广西南宁市某中学2024-2025学年高三年级上册8月开学考试数学试题（含答案解析）

广西南宁市第二中学2024-2025学年高三上学期8月开学考试

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知复数z=i(l-i),则忖=()

A.2B.3C.V2D.V3

2.已知命题pVxdR,%2<x5,命题q：3xGR,/一5》+4=0,则下列命题中为真命题的

是()

A.p,qB.「p,qC.p,「qD.「p,「q

3.+-x)4的展开式中，力的系数为()

A.-6B.7C.8D.12

4.已知等差数列｛〃〃｝的前〃项和为S〃，若应+“9=14,4=-3,则Sg=()

A.-7B.7C.-16D.16

5.已知角，满足tanatan夕=一3,cos(a+〃)=；,则cos(a—/)=()

131

A.—B.—1C.—D.一

488

6.已知一个圆柱的轴截面是正方形，一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等，则圆

柱与圆锥的体积之比为()

A.9：V15B.6：V17C.4:V15D.3：而

7.质数(primenumber)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其

他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“挛生素数”.如3和5,

5和7,…，那么，如果我们在不超过20的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件”=“这

两个数都是素数"，事件8="这两个数不是挛生素数”，则P(8|/)=()

6118

A.-B.—C.-D.—

7799

8.已知a>0,6>0,设函数〃x)=(x-a)log[(x+6),若/⑴口，则工+工的最小值为

2ab

()

试卷第1页，共4页

A.8B.4C.2D.1

二、多选题

9.若函数/(x)=2sin](x_3]则()

A./(x)的最小正周期为10B./(x)的图象关于点对称

的图象关于直线工=，对称

C./(x)在上有最小值D./(x)

22

10.椭圆C：J=l(加＞0)的焦点为与，月，上顶点为/,直线/耳与椭圆C的另

7T

一个交点为2,若/片/丹=],贝IJ()

A.椭圆。的焦距为2B.4/55的周长为8

C.椭圆C的离心率为必D.ZXB%工的面积为豆1

25

11.已知函数/(工)=/一4%一2,则(

A.存在实数%使得/(%)=/(%)

B.当。=2时，/(x)有三个零点

C.点(0,-2)是曲线y=〃x)的对称中心

D.若曲线y=〃x)有两条过点(TO)的切线，贝！]/(。)=2

三、填空题

_I一一

12.已知向量2=(-L3),b=(m,l),^(a-b)lb,则正数加的值为.

13.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A、3、C、

D、E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，共有种

不同的坐法，其中恰有一人坐对与自己车票相符座位的概率为.(用数字作答)

2

14.已知点/是函数＞=21nx图象上的动点，点8是函数＞=、图象上的动点，过3点作x

轴的垂线，垂足为则|/同+忸M的最小值为.

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.在VN8C中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,且c-26cos/=b.

(1)证明：A=2B；

3

(2)若C=5A/7,COS5=-,求。的值.

16.已知函数/'(x)=(尤2+2)-左山(尤+1)"为常数).

(1)当上=1时，求/(》)在x=0处的切线方程；

(2)若函数/卜)在区间［05上存在极值，求实数人的取值范围.

17.如图，在四棱锥尸-/BCD中，AD//BC,M为8P的中点，/M//平面CDP.

P

(1)求证：BC=2AD；

(2)若AB=AP=AD=CD=\,NCBM=ZCPM.求平面COP与平面P4B所成

角的正弦值.

22

18.已知双曲线C：5一方=1过点M(3,码，且右焦点为尸(2,0).

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点尸的直线/与双曲线C的右支交于A,8两点，交》轴于点P,若苏=加而，

PB=nBF-求证：机+"为定值.

(3)在(2)的条件下，若点。是点尸关于原点。的对称点，求证：三角形的面积

S＞迪

◎△QAB,3•

19.一只蚂蚁从正方形/BCD的顶点A出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另

17

一顶点，其中顺时针的概率为§，逆时针的概率为1,设蚂蚁经过"步回到A点的概率为p”.

⑴求Pi，2；

(2)设经过〃步到达。点的概率为％,求。"+%的值;

试卷第3页，共4页

⑶求p,.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案CBBDABABADABD

题号11

答案AC

1.C

【分析】根据复数乘法求Z的代数形式，再由模的公式求结论.

【详解】因为z=i（l-i）=l+i,

所以忖=A/12+12=V2,

故选：C.

2.B

【分析】分别判断命题。与4的真假性，逐个选项分析可得答案.

【详解】对于命题0：采用特殊值法，取x=-l,可知。为假命题，力为真命题；

对于命题4：当％=1时，x；-5%+4=0成立，故4为真命题，F为假命题；

故选：B.

