换求解.【解答过程】解：先将fx的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cosx−3π4【题型3与三角恒等变换有关的图象变换问题】【方法点拨】根据三角恒等变换的相关知识对所给解析式进行化简，利用图象变换规律进行变换即可.【例3】（2022·广东广州·高三阶段练习）已知函数fx=sin2ωx-cos2ωx+1(0<ω<1)，将fx的图像先向右平移π4个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数A．14 B．12 C．23【解题思路】根据辅助角公式将fx化简，利用图像变换得到的gx解析式，再由对称和ω的范围求得【解答过程】由已知fx将fx的图像先向右平移π得到gx=2sin2则sinωπ-ωπ2−π4=0，所以【变式3-1】（2022·江西·高三阶段练习（文））已知函数f(x)=sin2x+πA．函数f(x)的最小正周期为2B．函数f(x)在−πC．将函数f(x)的图像向左平移π6个单位长度，所得图像对应的函数解析式为D．将函数f(x)的图像向左平移π12个单位长度，所得图像对应的函数解析式为【解题思路】首先利用三角恒等变换化简函数，再根据函数的性质依次判断选项【解答过程】解：f(x)=函数f(x)的最小正周期为T=2πx∈−π4,π4，则2x−π6将函数f(x)的图像向左平移π6个单位长度，所得图像对应的函数解析式为g(x)=sin将函数f(x)的图像向左平移π12个单位长度，所得图像对应的函数解析式为g(x)=sin2【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）将函数f(x)=3sinxcosx+cos2x−1的图象向右平移π6A．−π12+C．−π3+2k【解题思路】先利用三角恒等变换化简，得到f(x)=sin2x+π【解答过程】f(x)=3则g(x)=sin4x−π解得：x∈−【变式3-3】（2022·天津·高三期中）已知函数fx=cosA．函数fx的最小正周期为B．函数fxC．函数fx在−D．将函数fx的图象向右平移π12【解题思路】首先利用三角恒等变换化简函数，再根据函数的性质依次判断选项【解答过程】对于A和B，fx=cos2x−π所以fx的最小正周期为2π2=π对于C，当x∈−π6因为y=sinx在−π2,对于D，将函数f(x)的图像向右平移π12个单位长度，所得图像对应的函数解析式为g(x)=【题型4由部分图象求函数的解析式】【方法点拨】根据部分图象求出解析式中的A，SKIPIF1<0，即可得解.【例4】（2022·黑龙江·高三阶段练习）函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2A．f(x)=2sinx−C．f(x)=2sinx−【解题思路】由函数图象得到A、T4，即可求出ω，再根据函数过点7π12,−2及φ的取值范围，求出φ，即可得解.【解答过程】解：由函数图象可得A=2，T4所以f(x)=2sin2x+φ，由函数过7所以7π6+φ=3π2+2kπ，k∈Z，所以φ=【变式4-1】（2022·广东佛山·高三期中）已知函数fx=Asinωx+φ的图象如图所示，则A．fx=2cosC．fx=sin【解题思路】根据振幅可确定A，根据周期可确定ω，进而根据最高点13π12，2【解答过程】由图可知：A=2,34fx经过最高点13π12，2所以fx【变式4-2】（2022·四川·高三期中（理））已知函数fx=AsinA．直线x=π是函数fxB．函数fx的图象的对称中心为−πC．函数fx在3πD．将函数fx的图象向左平移π【解题思路】先根据函数图象，求出函数的解析式，然后根据三角函数的周期，对称轴，单调区间，奇偶性逐项进行检验即可求解.【解答过程】由函数图象可知，A=2，最小正周期为T=4×(5π12−π6)=π，所以ω=2ππ=2.将点(对于A，令2x+π6=π2+kπ，k∈Z，即x=π对于B，令fx=2sin(2x+π6)=0，则2x+π6=kπ，k∈Z，所以对于C，令2kπ−π2≤2x+因为x∈3π2,11π6，所以函数f对于D，将函数fx的图象向左平移π12个单位长度后，得到gx【变式4-3】（2022·宁夏·高三阶段练习（理））函数fx=AsinA．函数fx的解析式为B．函数fx的单调递增区间为C．为了得到函数fx的图象，只需将函数gx=2D．函数fx的图象关于点k【解题思路】由题意求出fx【解答过程】对于A选项，不妨设A>0，则A=3−−12由sinω×−π两式相减得2π3ω=4设函数fx的最小正周期为T，因为T2≤5π12+因为−π4+5π因为φ<π，所以，φ=π对于B，由−π2+2k对于C，将函数2cos2x+π3向右平移向上平移一个单位长度可得y=2sin对于D，令2x+π3=函数fx的图象关于点π【题型5三角函数模型在匀速圆周运动中的应用】【方法点拨】利用三角函数模型解决实际问题时，首先寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型；其次是寻找数据，建立函数解析式并解题；最后将所得结果“翻译”成实际答案，要注意根据实际作答.