2024年高考数学总复习高中数学常用公式及常用结论汇编

2024年高考数学总复习高中数学常用公式及常用结论

汇编(精编版)

1.包含关系

AB=Ac^A[B=BoAjBoCuB项CuA

<4>A(:声:①QCUAB=R

2.集合｛%,g，「4｝的子集个数共有2"个；真子集有2"-1个；非空子集有2"-1个;

非空的真子集有2〃-2个.

3.充要条件

若p=q，则〃是4的充分条件,q是P的必要条件

p是q的充分不必要条件p=q且q4p

p是q的必要不充分条件p#q且q=p

p是q的充要条件poq

p是q的既不充分也不必要条件p今夕且沪p

4.全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定

命题名称语言表示符号表示命题的否定

对M中任意一

全称命题个工，有p(%)成YxRM,〃(%)〃(%o)

、、/:

存在M中的一

特称命题个X0，使P(xo)现£册〃(%o)Vx£M,女弟p(x)

成立

5.函数的单调性

(1)设石•々e[a,/X]Rx2BP么

(%-x2)[/(^)-/(x2)]>0O"f/)〉0=/(x)在[a,"上是增函数；

(七一马)[〃%)一/(%2)]<00"一)一<0u>/(x)在[。用上是减函数.

(2)设函数y=/(x)在某个区间内可导，如果尸(x)>0,则为增函数；如果

f'(x)<0,则/(x)为减函数.

6.如果函数/(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内，和函数/(x)+g(x)也是减函数；

如果函数y=/(“)和"=g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y=〃g(x)]是增

函数.

7.奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数

的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，

那么这个函数是偶函数.

8.若函数y=/(x)是偶函数，则/(x+a)=/(-x-a);若函数y=/(x+a)是偶函数,则

/(x+a)=f(—x+a).

9.对于函数y=/(x)(xwH),/(x+a)=/@-%)恒成立,则函数7(x)的对称轴是函数

x="；2；两个函数,=/(x+a)与y=f(b-x)的图象关于直线x="，对称.

10.若f(x~)=-/(-%+a),则函数y=/(x)的图象关于点(go)对称；若/(%)=-/(%+«),则函

数y=为周期为2a的周期函数.

11.函数y=的图象的对称性

(1)函数y=/(%)的图象关于直线x=a对称o/(«+%)=/(«-%)of(2a-x)=/(x).

(2)函数y=的图象关于直线x=一对称

f(a+mx)=f(b—mx)<»f(a+b-mx)=f(mx).

12.几个常见的函数方程

⑴正比例函数/(x)=cx⑵指数函数/(》)=优(3)对数函数/(x)=log“x(4)幕函数

f(x)=xa,.

(5)余弦函数/(%)=cosx,正弦函数g(x)=sinx

13.几个函数方程的周期(约定a>0)

(1)f(x)=f(x+a),则/(x)的周期T=a；

(2)f(x)=-f(x+d),f(x+a)=*0),或/(x+a)=-^^(/(x)/0),则/(x)的

/(x)/(x)

周期T=2a；

(3)=1(/(%)^0),则/(x)的周期T=3a；

j{x+a)

14.分数指数幕

m4m-t

(1)an=,——(a>0,m,neN*,且〃>1).(2)a〃=—^Qa>a,m,neN*,且〃>1).

<aQn

15.根式的性质

⑴而)"=a.(2)当“为奇数时，=a-,当〃为偶数时，=\a\=[a，a~°.

-a.a<Q

16.指数式与对数式的互化式

k>g“N=bod'=N(a>0,"1,N>0).

17.对数的换底公式

bgmN

logaN=(。>0,且a2l,7〃>0,且wwl,N>0).

logi

推论logb"=—logb(。>0,且a>l,m,n>Q,Mm1,n^l,N>0).

ama

18.对数的四则运算法则

若a>0,aWLM>0,N>0,则

(1)logfl(2W)=logflM+logflN；(2)loga—=logaM-logflN；(3)logflM"=〃log,M(neR).

19.设函数/(x)=log,“(ax2+6x+c)(awO),记A=/-4ac.若f(x)的定义域为R,则a>0,且

△<0；若/(x)的值域为R,则a>0,且A20.对于a=0的情形，需要单独检验.

20.平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,有

y=N(l+”.

21.数列的同项公式与前n项的和的关系

4=<"'n1(数列｛4｝的前n项的和为%=%+a,++a“).

