沪科版八年级数学 12.1 函数（学习、上课课件）

12.1函数第12章一次函数逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2常量与变量函数函数关系的表示方法函数自变量的取值范围与函数值函数的图象及画法知识点常量与变量知1－讲11.

定义在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.知1－讲说明：(1)“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量；但“常量”不等于“常数”，它可以是数值不变的字母.如在匀速运动中的速度v就是一个常量.(2)变量与常量是相对的，前提是“在一个变化过程中”，一个量在某一变化过程中是常量，而在另一个变化过程中，它可能是变量.如在

s＝vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，t为常量.知1－讲2.

判断一个量是常量还是变量的方法看这个量在某一变化过程中的值是否发生改变(或者说是否会取不同的数值)，若在变化过程中此量的数值不变，则此量是常量，若此量可以取不同的数值，则此量是变量.知1－讲特别提醒1.常量与变量只与在某一个变化过程中的数值是否发生改变有关.2.变量、常量与字母的指数没有关系，如y＝100－2x2中，x，y是变量，而不能说x2是变量.3.在一个变化过程中，变量或常量有时不止一个.知1－练例1

知1－练解题秘方：紧扣“常量与变量”的定义进行辨识.

表示不变量的字母也可以作为常量知1－练1-1.[中考·广东]水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr.下列判断正确的是(

)A.2是变量 B.π是变量C.r是变量 D.C是常量C知2－讲知识点函数21.

函数的定义一般地，设在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.知2－讲说明：(1)在函数中定义的两个变量x，y是有主次之分的，变量x的变化是主动的，称之为自变量，而变量y是随x的变化而变化的，是被动的，称之为因变量(即自变量的函数)；(2)函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如对于两个变量x与y，y是x的函数，不能说成y是函数.知2－讲特别提醒函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量x的每一个确定的值，y有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同值，y的值可以相同，如：函数y＝x2中，当x＝1和x＝－1时，y的值都是1.知2－讲2.

判断一个关系是否是函数关系的方法一看是否在一个变化过程中；二看是否存在两个变量；三看对于自变量每取一个确定的值，因变量是否都有唯一确定的值与其对应.以上三者(简称“三要素”)缺一不可.知2－练判断下列各式中y是否是x的函数，并说明理由.(1)y＝±x；(2)y＝x3；(3)2x2＋y2＝10；(4)y＝|x|.例2解题秘方：紧扣函数的定义进行解答.知2－练解：(1)y不是x的函数，因为x每取一个值时，y有两个对应值，不满足唯一确定.(2)y是x的函数，因为每一个x的值都有唯一的y值与之对应.(3)y不是x的函数，例如当x＝1时，y有两个对应值，不满足唯一确定.(4)y是x的函数，因为每一个x的值都有唯一的y值与之对应.知2－练

B知3－讲知识点函数关系的表示方法31.

函数关系的表示方法(1)列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法.(2)解析法：用数学式子表示函数关系的方法叫做解析法.(3)图象法：用图象来表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法.知3－讲2.

函数关系的三种表示方法的对比表示方法优点缺点列表法一目了然，由表格中已有自变量的每一个值，可直接查出函数的对应值列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数值之间的对应关系知3－讲续表：表示方法优点缺点解析法能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系从函数表达式很难直观看出函数的变化规律，而且有些函数不能用解析法表示出来图象法直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质由自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值知3－讲特别提醒函数的几种表示方法各有优缺点，它们之间可以相互转化.知3－练在一次实验中，马达同学把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度y(cm)随所挂物体的质量x(kg)的变化关系如图12.1-1所示.例3知3－练解题秘方：根据自变量、因变量的定义结合题意进行判断；(1)上图反映的变化过程中的两个变量，哪个是自变量？哪个是因变量？解：所挂物体的质量x是自变量，弹簧的长度y是因变量.知3－练解题秘方：根据图象填写表格即可；(2)根据以上图象补全表格：16所挂物体的质量x/kg012345弹簧的长度y/cm810121418知3－练解题秘方：根据图象得出结论；(3)由图象可知，弹簧能承受的所挂物体的最大质量是多少千克？解：由图象可知，弹簧能承受的所挂物体的最大质量是5kg.知3－练解题秘方：根据图象可知所挂物体的质量每增加1kg，弹簧伸长2cm，据此解答即可.(4)在弹簧承受范围内，请直接用含有x的代数式表示y.解：因为所挂物体的质量每增加1kg，弹簧伸长2cm，所以y＝2x＋8(0≤x≤5).知3－练3-1.如图是一辆汽车从甲地到乙地所行驶的路程和时间的部分图象.

(1)观察图象可知，汽车2小时行驶______千米；(2)王叔叔驾驶这辆汽车从甲地到乙地，大约要行驶660千米，需要_____小时.1608.25知4－讲知识点函数自变量的取值范围与函数值41.自变量的取值范围使函数有意义的自变量取值的全体实数叫做自变量的取值范围.知4－讲2.

确定自变量取值范围的方法其一，要使函数关系式有意义；其二，对实际问题中的函数关系，还应该使实际问题有意义.注意：自变量的取值范围可以是无限的，也可以是有限的，甚至可以是几个数或单独一个数.知4－讲常见函数自变量取值范围的确定类型取值范围整式型全体实数分式型使分母不为0的实数偶次根式型使根号下的式子的值大于或等于0的实数零次幂型使幂的底数不为0的实数综合型使各部分都有意义的实数知4－讲3.

