人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题5.7 三角函数的应用 重难点题型精讲及检测（教师版）

第第页专题5.7三角函数的应用（重难点题型精讲）1．函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0中各量的物理意义在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0中的常数有关.2．三角函数的简单应用(1)三角函数应用的步骤(2)三角函数的常见应用类型

①三角函数在物体简谐运动问题中的应用.

物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态.

②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用.

物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态.

③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用.

大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解决这些问题.【题型1三角函数在物体简谐运动问题中的应用】【方法点拨】物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态.【例1】（2022·全国·高三阶段练习（文））如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，则下列判断错误的是（

）A．该弹簧振子的振幅为2cmB．该弹簧振子的振动周期为1.6sC．该弹簧振子在0.2s和1.0s时振动速度最大D．该弹簧振子在0.6s和1.4s时的位移为零【解题思路】由简谐运动图象可得出该弹簧振子的振幅、最小正周期，可判断AB选项的正误，再根据简谐振动的几何意义可判断CD选项的正误.【解答过程】由图象及简谐运动的有关知识知，该弹簧振子的振幅为2cm，振动周期为2×1−0.2当t=0.2s或1.0s时，振动速度为零，该弹簧振子在0.6s和1.4s时的位移为零.所以，ABD选项正确，C选项错误.故选：C.【变式1-1】（2021·全国·高一专题练习）在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时．则物体对平衡位置的位移x（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系式为（

）A．x=32sinC．x=32sin【解题思路】设x=ft=Asinωt+φω>0，根据振幅确定A，根据周期确定ω【解答过程】设位移x关于时间t的函数为x=ft根据题中条件，可得A=3，周期T=2πω=3由题意可知当x=0时，ft取得最大值3，故3sinφ=3所以x=3sin【变式1-2】（2022·湖南·高一课时练习）如图为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是A．该质点的振动周期为0.7B．该质点的振幅为−5C．该质点在0.1s和0.5D．该质点在0.3s和0.7s【解题思路】由简谐运动得出周期和振幅，质点位移为零时，速度最大，加速度最小；位移最大时，速度最小，加速度最大.振动图象上某点的切线斜率的正负代表速度的方向，根据以上知识可判断出各选项命题的正误.【解答过程】对于A、B选项，由图可得知振幅为5cm，周期为2×0.7−0.3对于C选项，质点在0.1s和0.5s时刻，质点的位移为最大值，可知速度为零，C选项错误；对于D选项，质点在0.3s和0.7s时刻，质点的位移为0，则质点受到的回复力为0，所以加速度为0，D选项正确.故选D.【变式1-3】（2022·宁夏·高三阶段练习（理））我们来看一个简谐运动的实验：将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况．如图所示．已知一根长为Lcm的线一端固定，另一端悬挂一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是s=2cosgLt，其中g≈980cm/s2A．3.6 B．3.8 C．4.0 D．4.5【解题思路】由图象观察得出函数s=2cosglt的最小正周期为【解答过程】解：由题意，函数关系式为s=2cosglt，由图象可知，函数T=2πgl【题型2三角函数在圆周运动问题中的应用】【方法点拨】这类题一般明确地指出了周期现象满足的变化规律，例如，周期现象可用形如SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的函数来刻画，只需根据已知条件确定参数，求解函数解析式，再将题目涉及的具体的数值代入计算即可.【例2】（2022·浙江温州·高二期中）一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则点P距离水面的高度h（米）与tA．ℎ=2sinπ30C．ℎ=2sinπ30【解题思路】依据题给条件去求一个函数解析式即可解决.【解答过程】设点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为ℎ=Asin由A+B=3−A+B=−1，可得A=2B=1，由T=2由t=0时h=0，可得2sinφ+1=0，则sinφ=−12则点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为ℎ=2sin【变式2-1】（2022·全国·高一课时练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m），则点P第一次到达最高点需要的时间为（

）s.A．2 B．3 C．5 D．10【解题思路】设点P离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+2，根据题意求出A,ω,φ，再令【解答过程】设点P离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+2，依题意可得A=4，ω=8π所以ℎ(t)=4sin(2π15t−π6)+2，令ℎ(t)=4sin(2π15t−π6)=6，得故选：C.【变式2-2】（2022·北京·高一期末）石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径88米，总高约100米，匀速旋转一周时间为18分钟，配有42个球形全透视360度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差6分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（