22.等差数列的通项公式a“=q+(«-l)d=dn+%-d(neN*);

其前n项和公式为s.=幽答=叫+若%

23.等比数列的通项公式a“=%q"T=-4"5eN*);

q

q(1-q")仁乌包g

'"1或S"

其前n项的和公式为s“=1-q「q

nax,q=1navq=1

24.常见三角不等式

(1)若则sinxv%vtan%.(2)若尤£(0,叁)，则1vsinx+cos犬"血.

25.同角三角函数的基本关系式

sin2^+cos2^=l?tan—二疝'

cos。

26.正弦、余弦的诱导公式

公式―*二三四五六

2祈十71

+ot

角7i+a~a7i—a2-ot2

a(kUZ)

—sin—siW2,1

--n")&os

正弦sina2aCOS。

aa

—cos—COS

余弦cosacosssina一sinn

aa

正切tanatann—tan—tan

aa

函数名改变，符号

口诀函数名不变，符号看象限

看象限

27.和角与差角公式

sin（a±/3）=sinacosJ3±cosasin（3；cos（6Z±/?）=cosacosJ3zsinasin[3；

,c、tana±tan£

tan（z6z±,）二-------—.

I.tanatan（3

asin。cos。=1a2+/sin（a+0）（辅助角0所在象限由点（a,6）的象限决定，tan.

a

28.二倍角公式

sin2a—2sinorcoscr.

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2cr-l=l-2sin2a（升累公式）

°1+cos2a.01—cos2a

cosa=；sin%=(降嘉公式)

八2tana

tan2a=--------.

1-tana

29.三角函数的周期公式

函数y=sin（G%+0）,x£R及函数y=COS（GX+0）,x£R（A,3,。为常数，且AW0,3

>0）的周期7=主；函数y=tan（G%+°）,xw版■+工，左£Z（A,3,。为常数，且AW0,3>

co2

0)的周期7=2.

(D

30.正弦定理

，一=工=工=2R.

sinAsinBsinC

31.余弦定理

a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosB；c2=a2+b2-2abcosC.

32.面积定理

(1)5=—ah=—bh.=—ch(h>%、4分另U表示a、b、c边上的［Wj).

222

(2)S=—absinC=—bcsmA=—casmB.

222

33.三角形内角和定理

在Z\ABC中,有4+5—(4+5)0_1=^—^1^o2C=2»—2(A+3).

34.平面向量基本定理

如果白、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,

有且只有一对实数入1、入2,使得a=Lei+入2e2.

不共线的向量&、e?叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

35.a与b的数量积(或内积)

a•b=|a||b|cos9.

36.a,b的几何意义

数量积a,b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos。的乘积.

37.平面向量的坐标运算

⑴设a=a，%),b=(x2，%)，则a+b=®+%,%+%)•

(2)设a=&,%),b=(x2,y2),则a-b=(x1-x2,y1-y2).

⑶设A(X1,%),BQ,%),则超=05-04=(X2-%,%-

(4)设a=(x,y),4eH,则Xa=(Ax,..

(5)设a=(无1，%),b=(x2,y2),则a•b=(x1x2+y1y2).

两向量的夹角公式

cose=-r==^7==(a=(为，乂)，b=(%,%)),

村+才•收+£

平面两点间的距离公式

dAB=\AB\=siABAB

=J(%2—为)2+(%一%)2(A(X],%)，B(%,%))•

向量的平行与垂直

设a=a,%),b=O2，%)，且bwO,则

ab<^>b=A.a=0.

a_l_b(aw0)oa,b=0oxtx2+%%=0.

38.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(x>%)、B(x2)y2),C(X3，y3),则AABC的重心的坐标

是C卢+々+尤3%+%+%)

'3'3'•

39.三角形五“心”向量形式的充要条件

设。为AABC所在平面上一点，角AB,C所对边长分别为a,反c,则

(1)。为AABC的夕卜心oOA2=OB2=OC2.

(2)。为AABC的重心o0A+03+0C=0.

(3)。为AAfiC的垂心^OAOB=OBOC=OCOA.

(4)。为AABC的内心oa0A+A03+c0C=0.

(5)。为A/WC的NA的旁心oaQ4=Z?03+c0C.

40.基本不等式：

(1)。,牝氏="+/22"(当且仅当a=b时取"=”号).

(2)见…工色之猴(当且仅当a=b时取"=”号).