【例5】（2022·全国·高一课时练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；（2）求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度；（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.【解题思路】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心Q为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，座舱转动的角速度约为π15（2）将数据代入解析式计算得到答案.（3）计算H1=55sinℎ=110sin【解答过程】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心Q为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，设t=0min时，游客甲位于点P(0,−55)，以OP为终边的角为−根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约为π15由题意可得H=55sinπ15（2）当t=5时，H=55sin所以游客甲在开始转动5min后距离地面的高度约为37.5m.（3）如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则∠AOB=2π经过tmin后甲距离地面的高度为H1=55sinπ15t−π此时乙距离地面的高度为H2则甲、乙距离地面的高度差h=55sinπ15t−可得ℎ=110sinπ48当π15t−π48=π2所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m.【变式5-1】（2022·陕西汉中·高一期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m，筒车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以盛水筒P装刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为y=Asin(1)求A，m，φ，b的值；(2)盛水简出水后至少经过多长时间就可以到达最高点？【解题思路】（1）由题可得A+b=92−A+b=−32（2）由函数最大值为92，可得πt−π6=π【解答过程】（1）由题易知A+b=92−A+b=−32，解得A=3，b=∴y=3sinπt+φ+32，∴0=3sinφ+32，φ<π2，（2）由y=3sinπt−π6+32=92，得sin∴当k=0时，盛水筒出水后第一次到达最高点，此时t=23min【变式5-2】（2022·全国·高一课时练习）已知电流随时间t变化的关系式是i=5sin(1)求电流i的周期､频率､振幅和初相;(2)分别求t=0,1【解题思路】（1）由三角函数的A，ω和φ的意义进行求解即可．（2）代入函数解析式求值即可.【解答过程】解：（1）∵i=5sin100πt+π3,t∈[0,+∞)所以函数的周期T=2πω=2π100π=1（2）当t=0时,i=5sinπ3=5当t=1150时,i=5sin23当t=160时,【变式5-3】（2022·吉林·高一期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）（在水面下则h为负数）.(1)求点P距离水面的高度为h关于时间为t的函数解析式；(2)求点P第一次到达最高点需要的时间（单位：s）.【解题思路】（1）根据题意，建立函数关系式；（2）直接解方程即可求解.【解答过程】（1）盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t，则以Ox为始边，OP为终边的角为2π15t−π6，故P点的纵坐标为4sin(2π（2）令ℎ(t)=4sin(2π15t−π6得t=15k+5，k∈Z，因为点P第一次到达最高点，所以0<t<2π2π15【题型6函数SKIPIF1<0与三角恒等变换的综合应用】【方法点拨】对于给角求值问题，需观察题中角之同的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角的形式，正用、逆用、变形用二倍角公式求值，注意利用诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化.