）A．78米 B．112米 C．156米 D．188米【解题思路】角速度为2πft=44sin【解答过程】因为角速度为2π所以游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为ft由题意可得甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和g=112+44=112+44sin因为0≤t≤18，所以π6≤π9t+所以90≤112+44sinπ9t+π故选：C.【变式2-3】（2022·上海市高三期中）如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要30min.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，则在转动一周的过程中，高度H关于时间t的函数解析式是（

）A．H=55B．H=55C．H=−55D．H=−55【解题思路】根据题意，设Ht【解答过程】解：根据题意设，Ht因为某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m所以，该摩天轮最低点距离地面高度为10m，所以A+B=120−A+B=10，解得A=55,B=65因为开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要30min，所以，T=2πω=30因为t=0时，H0=10，故10=55sinφ+65，即所以，Ht【题型3三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用】【方法点拨】大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解决这些问题.【例3】（2021·全国·高一专题练习）如图是某市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asinωx+φ+BA．25°C B．26°C C．27°C【解题思路】由函数图像分析：由图像的最高点和=最低点求A,B，由周期求ω，根据特殊点求φ,得到函数解析式，把x=12带入即可求出中午12时天气的温度.【解答过程】对于函数y=Asinωx+φ+B，由图像可知：−A+B=10从x=6到x=14为函数的半个周期，即T2=8，所以T=16，即2πω所以y=10sinπ8所以10sin(π8×14+φ)+20=30当x=12时，y=10sin【变式3-1】（2022·全国·高三专题练习）夏季来临，人们注意避暑．如图是某市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asinωx+φ+B，则该市这一天中午12A．25∘C B．26∘C C．【解题思路】根据函数的图象求出y=10sin(π【解答过程】解：由题意以及函数的图象可知，A+B=30，−A+B=10，所以A=10，B=20.∵T2=14−6，∴T=16.∵T=2πω，∴ω=∵图象经过点(14,30)，∴30=10sin(π8∴φ可以取34π，∴当x=12时，y=10sin【变式3-2】（2022·全国·高一专题练习）某市一年12个月的月平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y=a+Acosπ6x−6（x=1,2,3,⋅⋅⋅,12）来表示，已知该市6月份的平均气温最高，为28∘A．25.5∘C B．22.5∘C C．【解题思路】根据已知条件列方程可求得a和A的值，可得函数解析式，将x=8代入即可求解.【解答过程】由题意可得：f6=a+Acosπ6所以fxf8【变式3-3】（2021·全国·高一专题练习）月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中12个月的月均温y（单位：∘C）与月份x（单位：月）的关系可近似地用函数y=Asinπ6x−3+a（x=1,2,3,⋯,12）来表示，已知6月份的月均温为29∘C，A．20∘C B．20.5∘C C．【解题思路】由题意得出关于A、a的方程组，可得出函数解析式，在函数解析式中令x=10可得结果.【解答过程】由题意可得Asinπ2所以，函数解析式为y=6sin在函数解析式中，令x=10，可得y=6sin因此，10月份的月均温为20∘【题型4用拟合法建立三角函数模型】【方法点拨】数据拟合问题的实质是根据题目提供的数据画出简图，求相关函数的解析式进而研究实际问题.在求解与三角函数有关的函数拟合问题时，需弄清楚SKIPIF1<0的具体舍义，只有掌握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化.【例4】（2022·全国·高一课时练习）某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是该港口的水深数据：t03691215182124y10139.9710139.9710一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5m(1)若有以下几个函数模型：y=at+b，y=Asinωt+ϕ(2)如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？【解题思路】(1)通过题目数据拟合函数图像，可判断函数模型y=Asinωt+ϕ(2)根据题意已知可求出水深y范围，解三角函数不等式可得答案，船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时进港，而下午的17时离港.【解答过程】（1）y=Asinωt+ϕ+K函数模型更好地刻画根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y=Asin从拟合曲线可知，函数y=Asinωt+ϕ∴函数的最小正周期为12，因此2πω又∵当t=0时，y=10；当t=3时ymax=13，∴所求函数的表达式为y=3（2）由于船的吃水深度为7m，船底与海底的距离不少于4.5m，故在船舶航行时，水深y应大于或等于7+4.5=11.5(m).令y=3sinπ6∴12k+1⩽t⩽12k+5(k∈Z)取k=0，则1≤t≤5；取k=1，则13≤t≤17；取k=2时，25≤t≤29（不符合题意，舍去).∴当1≤t≤5与13≤t≤17时，船能够安全进港，船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时进港，而下午的17时离港，在港内停留的时间最长为16h.【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y（米）与时间0≤t≤24（单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据：t（小时）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象．(1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议．【解题思路】（1）根据数据,画出散点图、连线，结合正弦型函数的性质进行求解即可；（2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可.【解答过程】（1）画出散点图，连线如下图所示：设y=Asinωt+b，根据最大值13，最小值7，可列方程为：再由T=2πω=12，得ω=（2）3sinπ6t+10−8≥3.5⇒sinπ6∴π6≤π6t≤5π6，或所以请在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的．【变式4-2】（2021·全国·高一专题练习）某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y（米）随着时间t（0≤t≤24，单位：小时）而周期性变化．每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：t（时）03691215182124y（米）1.01.41.00.61.01.40.90.41.0(1)试在图中描出所给点；(2)观察图，从y=at+b，y=Asinωt+φ+b(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．【解题思路】（1）利用表格数据直接描点即可；（2）根据散点图可确定应选择y=Asin（3）令y=25sin【解答过程】(1)散点图如下，(2)由散点图可知：应选择y=Asinωt+φ+b，则A=1.4−0.62=2将0,1代入可得：1=25sinφ+1，解得：φ=0，(3)令y=25sinπ6t+1≥0.8∴0≤π6t≤7π6解得：0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24，∴应在白天11点到19点之间训练.【变式4-3】（2022·福建·高三期中）平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y（米）是随着一天的时间t（0≤t≤24，单位小时）呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如表：t（时）03691215182124y（米）1.52.41.50.61.42.41.60.61.5(1)根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）．观察散点图，从①y=Asin(ωt+φ)，②y=Acos(ωt+φ)+b，③(2)为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（1）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全．【解题思路】（1）根据表中近似数据画出散点图，选②y=Acos求出该拟合模型的函数解析式即可．（2）由y=0.9sin(π6t)+1.5，令y结合散点图可知，图形进行了上下平移和左右平移，故选②y=Acos∴A=2.4−0.62=0.9，b=2.4+0.62=1.5又∵函数y＝0.9cos（π6t+φ）+1.5的图象过点3,2.4，∴∴cosπ2+φ=1，∴sinφ=−1，又∵−π<φ<0∴y=0.9（2）由（1）知：y=0.9sin(π6t)+1.5令y∴2kπ−π6≤π6t≤2kπ+7π6(k∈Z)，∴12k−1≤t≤12k+7，又∵∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全．专题5.7三角函数的应用（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高一课时练习）简谐运动y=4sin5x−πA．5x−π3，π3 B．5x−3C．5x−3，−π3 D．4【解题思路】根据相位与初相的概念，直接求解即可.【解答过程】相位是5x−π3；当x=0时的相位为初相，即2．（3分）（2022·安徽·高三阶段练习）我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f，3f，4f等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，一般不易单独听出来，所以我们听到的声音的函数为y=sinx+12sinA．π B．2π C．23π 【解题思路】函数的周期主要由f(x+T)=f(x)验证【解答过程】由y=f(x)=对A：f(x+π)=sin(x+π)+对B：f(x+2π)==sin对C：f(x+23对D：f(x+π2故选：B.3．（3分）（2022·湖北·高一阶段练习）一个半径为5米的水轮示意图，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮自点A开始1分钟逆时针旋转9圈，水轮上的点P到水面的距离y（单位：米）与时间x（单位：秒）满足函数关系式y=Asinωx+φ+2，A>0，ω>0A．A=5，ω=3π10 B．A=5C．A=3，ω=2π15 D．A=3【解题思路】根据题意可得周期，由ω=2πT可得ω，由最值可得【解答过程】因为水轮自点A开始1分钟逆时针旋转9圈，函数周期T=609由图知，点P到水面距离的最大值为7，所以A+2=7，得A=5.故选：A.4．（3分）（2022·江西·高三开学考试（文））时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明，当气温上升到20°C时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28°C时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次.已知某景区一天内5~17时的气温T（单位：°C）与时间t（单位：h）近似满足关系式T=20−10sinπ8t−A．1.4h B．2.4h C．3.2h D．5.6h【解题思路】由函数关系式T=20−10sin【解答过程】设t1时开始开放，t2时开始闭合，则20−10sinπ8t1−π8=20,又t1∈5．（3分）（2021·全国·高一专题练习）如图所示为一质点做简谐运动的图象，则下列判断中正确的是（