函数值如果在自变量取值范围内给定一个数值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.知4－讲4.

求函数值及自变量值的方法(1)当已知函数关系式时，求函数值实质就是利用代入法求代数式的值；(2)当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的；当函数值确定时，求相应的自变量的值，就是解方程，对应的自变量的值可以不止一个，如y＝x2－1中，当y＝0时，x＝±1.知4－讲特别提醒1.对于实际问题中的函数关系，函数值与自变量的值都要使实际问题有意义.2.函数与函数值的区别：函数表示的是两个变量之间的一种对应关系，而函数值是一个数值.3.一个函数的函数值是着自变量的变化而变化的，故在求函数值时，一定要指明自变量为多少时的函数值.知4－练

例4解题秘方：紧扣“确定自变量取值范围的方法”求解.

知4－练知4－练

解：x取全体实数．由题意得x＋2≥0且x－2≠0，解得x≥－2且x≠2.所以x的取值范围为x≥－2且x≠2.知4－练

解：由题意得x－3≠0，解得x≠3.所以x的取值范围为x≠3.由题意得x≠0且x－2≠0，解得x≠2.所以x的取值范围是x≠0且x≠2.知4－练已知函数y＝13－4x.(1)当x＝3时，对应的函数值是多少？(2)当x为何值时，函数值为2？解题秘方：紧扣“求函数值及自变量值的方法”求解.例5

知4－练5-1.如图是输入一个x的值，计算函数y的值的程序框图.知4－练(1)当输入x的值为100时,输出的y的值为多少？解：把x＝100代入y＝1000－5x，得y＝1000－500＝500，把x＝500代入y＝1000－5x，得y＝1000－2500＝－1500<0，所以当输入x的值为100时，输出的y的值为－1500.知4－练(2)当输入一个整数x0时，输出的y的值为－500，则输入的整数x0的值是多少？解：把y＝－500代入y＝1000－5x，得－500＝1000－5x，解得x＝300；把y＝300代入y＝1000－5x，得300＝1000－5x，解得x＝140；知4－练把y＝140代入y＝1000－5x，得140＝1000－5x，解得x＝172.把y＝172代入y＝1000－5x，得172＝1000－5x，解得x＝165.6(舍去)．综上所述，输入的整数x0的值是300或140或172.知4－练某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x(人)与每月利润(利润＝收入费用－支出费用)y(元)的变化关系如下表所示(每位乘客的公交票价是固定不变的)：例6乘车人数x/人50010001500200025003000…每月利润y/元－3000－2000－1000010002000…知4－练解题秘方：根据表格数据求出票价，再根据“利润=收入费用－支出费用”求关系式，然后利用函数表达式求自变量和函数的值．知4－练(1)在这个变化过程中，___________是自变量，_________是因变量.(2)观察表格中数据可知，每月乘车人数至少达到_____人时，该公交车才不会亏损.解：乘车人数x是自变量，每月利润y是因变量．乘车人数x每月利润y解：由表格知，乘客至少达到2000人时，才不会亏损．2000知4－练(3)请写出y与x之间的关系式，并计算当每月乘车人数为3500人时，每月利润为多少元？解：设票价为a元，则2000a＝4000，解得a＝2，所以y＝2x－4000(x为自然数)．当x＝3500时，y＝2x－4000＝3000．所以当每月乘车人数为3500人时，每月利润为3000元.y＝2x－4000(x为自然数)，当每月乘车人数为3500人时，每月利润为3000元.知4－练(4)若5月份想获得利润5000元，请你计算5月份的乘车人数需达_______人．解：由题意，得2x－4000＝5000，解得x＝4500.所以想获得利润5000元，5月份的乘车人数需达4500人.4500知4－练6-1.[月考·阜阳]已知一长方体蓄水池的体积为700m3，其底部是边长为10m的正方形，经测得现有水的高度为2m，现打开进水阀，每小时可注入水40m3.(1)写出水池中水的体积V(m3)

与时间t(h)之间的函数关系式(不要求写自变量的取值范围)；知4－练解：由已知条件知，现有水的体积为10×10×2＝200(m3)，故水池中水的体积V(m3)与时间t(h)之间的函数关系式为V＝40t＋200.知4－练(2)5h后，水池中水的体积是多少立方米？(3)经过多长时间，水池可以注满水？解：当t＝5时，V＝40×5＋200＝400，故5h后，水池中水的体积是400m3.令V＝700，即700＝40t＋200，解得t＝12.5，故经过12.5h，水池可以注满水．知5－讲知识点函数的图象及画法51.

图象一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象．知5－讲2.

函数图象的画法步骤(1)列表：列表给出自变量和函数的一些对应值.(2)

描点：以表中各组对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点.(3)连线：按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑曲线依次连接起来.知5－讲注意：(1)函数的图象是由一些点组成的,在描点的时候应尽可能地多选几个点，使图象更准确；(2)在画图象时,应考虑自变量的取值范围.知5－讲特别提醒1.函数图象上的任意点P(x，y)中的x，y都满足函数表达式.2.满足函数表达式的任意一个有序实数对(x，y)所对应的点一定在函数的图象上.知5－讲判断点是否在函数图象上的方法：要判断点P(x，y)是否在某一函数的图象上，只需把x的值代入该函数的表达式，如果所求得的函数值与y的值相等，那么这个点就在该函数的图象上，否则就不在该函数的图象上.知5－讲

例7知5－讲解题秘方：紧扣“函数图象的画法步骤”进行作图，并利用函数图象上的