2

注：已知羽y都是正数，则有

(1)若积孙是定值p,则当x=y时和尤+y有最小值2折；

(2)若和％+y是定值s,则当x=y时积移有最大值;§2.

41.含有绝对值的不等式

当a〉0时，有

国<〃。入?<“。一av%<〃,

国>aOf%>〃或％v—a.

42.指数不等式与对数不等式

(1)当。>1时：Z>/⑴o>(x)>g(x)；

7(x)>0

log,J(X)〉log,,g(x)=<g(x)〉0•

f(.x)>g(x)

(2)当0<a<1时：afM>as(x)o/(x)<g(x)；

V(x)>0

log。/W>log。g(x)=<g(x)>0

f(x)<g(x)

43.•斜率公式

A：=—~—(《a，%)、P,(x2,y2)).

x2一再

44.直线的五种方程

(1)点斜式>-％=左0-再)(直线/过点片(石,,%),且斜率为左).

(2)斜截式y=fcc+8(b为直线/在y轴上的截距).

(3)两点式—~上="*(丁产%)(々(石，必)、6(々,%)(石/々)).

为一%X2~X1

(4)截距式二+上=13、匕分别为直线的横、纵截距，a、“0)

ab

(5)一般式小+为+。=0(其中A、B不同时为0).

45.两条直线的平行和垂直

(1)若乙：y=左科+仇，%：y=k2x+b?

①11|，2=匕=七也wZz,；②4J_4o左K=—1.

(2)若/1：4%+5°+。1=0,/2：4%+32丁+。2=0，且八1、A2>BI、B2都不为零，

①/i甩09=空/6;②I=44+用为=0；

4B?C2

46.常用直线系方程.

(1)平行直线系方程：直线,=履+匕中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线

系方程.与直线上+为+。=0平行的直线系方程是小+为+/1=0(4工0),人是参变量.

(2)垂直直线系方程：与直线加+为+。=0(AWO,BW0)垂直的直线系方程是

Bx-Ay+A=Q,入是参变量.

47.点到直线的距离

d=坐+」％+°!(点P(XQ,%)，直线/：Ax+By+C=0).

VA2+B-

48.圆的方程

(1)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.

(2)圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F^0(£>2+E2-4F>0).

(3)圆的参数方程卜a+rcos。.即三角换元

49.点与圆的位置关系

点尸(看,%)与圆(x-a)2+(y-6)2=/的位置关系有三种

若d={(a-%)2+(〃-%)2,则

d>r=点尸在圆夕卜"=厂=点尸在圆上；d<r=点尸在圆内.

50.直线与圆的位置关系

直线Ax+By+C=0与圆(x-+(y-6)2=r2的位置关系有三种：

d>ro相离oA<0；d=ro相切=A=O；d<ro相交oA>0.

\Aci+Bb-\-C,|

51.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为Oi,。2,半径分别为八，r2,\OxO^=d

d>八+々o外离o4条公切线；d=八+马o外切o3条公切线；

［八一』<4<〃+40相交o2条公切线；。一2|o内切ol条公切线；

0<J<|F1-r2|o>内含o>无公切线.

52.圆的切线方程

(1)已知圆好+)?+£)x+Ey+E=0.

①若已知切点(%,%)在圆上，则切线只有一条，其方程是

当(…)圆外时，……生产+空7+八。表示过两个切点的切点弦

方程.

②过圆外一点的切线方程可设为y-%=左(%-%)，再利用相切条件求k,这时必

有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线.

③斜率为k的切线方程可设为'=丘+"再利用相切条件求b,必有两条切线.

(2)已知圆龙2+J?=户.

①过圆上的片(%,%)点的切线方程为不》+为丁=/；

②斜率为左的圆的切线方程为y=kx+ryll+k2.

53.椭圆的概念

平面内与两个定点尸1，/2的距离的和等于常数(大于|尸1/2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两

个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

集合尸={M||MB|+|M&|=2a},|FiF2|=2c<2a,其中a>0,c>0,且a,c为常数.