）A．该质点的振动周期为0.7s B．该质点的振幅为5C．该质点在0.1s和0.5s时振动速度最大 D．该质点在0.3s【解题思路】根据简谐运动的概念判断AB，运动曲线与速度的关系判断CD．【解答过程】由图象可知周期是0.8s，A错，振幅为5cm，B正确；曲线上各点处的切线的斜率（导数值）才是相应的速度，质点在0.1s和0.5s时振动速度为0，C错，质点在0.3故选：B．6．（3分）（2022·江西赣州·高三期中（文））在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为20∘C，但当气温上升到31∘C时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时∼14时的气温T（单位：∘C）与时间t（单位：小时）近似满足函数关系式T=25+10sinπA．6.7时∼11.6时 B．6.7时∼12.2时C．8.7时∼11.6时 D．8.7时∼12.2时【解题思路】由三角函数的性质求解【解答过程】当t∈6,14时，π8t+3π4∈3π2,5π2，则T=25+10sinπ由T2=31，得sinπ故在6时∼14时中，观花的最佳时段约为8.7时∼11.6时.故选：C.7．（3分）（2022·全国·高三专题练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为y=sinωt+φω>0,φ<π，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1，t2A．13s B．23s C．【解题思路】由条件确定函数y=sinωt+φ的周期，再由周期公式求【解答过程】因为t1+t2=2，t2+t3=6所以y=sinπ2t+φ，由所以2kπ+π6<π2t+φ<5π故选：D.8．（3分）（2022·福建泉州·一模（理））海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（船底与水面距离）为4米，安全间隙（船底与海底距离）为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以0.3米/小时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择y=Asin(ωx+ϕ)+K（A．5:00至5:30 B．5:30至6:00 C．6:00至6:30 D．6:30至7:00【解题思路】根据题意，求出函数的表达式为y=2.5sin【解答过程】由题意得，函数y=f(x)的周期为T=12，振幅A=2.5,B=5，所以w=2π又因为x=3⇒y=7.5达到最大值，所以由7.5=2.5sin(π所以φ=2kπ,k∈Z，所以函数的表达式为y=2.5sin令2.5sinπ6x+5≥5.5，解得二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·湖北·模拟预测）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移scm和时间ts的函数关系式为s=2sinωt+φ，其中ω>0，若该阻尼器模型在摆动过程中位移为1的相邻时刻差为π3A．2 B．3 C．4 D．6【解题思路】令2sinωt+φ=1得t=2kπ+π6−φω或【解答过程】解：令2sinωt+φ=1得t=2kπ+π6−φω或当2π3ω=π3时，得ω=2，当10．（4分）（2021·全国·高一专题练习）如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(0<φ<π)，则下列说法正确的是（

