人教版八年级数学 11.2与三角形有关的角（学习、上课课件）

11.2与三角形有关的角第十一章三角形逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2三角形内角和定理直角三角形的性质与判定三角形的外角1.定理文字语言几何语言图形三角形三个内角的和等于180°在△ABC

中，∠A＋∠B＋∠C=180°知识点三角形内角和定理1知1－讲特别解读1.三角形内角和定理揭示了三角形三个内角之间的数量关系.2.三角形的三个内角中最多只有一个钝角或一个直角，或者说至少有两个锐角.知1－讲2.三角形内角和定理的操作探究如图11.2-1，把△ABC

的三个内角拼在一起，组成一个平角，即△

ABC三个内角的和等于180°.知1－讲3.三角形内角和定理的证明思路证明思路图形利用“两直线平行，内错角相等”，将△ABC

的三个内角转化为一个平角知1－讲证明思路图形利用“两直线平行，内错角及同位角相等”，将△ABC

的三个内角转化为一个平角利用“两直线平行，内错角相等”，将△ABC

的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角知1－讲特别解读1.三角形内角和定理的证明主要是运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中成一个角或两个角，再证明这个角或这两个角的和是180°.2.在几何中，为了帮助解答几何图形问题，在原图基础之上另外所作的具有较大价值的直线或线段为辅助线.知1－讲

例1知1－练教你一招：三角形中求角的度数问题一般用方程思想求解.当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°列方程(组)求解.知1－练(1)已知∠A=40°，∠B=∠C，求∠B，∠C

的度数；解：设∠B=∠C=m°.∵∠A＋∠B＋∠C=180°，∴40＋m＋m=180，解得m=70.∴∠B=∠C=70°.知1－练(2)已知∠A－∠B=16°，∠C=54°，求∠A，∠B

的度数；解：设∠A=x°，∠B=y°.∵∠A－∠B=16°，∠A＋∠B＋∠C=180°，∠C=54°，∴解得∴∠A=71°，∠B=55°.x－y=16，x＋y＋54=180，x=71，y=55.知1－练

知1－练1-1.[期中·广州天河区]在△ABC

中，∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，则∠C=______.1-2.在△ABC

中，若∠

A=60°，∠B=3∠C，则∠B=______．100°90°知1－练1-3.在△ABC

中，∠A=∠B＋20°，∠C=∠A＋50°，求△ABC各内角的度数.解：∵∠A＝∠B＋20°，∠C＝∠A＋50°，∴∠C＝∠B＋20°＋50°＝∠B＋70°.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＋20°＋∠B＋∠B＋70°＝180°.∴∠B＝30°.∴∠A＝50°，∠C＝100°.知1－练1.直角三角形的表示直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC

可以写成Rt△ABC.知识点直角三角形的性质与判定2知2－讲2.直角三角形的性质与判定文字语言几何语言图形性质直角三角形的两个锐角互余在Rt△ABC

中，∵∠C=90°，∴∠A＋∠B=90°判定有两个角互余的三角形是直角三角形在△

ABC中，∵∠A＋∠B=90°，∴∠C=90°，即△ABC

是直角三角形知2－讲特别解读在直角三角形中，若已知两个锐角之间的数量关系，可结合两个锐角互余求出每个锐角的大小，不需要再利用三角形内角和定理求解.知2－讲如图11.2-2，AB，CD

相交于点O，AC⊥CD

于点C，若∠BOD=35°，则∠

A=______.例255°知2－练解题秘方：根据直角三角形中两锐角互余求角的度数.解：∵∠BOD=35°，∴∠AOC=35°.∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°.∴∠A=90°－∠AOC=90°－35°=55°.知2－练2-1.[中考·岳阳]如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C=40°，则∠1的度数是()A．30°B．40°C．50°D．60°C知2－练如图11.2-3，AB∥CD，直线EF

分别交AB，CD

于点E，F，∠

BEF的平分线与∠

DFE的平分线相交于点P.求证：△EFP

是直角三角形.例3知2－练解题秘方：如果三角形中有两个角的和等于90°(互余)，就可证明该三角形为直角三角形.知2－练

知2－练3-1.下列条件中：①∠A＋∠B=∠C；②∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2；③∠A=∠B=∠C；④∠A=90°－∠B.能确定△

ABC是直角三角形的有()A．①②③B．①②④C．②④D．①②③④B知2－练如图11.2-4，在△ABC

中，∠ACB=90°，∠ACD=∠B.求证：CD⊥AB.例4证明：∵∠ACB=90°，∴∠A＋∠B=90°.∵∠ACD=∠B，∴∠A＋∠ACD=90°.∴∠CDA=90°，即CD⊥AB.解题秘方：利用直角三角形的性质与判定求出CD，AB