【例6】（2022·福建·高三期中）已知函数fx(1)求函数fx(2)将函数fx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π6个单位，得到函数gx的图象，当x∈【解题思路】（1）利用三角恒等变换得到fx（2）根据伸缩变换和平移变换得到gx=sinx−π【解答过程】（1）fx令π2+2kπ所以函数fx的单调递减区间为：5（2）将函数fx得到函数y=sinx−π得到gx=sinx+π所以gx的值域为1【变式6-1】（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数fx(1)求函数fx在区间−(2)将函数fx图像向右移动π6个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的a0<a<1倍得到y=gx的图像，若y=gx【解题思路】（1）先化简f(x)，再利用正弦函数的性质即可得到答案；（2）先利用题意的图象变换得到gx=2sin【解答过程】（1）依题意可得f(x)=4=sin当−π4≤x≤π6时，−π6≤2x+π所以函数fx在区间−π4（2）由（1）知，f(x)=2sin2x+π3，将函数fx图像向右移动π因为x∈−1,1，2ax∈−2a,2a，又y=sinx在y轴右侧的第50个最大值点为π所以a的取值范围0,4【变式6-2】（2022·宁夏高三阶段练习（文））已知函数f(x)=23(1)若f(x)=0,x∈−π2(2)将函数f(x)的图象向左平移π3个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在π【解题思路】（1）利用二倍角公式、两角差的正弦展开式进行化简可得fx=2sin2x−π6+1【解答过程】（1）fx由f(x)=0，得2sin2x−π故2x−π6=−π6即x=kπ或x=−π3+kπ，k∈Z，又（2）将函数f(x)的图象向左平移π3个单位，可得函数图象的解析式为y=2sin2∵π所以函数g(x)在π12,2【变式6-3】（2022·江苏常州·高三期中）记函数f(x)=sin2ωx+3sinωxcosωx(ω>0)的最小正周期为(1)求ω的值；(2)将函数y=fx的图象向左平移π4个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=gx的图象，求g【解题思路】整理函数f(x)为正弦型函数，再根据对称性得ω取值情况，结合最小正周期T的范围，转化为ω的取值范围，结合可得ω的值；根据三角函数的图象变换得函数y=gx的解析式，再根据自变量的取值范围得函数y=g【解答过程】（1）解：f(x)=1−所以f(x)=sin2ωx−π6+12所以ω=2+3k，k∈Z，因为函数的最小正周期T满足π3所以π3<2π2ω（2）解：由（1）得，f(x)=sin4x−则g(x)=sin因为x∈−π2,0，所以2x+5gx在−π2,0专题5.6函数SKIPIF1<0（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2021·广东揭阳·高一期末）某同学用“五点法”画函数fxωx+φ0ππ3π2xπ5πA05−50根据表格中的数据，函数fx的解析式可以是（

A．fx=5sinC．fx=5sin【解题思路】根据函数最值，可求得A值，根据周期公式，可求得ω值，代入特殊点，可求得φ值，即可得答案.【解答过程】由题意得最大值为5，最小值为-5，所以A=5，T2=5π6−又2×π3+φ=π2，解得φ=−2．（3分）（2022·四川泸州·一模（理））为了得到函数y=cosx的图象，只需将函数y=sinA．先横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π3B．先横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移2π3C．先横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移πD．先横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移2π【解题思路】根据三角函数图象的变换，结合函数解析式，即可直接判断和选择.【解答过程】将y=sin2x−π再向左平移2π3个单位长度得到y=故选：B.3．（3分）（2022·广西·高三阶段练习（文））将函数fx=sinπ3A．x=π12 B．x=π4 C．【解题思路】根据三角函数图象的变换，求得平移后函数的解析式，再求其对称轴即可.【解答过程】将函数fx=siny=sin令2x−2π3=kπ+π2,k∈Z故选：A.4．（3分）（2023·全国·模拟预测（理））已知函数fx=sinωx+φω>0,φ<π2与函数y=gx的部分图象如图所示，且函数A．12 B．1 C．32 【解题思路】根据函数平移，利用图象上已知条件求函数解析式，求函数值，可得答案.【解答过程】由题意可知，将函数y=gx图象上的点−π3可得y=fx的图象与x轴负半轴的第一个交点为−因为y=fx的图象与x轴正半轴的第一个交点为5π所以T=2×5π12+π12又f−π12=sin−π则f(x)=sin2x+π6，5．（3分）（2022·江西·高三阶段练习（理））函数fx=3sinωx+φ（ω>0且0<φ<π）在一个周期内的图像如图所示，将函数y=fx图像上的点的横坐标伸长为原来的3倍，再向左平移πA．gx=3sinC．gx=−3sin【解题思路】根据函数图像可知周期，利用周期可求ω，最后带点即可求出f(x)=3sin43【解答过程】解：由图像可知T2=5π8+π8=3π∵点5π8,−3在函数图像上，∴5π6+φ=2kπ+3π2∴函数解析式为f(x)=3sin将函数图像上的点的横坐标伸长为原来的3倍，再向左平移π12个单位长度，得f(x)=36．