）A．该函数的周期是16B．该函数图象的一条对称轴是直线x＝14C．该函数的解析式是y＝10sin(π8x+D．这一天的函数关系式也适用于第二天【解题思路】根据图象得出该函数的周期，可判断A选项的正误；根据图象可知该函数在x=14取得最大值，可判断B选项的正误；结合图象求出该函数的解析式，可判断C选项的正误；第二天的函数关系与第一天的情况不一定一样，所以，可判断D选项的正误.综合可得出结论.【解答过程】对于A选项，由图象可知，该函数的最小正周期为T=2×14−6对于B选项，该函数在x=14取得最大值，所以，该函数图象的一条对称轴是直线x=14，B选项正确；对于C选项，由图象可得A+B=30−A+B=10，解得A=10B=20，∵图象经过点14,30，∴30=10sinπ8∵0<φ<π，∴7π4<7π4所以，函数解析式为y=10sin这一天的函数关系式不一定适用于第二天，要具体情况具体分析，所以，D选项错误.故选：AB.11．（4分）（2022·全国·高一）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（

）A．该质点的运动周期为0.7sB．该质点的振幅为5C．该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零D．该质点的运动周期为0.8s【解题思路】由题图求得质点的振动周期可判定A错，D正确；由该质点的振幅，可判定B正确；由简谐运动的特点，可判定C正确．【解答过程】由题图可知，质点的振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8s，所以A错，D正确；该质点的振幅为5，所以B正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3s和0.7s时运动速度最大，在0.1s和0.5s时运动速度为零，故C正确．综上，BCD正确．故选：BCD.12．（4分）（2022·山东·高二阶段练习）一半径为3.6米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1.8米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每60秒转动一圈，如果当水轮上点P从水面浮现时（图中点P0位置）开始计时，则下列判断正确的有（