椭圆的标准方程和几何性质

^+1=1

吞=1

标准方程

(a>b>Q)(a>Z?>0)

y

Bi

图形

%

8

—bWxWb

范围

一bWyWb

对称性对称轴：坐标轴对称中心：原爆=1

Ai(—a,0)>A2(a,0)4(0,—a),A2(0,

顶点

Bi(O,~b),B(0,a)

坐标2

o),员3,0)

性b)

长轴A1A2的长为2a；短轴的长

质轴

为2b

焦距|FIF2|=2C

离心率e=^e(0,l)

a,b,c

屋="+02

的关系

椭圆的切线方程

22

（1）椭圆T+3=1（。〉6〉0）上一点尸（如为）处的切线方程是誓+誓=1.

abab

22

（2）过椭圆三+方=1（。〉6〉0）外一点「（不，线）所引两条切线的切点弦方程是

54.双曲线的概念

平面内与两个定点F1，尸2的距离的差的绝对值等于常数（小于|尸1尸2|）的点的轨迹叫做双

曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

集合尸={MI|MB|一|M/211=2。},\FiF2\=2c>2a,其中a,c为常数且a>0,c>0.

双曲线的标准方程和几何性质

x2y2二龙=1

7一〃=122

标准方程ab~

(a>0,Z?>0)3>o,z?>o)

图形

或,V

范围%£R,yW—a或vA

yQR

对称

对称轴：坐标轴对称中心：原点

性

顶点4(—q,0),A2(a,O)Ai(0,—a),A2(0,a)

渐近ba

性y=±=xm砂

线工-------a

质

离心

e=pe^(l,+°°),其中c=y/a2+t>2

率

线段AIA2叫做双曲线的实轴，它的长|4自2|

实虚=2a,线段叫做双曲线的虚轴，它的

轴长国&尸功；q叫做双曲线的实半轴长,b

叫做双曲线的虚半轴长

a,b,c

c2=a2+Z?2(c>a>0,c>Z?>0)

的关系

双曲线的方程与渐近线方程的关系

2222

（1）若双曲线方程为二-4=ln渐近线方程：二-斗=0。町±-.

a~b-crb-a

22

⑵若渐近线方程为,=±302±；=0=双曲线可设为4="

aabab

2222

⑶若双曲线与==1有公共渐近线，可设为三-2=九（九〉0,焦点在x轴上,

abab

x<o,焦点在y轴上）.

双曲线的切线方程

22

⑴双曲线5-与=1（“>0力>0）上一点Pg,%）处的切线方程是警-普=1.

abab

22

（2）过双曲线,方=1（心0）>0）外一点P（“。）所引两条切线的切点弦方程是

55.抛物线的概念

平面内与一个定点F和一条定直线1（1不经过点F）的距离相簧的点的轨迹叫做抛物

线.点■叫做抛物线的焦点,直线/叫做抛物线的准线.

抛物线的标准方程和几何性质

y2=2pxy2=~2px~=2pyx2=~2py

标准

⑦>0)⑦>0)S〉o)(P>0)

方程

p的几何意义：焦点F到准线/的距离

11J/

图形tfr

±P

顶点

0(0,0)

坐标

对称

%轴y轴

轴

隹占

八、、八、、1-多°)

坐标欧a

离心

e=1

率

准线__2_p_2P_

xx~2y=~i尸2

方程~2

范围x^O,y£Ry^O,yWO,

开口

向右向左向上向下

方向

隹半

xo+2—xo+2y0+2-州+々

径

通径

2P

长

抛物线产=2px的焦半径公式

抛物线/=2px[p>0)焦半径=七+”.

过焦点弦"bc|co|=x1+々+%+T=X]+x2+p-

2

抛物线y2=2px上的动点可设为P(}%)或尸(2p产,2pt)或P(x,y),其中y；=2px.

56.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

\AB\=-\/(1+A2)[(xi+%2)2—4xiX2]=AKyi+y2)2—4yi/2](左为直线斜率).

57.(1)线面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

平面外一条直线与此

平面内的一条直线平l//a\

判定定

行，则该直线与此平面aUa；=/〃a

理

平行(简记为“线线平HaJ

行=线面平行”)

一条直线与一个平面

平行，则过这条直线的l//a]

性质定任一平面与此平面的/U£>=>

an6=bj

理交线与该直线平行(简

记为“线面平行=线l//b

线平行”)

(2)面面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

一个平面内的两

条相交直线与另a〃B]

〃

一个平面平行，bB

判定定aGb=P>=

则这两个平面平

理b__/aUa

行(简记为“线面bUaJ

平行=面面平

a///3

行”)

如果两个平行平allB'

।

性质定面同时和第三个aC。=〃}=

76n尸一

理平面相交，那么4

它们的交线平行a//b

(3)直线与平面垂直判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

一条直线与一个

a,bUa、

平面内的两条相

判定定/》

交直线都垂直，LLa

理7

则该直线与此平lib>

面垂直=/_La

垂直于同一个平

性质定aba-La\

面的两条直线壬

理7

在

(4)平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

一个平面过

另一个平面

判定定/_La|

的垂线,则这

理lU/3)〃

两个平面垂

直

两个平面垂

直，则一个平a_L4、

IU/3

性质定面内垂直于)=

otn

理交线的直线

17l-La)

与另一个平

/_La

面垂直

58.共线向量定理

对空间任意两个向量a、b(bWO),a〃bo存在实数入使a=入b.