（3分）（2022·四川省高三阶段练习（理））已知：函数fx=3A．将fx的图像向右平移π6个单位长度得B．fx在π4C．若fx1=fxD．fx的图像关于点π【解题思路】对函数化简变形得fx【解答过程】化简f对于A，将fx的图像向右平移π6个单位长度得对于B，x∈π4,π2对于C，fx的最小正周期为T=2π2=π，故fx对于D，fπ12=sin2×故选：C.7．（3分）（2022·湖北·高一期中）如图，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为332m，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为d=Asinωt+φ+kA>0,ω>0,−π2<φ<πA．332，π15，3，π6 B．332C．3，π15，332，−π6 D．3，【解题思路】根据dmax=A+k，dmin=k−A可构造方程组求得A,k；根据最小正周期可求得ω；根据t=0时，【解答过程】由题意知：dmax=3+3∴A+k=3+332k−A=332−3，解得：A=3k=3当t=0时，d=3sinφ+332=0，即综上所述：A=3，ω=π15，k=38．（3分）（2022·天津市高三阶段练习）已知函数f(x)=3①函数f(x)的最小正周期为π；②π12,−1③x=π3是函数④将函数f(x)的图像向左平移π12个单位长度，即可得到函数y=其中所有正确的结论的序号是（

）A．①③④ B．②③④ C．①②③④ D．①③【解题思路】先得到函数fx【解答过程】解：fx=32sin因为sin2×π12−π因为sin2×π3−π6+将函数fx的图像向左平移π12个单位长度，即可得到函数y=sin故选：A.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高一课时练习）下列四种变换方式中能将函数y=cosx的图象变为函数y=cosA．向右平移π4个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的B．向左平移π8C．每个点的横坐标缩短为原来的12，再向右平移πD．每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π4【解题思路】根据三角函数图象平移规律和周期变换逐项判断可得答案.【解答过程】y=cos对于A，将函数y=cosx的图象向右平移π4个单位长度，得到y=cosx−对于B，将函数y=cosx的图象向左平移π8个单位长度，得到y=对于C，将函数y=cosx的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12，得到y=cos2x对于D，将函数y=cosx的图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y=cos1210．（4分）（2022·山东·高三期中）函数fx=3sinA．fB．fx图象的一条对称轴方程是C．fx图象的对称中心是kπD．函数y=fx+【解题思路】首先根据题意得到fx【解答过程】由函数fx12T=3π8−−π8因为f−π8=3sin即φ=3π4+2kπ，k∈Z，因为对选项A，因为fx对选项B，f−对选项C，令2x+3π4=kπ，k∈Z所以fx的对称中心是12k对选项D，设gx则gx的定义域为R，g−x=3故选：BD.11．（4分）（2022·湖南·高三阶段练习）已知函数fx=23sinωxcosωx+2cos2ωx(ω>0)，且fxA．ω的值为1B．fx的单调递增区间为C．x∈0,π2D．x∈0,π2时，【解题思路】利用三角恒等变换化简fx解析式，根据fx的最小正周期求得ω，根据三角函数图象变换求得【解答过程】fx由于fx的最小正周期为π，所以2π2ω=2kπ所以gx的单调递增区间是k函数fx的图象向右平移π6个单位长度后得到由于0≤x≤π所以sin2x−所以x∈0,π2时，gx的最大值为故选：AC.12．（4分）（2023·全国·高三专题练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则（

A．点P再次进入水中时用时30秒B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米D．点P第二次到达距水面1+3【解题思路】以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，则点P距离水面的高度H=2sinπ30【解答过程】解：由题意，角速度ω=2π又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径OP0与水面所成角为π6，点P当水轮转动50秒时，半径OP0转动了50×π30=以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，设点P距离水面的高度H=Asin由Hmax=A+B=3H又角速度ω=2π60=π30弧度/秒，t=0时，∠xO所以点P距离水面的高度H=2sinπ30t−π6+1将H=1+3代入H=2sinπ30t−π6+1中，得π30t−π6=2kπ+故选：BCD．