A．点P第一次到达最高点需要20秒B．在水轮转动的一圈内，有40秒的时间，点P在水面的上方C．当水轮转动95秒时，点P在水面上方，点P距离水面1.8米D．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，点P距离水面0.9米【解题思路】结合周期性以及角度判断出正确答案.【解答过程】设水面为P0P3，过O作直径P依题意OA=1.8米，所以∠AOP0=60°P第一次到达最高点P1需要的时间为120根据对称性可知，P由P0运动到P3，需要时间当水轮转动95秒时，位置与95−60=35秒时相同，35秒转过的角度为3560如图中P2的位置，其中OP1⊥OP当水轮转动50秒时，位于P4的位置，距离水面3.6−1.8=1.8三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2021·全国·高一单元测试）如图，是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是y＝2sin(52【解题思路】根据题意，进行求解即可.【解答过程】A＝2，T＝2(0.5－0.1)＝0.8，∴ω＝2π0.8＝5π∴y＝2sin(5π2x+φ)，将(0.1,2)代入得：5π2×0.1＋φ＝π2，∴φ＝π4，∴y14．（4分）（2021·全国·高一课时练习）下面是一半径为2米的水轮，水轮的圆心O距离水面1米，已知水轮自点M开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转，点M距水面的高度d（米）（在水平面下d为负数）与时间t（秒）满足函数关系式d=Asin(ωt+φ)+1A>0,ω>0,|φ|<π2，则函数关系式为【解题思路】先阅读题意，再求出A,ω,φ即可得解.【解答过程】解：∵水轮的半径为2，水轮圆心O距离水面1，∴A=2.又∵水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，∴T=15=2πω，顺时针旋转∵t=0时，ωt+φ=2kπ−π6，∵|φ|<π2，∴φ=−π6.15．（4分）（2021·福建省高一阶段练习）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos[π6(x−6)](A>0,x=1,2,3,⋯,12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28°C，12月份的月平均气温最低，为18°C，则【解题思路】由最低与最高气温可得a=23，A=5，进而可得函数解析式，令x=10，可得解.【解答过程】依题意知，a=28+182=23所以y=23+5cos[π6(x−6)]，当x=1016．（4分）（2022·全国·高一课时练习）某地为发展旅游事业，在旅游手册中给出了当地一年12个月每个月的平均气温表（气温单位：℃），如图.根据图中提供的数据，试用y=Asinωx+φ+b近似地拟合出月平均气温与时间（单位：月）的函数关系为y=6sin【解题思路】从气温曲线找到最高气温：27、最低气温:15求A，由周期T=2(8−1)=14求ω，利用最高点、最低点坐标求φ、b，得函数解析式.【解答过程】若以1月份为最低气温，8月份为最高气温，则可得A=27−152=6,T=2(8−1)=14ω=2πT=π7,当x=6,8π7四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·河南·高二阶段练习）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：ft(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．【解题思路】（1）由题意，将8代入三角函数中，可得答案；（2）根据辅助角公式，化简三角函数，结合正弦函数的性质，可得答案.【解答过程】（1）f8=10-3cos8故实验室上午8时的温度为10℃．（2）ft=10-3cosπ因为0≤t<24，所以π3当t=2时，sinπ12t+故ft∈8,12，于是f故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃．18．（6分）（2022·辽宁丹东·高一期末）如图，某地一天从4∼18时的温度变化曲线近似满足fx=Asinωx+φ+b，其中A>0(1)求A，b，ω，φ；(2)求这一天4∼12时的最大温差近似值.参考数据：2≈1.4，3【解题思路】（1）由图象可确定fx的最值和最小正周期，由此可得A,b,ω；根据f14=30（2）根据单调性可知fxmin=f【解答过程】(1)由图象可知：fxmax=30，fxmin∴A=fxmax−fx∵f14=10sin∴7π4+φ=π2+2kπk∈Z(2)由图象可知：fx在4,6上单调递减，在6,12∴fxmin=f∴fxmax−fxmin19．（8分）（2022·全国·高三专题练习）下图是某简谐运动的图像.试根据图像回答下列问题：（1）写出这个简谐运动的振幅､周期与频率（2）从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如果从A点算起呢？（3）写出这个简谐运动的函数表达式.【解题思路】(1)从图像中可以直接得到振幅、计算周期和频率；(2)从图像中可以看出；(3)设这个简诺动的函数解析式为y=Asinωx+φ,x∈【解答过程】(1)从图像中可以看出：这个简谐运动的振幅为2cm，周期为0.8s,频率为10.8(2)如果从O点算起，到曲线上D点，表示完成了一次往复运动；如果从A点算起，到曲线上E点，表示完成了一次往复运动；(3)设这个简谐运动的函数解析式为y=Asinωx+φ,x∈0,+∞,由图像可知：A=2，φ=0，又由T=20．（8分）（2022·浙江宁波·高一期末）某地一天的时间x(0⩽x⩽24，单位：时)随气温yoC变化的规隼可近似看成正