尸、48三点共线oAP||ABoAP=rA5oOP=(lT)OA+fOB.

AB||CD^AB.CD共线且AB、CD不共线oA3=fCD且AB、CD不共线.

59.共面向量定理

向量P与两个不共线的向量a、b共面的o存在实数对尤,y,使°=必+勿.

推论空间一点P位于平面MAB内的o存在有序实数对九,y,使=

或对空间任一定点0,有序实数对x,y,使OP=OM+xMA+yA".

60.空间向量基本定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数

组x,y,z,p=xa+yb+zc.

推论设0、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有

序实数X，y，z,^OP^xOA+yOB+zOC.

61.空间向量的直角坐标运算

设a=(《，?用)，b=(4也也)则

(1)a+b=(q+4，4+&)；(2)a—b=(q-Z?15«2-Z?2,a3-b3)；

(3)-a=(丸q//，2a3)(-RR);(4)a•b=。占+。24+%4;

62.设A。,%/。,B(x2,y2,z2),则

AB=OB-OA-(九2一%,%一X，Z2一4).

63.工间的线线平勺或垂直

设a=(%，X，zJ,b=(x2,y2,z2),则

x=AX2

111111{11i1

aPbOa=Ab(b0)o1%=Ay2;Q_LboqZ?=0oX1X2+yry2+zxz2=0.

/1=^Z2

64.夹角公式

设3=(4,%%)，b=$1力2，瓦),则

coska,b).姐+吟+她.

'a；+a；+a；J+以+

65.(1)异面直线所成角

1I

AI/rf\\a-b\I-^%+yy+zz\

cos0=|cos(tz,o)|=-¥——12>八12Y'2-=.

'/\a\-\b\Jx；+y；+zj•+%2+*

(其中8(0°<^<90°)为异面直线a力所成角，。，力分别表示异面直线a力的方向向量)

(2)直线A6与平面所成角

(口为平面&的法向量).

(3).二面角。-/-尸的平面角

或(机，巩为平面a,夕的法向量).

66.(1)空间两点间的距离公式

若B(x2,y2,z2),则

222

dAB=\AB\=siABAB=)+(j2-)+(z2-z；).

（2）.异面直线间的距离

d=坨川"%是两异面直线，其公垂向量为〃，C、。分别是上任一点，d为15

\n\

间的距离）.

（3）点8到平面。的距离

d=四俱（〃为平面a的法向量，AB是经过面a的一条斜线，Ae«）.

\n\

67.球的半径是R,则

其体积V=3万收，其表面积S=4兀R2.

68.球的组合体

（1）球与长方体的组合体：

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

（2）球与正方体的组合体：

正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对

角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

69.柱体、锥体的体积

腺体=S/Z（S是柱体的底则釉体的高）•

Vw=^Sh（s是锥体的底面积、力是锥体的高）.

70.分类计数原理（加法原理）N=^+铀++%.

分步计数原理（乘法原理）

71.排列数公式

A™=n（ji-1）•••（«-m+1）=—————.（〃，mGN*,且mW”）.注：规定O!=l.

（n-m）!

72.组合数公式

=7二的7…加"+1）=d，meN,且加。）.

A：lx2x---xmm）l

73.组合数而两个性质

⑴C：=C：m；（2）C：+C：T=（Zi.注:规定C；=1.

⑶c°+c*+C>---+C；+---+C>2\

⑷C：+C；+C；+…=C；+盘+C：+…2〃T.

（5）C：+2C；+3C；+…+nC：=〃2"T.

74.排列数与组合数的关系

A—•

75.二项式定理（a+b）n=C”+C：af+CM2b2+.•.+C；an-rbr+••■+C»'；

二项展开式的通项公式

Tr+l=C；Q1（r=0,12…,ri）.

76.n