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·福建·高三阶段练习）将函数y=3sinx+cosx,x∈R图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图像向左平行移动π【解题思路】首先化简函数，再根据图像变化规律求函数的解析式.【解答过程】y=2sinx+π6，图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得函数y=2sin故答案为：y=2sin14．（4分）（2022·北京市高三期中）如图为函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ【解题思路】根据图象得到，A=2，T2=2π3−π6=π【解答过程】由题中的图象知，A=2，T2=2π3−因为图象过点π6,2，所以2×π∵φ<π2，∴φ=π15．（4分）（2022·湖南高一期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图）．假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒M距离水面的高度H（单位：米）与转动时间t（单位：秒）满足函数关系式H=2sinπ60t+φ+54，φ∈0,π2，且【解题思路】由题意得2.25=2sinφ+54，求出【解答过程】因为t=0时，盛水筒M与水面距离为2.25米，所以2.25=2sinφ+5又φ∈0,π2，则φ=π6，所以H=2故答案为：9416．（4分）（2023·全国·高三专题练习）把y=sinx的图象向右平移φ0<φ<π2个单位，再把所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍，再把所得图象各点的纵坐标伸长为原来的2倍．得到函数①f(x)的一个单调递减区间为π3②f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位得到的函数是一个偶函数，则m的最小值为π3③f(x)的对称中心为kπ④若关于x的方程2[f(x)]2+nf(x)+1=0在区间π2,其中，判断正确的序号是①③④．【解题思路】根据平移得f(x)=2sin2x−φ，由f(x)≤fπ3和φ的范围解得φ，再根据x的范围和y=2sint的单调性可判断①；求出f(x)向右平移m(m>0)个单位的解析式，利用诱导公式和m的范围可判断②；求出f(x)的对称中心可判断③；令t=2x−【解答过程】根据题意得，函数经过平移伸缩变换后的解析式为：f(x)=2sin∵f(x)最值=fπ3∵0<φ<π当x∈π3,5π6,t=2x−π6f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位得到的函数是y=2sin则−π6−2m=令2x−π6=kπ⇒x=kπx∈π2,7π令s=f(x),s∈0,1，则关于x的方程2f(x)2+nf(x)+1=0在区间π2设gs=2s2+ns+1实数n满足0<−n4<1g0故答案为：①③④.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2021·全国·高一课时练习）将函数y=sin2x向右平移π（I）求y=fx（II）用“五点法”做出函数y=fx

【解题思路】（I）由平移变换得函数解析式；（II）由2x−2π3分别等于0,π【解答过程】（I）由题意f(x)=sin（II）列表：2x−0ππ3π2πxπ7π5π13π4πf(x)010−10描点连线：18．（6分）（2022·青海·高三期中）某同学用“五点法”画函数f(x)=Asinωx+φ0ππ3π2πxπ5πA05−50(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y=f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度，得到y=g(x)的图象．若y=g(x)图象的一个对称中心为5π12,0，求【解题思路】（1）由三角函数性质求解，（2）由三角函数图象变换得y=g(x)解析式，再由对称性列式求解，【解答过程】（1）根据表中已知数据，得A=5,T2=5π6ωx+φ0ππ3π2πxππ7π5π13πA050−50且函数表达式为f(x)=5sin（2）由（1）知f(x)=5sin2x−π因为函数y=sinx图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z．令2x+2θ−由于函数y=g(x)的图象关于点5π12,0中心对称，令解得θ=kπ2−π3,k∈Z．由θ>019．（8分）（2021·全国·高一专题练习）已知函数f（1）求fπ（2）将函数fx的图象向左平移mm>0个单位长度，所得函数图象与函数y=cos（3）若x∈θ，π2时，fx的最小值为【解题思路】先对函数解析式化简，（1）直