的夹角为直角.知2－练4-1.已知：如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，求证：AB⊥CD.证明：∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°.∴∠C＋∠D＝90°.∵∠A＝∠C，∴∠A＋∠D＝90°.∴∠ABD＝90°.∴AB⊥CD.知2－练1.三角形的外角：如图11.2-5①，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角知识点三角形的外角3知3－讲特别提醒：如图11.2-5②，三角形每一个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，因此三角形共有六个外角，通常每一个顶点处取一个外角.知3－讲2.外角性质(三角形内角和定理的推论)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.符号语言：如图11.2-5①，∵∠ACD

是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠A＋∠B.知3－讲拓展：(1)性质推论：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.(2)当三角形的一个外角等于与它相邻的内角时，这个三角形是直角三角形；当三角形的每个外角都大于与它相邻的内角时，这个三角形是锐角三角形；当三角形的一个外角小于与它相邻的内角时，这个三角形是钝角三角形.知3－讲3.三角形的外角和定理在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和.三角形的外角和为360°.如图11.2-6，∠1＋∠2＋∠3=360°.知3－讲特别提醒1.三角形的外角和它相邻的内角互为邻补角.2.三角形的外角在三角形的外部，但是不能错误地理解为三角形外部的角就是三角形的外角.知3－讲如图11.2-7，△ABC

的外角∠CAE

的平分线AD交BC

的延长线于点D，∠B=35°，∠DAE=60°，求∠ACD

的度数.例5解题秘方：利用三角形外角的性质，将∠ACD

转化为∠B＋∠BAC

进行求解.知3－练解：∵

AD是∠CAE

的平分线，∠

DAE=60°，∴∠CAE=2∠DAE=2×60°=120°.∴∠BAC=180°－∠CAE=180°－120°=60°.∵∠ACD

是△ABC

的一个外角，∴∠ACD=∠BAC＋∠B=60°＋35°=95°.知3－练另解一：∵∠DAE=60°，∠B=35°，∴∠D=∠DAE－∠B=60°－35°=25°.∵AD

是∠

CAE的平分线，∴∠CAD=∠DAE=60°.∴∠ACD=180°－(∠CAD＋∠D)=180°－(60°＋25°)=95°.知3－练另解二：∵AD

是∠CAE

的平分线，∠DAE=60°，∴∠EAC=2∠DAE=2×60°=120°.∵∠EAC

是△ABC

的一个外角，∴∠

EAC=∠B＋∠BCA.∴∠BCA=120°－35°=85°.∴∠ACD=180°－85°=95°.知3－练5-1.如图，∠

ACD是△

ABC的一个外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，求∠

ECD的度数．知3－练知3－练5-2.如图，在△ABC中，BD

平分∠ABC，∠

A=72

°，∠DBC=29°，求∠C，∠

ADB的度数．知3－练解：∵BD平分∠ABC，∠DBC＝29°，∴∠ABC＝2∠DBC＝58°.∵∠A＝72°，∴∠C＝180°－∠A－∠ABC＝50°.∵∠ADB是△BDC的一个外角，∴∠ADB＝∠DBC＋∠C＝29°＋50°＝79°.知3－练[情境题·生活应用]一个零件的形状如图11.2-8所示，按规定∠A

应等于90°，∠B，∠D应分别是20°和30°.李叔叔量得∠BCD=142°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？例6知3－练思路引导：知3－练技巧点拨：当待研究的几何图形不是三角形时，常通过延长某一条边或连接两个顶点把非三角形问题转化为三角形中的问题，再利用三角形外角的性质或三角形内角和定理求解.知3－练解：如图11.2-9，延长DC

交AB

于点M.∵∠BCD是△

BCM的一个外角，∴∠BCD=∠B＋∠BMD.∵∠BMD

是△

ADM的一个外角，∴∠BMD=∠A＋∠D.∴∠BCD=∠B＋∠A＋∠D=20°＋90°＋30°=140°≠142°.∴这个零件不合格．知3－练另解一：如图11.2-10，连接AC并延长.∵∠1是△ACD

的一个外角，∠2是△ACB的一个外角，∴∠1=∠D＋∠DAC，∠2=∠B＋∠BAC.∴∠BCD=∠1＋∠2=∠D＋∠B＋∠BAC＋

∠DAC=∠D＋∠B＋∠BAD=30°＋20°＋90°=140°≠142°.∴这个零件不合格．知3－练另解二：如