3.B

【分析】根据题意，利用二项式的展开式的通项公式，以及组合数的计算公式，即可求解.

【详解】由二项式（1一的展开式［.I=C；•（一1）'•/（r=0,1,2,3,4）,

可得展开式中/的系数为C：.（-I）4+C：=7.

故选：B.

4.D

【分析】由条件结合等差数列性质求由，再结合等差数列求和公式和性质求风.

【详解】因为数列｛%｝为等差数列，

所以%+%=2%，又。5+%=14,

所以%=7,

所以国=（%+：）＞8=（出+；7）义8,又出=-3,

所以风=16.

答案第1页，共13页

故选：D.

5.A

【分析】根据商数关系得至Usinesin/=-3cosacos再利用两角和与差的余弦公式计算

即可.

sinccsinB

【详解】tanatanP---------二-3,sinisin/=—3cosicos尸，

cosorcos

•/cos（cif+，）=cosacos，一sin。sin0=4cosorcosP,/.cosacos尸二（，

/.cos（o一6）=cosacos[3+sinsin/3=-2cosacos/?=?,

故选：A.

6.B

【分析】设圆柱的底面半径为厂，圆锥的母线长为/,依题意得到2m・2r=兀〃求得/=4-，

继而求出圆锥的高加，最后求匕：修即得.

【详解】设圆柱的底面半径为尸，因为圆柱轴截面是正方形，所以圆柱的高为2尸,

依题意圆锥的底面半径为人设圆锥的母线长为/,

因为圆锥与该圆柱的侧面积相等，所以2Tlz,2井=兀〃，解得U4尸，

则圆锥的高为J/2一72—45r,

圆柱的体积匕=兀r2.2/=2兀尸3,圆锥的体积匕=；兀/•,

所以匕：匕=6:巫.

故选：B.

7.A

【分析】依题意，列出不超过20的自然数中的素数有8个，其中“挛生素数”有4对，利用

缩小样本空间的方法易求出条件概率尸伍\A）的值，再运用对立事件的概率公式即得.

【详解】因在不超过20的自然数中，素数有：2,3,5,7,11,13,17,19共8个,

其中“李生素数”有3和5,5和7,11和13,17和19共4种情况，

6

则尸⑷/)=生?=1=3'故尸（5|4）=1-尸（方⑷

7

故选：A.

8.B

答案第2页，共13页

【分析】由/(无)外化简得(尤+6厂21,就底数进行分类讨论求解得到。+6=1,最后利

用常值代换法，由基本不等式即可求得.

【详解】由可得，(“一")1。81('+34°,即logj(尤+6广"WlogJ,也即

222

（%+6广“之（x+6）°,

因x+b〉0,①当x+621时，可得了一。20,即得—

②当0<x+b<l时，可得x-aVO,即得1一6(。，

综上可得，1一6=〃，即a+6=l,因。>0,6>0,

故由L+1=(a+6)(L+L)=2+4222+2、^^=4，

ababba\ba

当且仅当。=b=1时，:取得最小值，等于4.

2ab

故选：B.

9.AD

【分析】由正弦型函数的周期公式可求A,通过代入求值的方法可判断BD选项，利用正弦

函数的图象与性质可判断C.

T=@=10

【详解】Ku,A正确.

5

因为/《J=2sin1番“0,所以〃x)的图象不关于点信对称，B错误.

因为/［：］=2sin；=2,所以〃x)的图象关于直线x=?对称，D正确.

(4J24

若xe(0,则,由y=sinx的图象可知，

/(x)在上有最大值，没有最小值，C错误.

故选：AD.

10.ABD

【分析】由已知结合椭圆的定义及性质先求出。，b,c,即可根据焦距，焦点三角形的周

长以及离心率求解ABC,根据余弦定理以及三角形面积公式可得D.

【详解】由题意可知，~尸2=三,\AFt|=|AF2\=a,

故为等边三角形，则。=2c,b=&,

222

又。2-b=m+\-m=1，

答案第3页，共13页

所以。=1,b=5/3,a=2,

所以焦距2c=2,A正确；

r

离心率e=£==1,C错误；

a2

由椭圆定义可知，△45巴的周长4〃=8,B正确.

2

设忸耳卜尤，贝！]忸用=4r,又N瓦笆=茎7r，

6

92

由余弦定理可得(4-x)=4+x-4xcosZBFiF2^x=-,

所以心•隐=：忸引£同sing=；xgx2x[=考，D正确,

故选：ABD.

II.AC

【分析】对A,求出/(x)=--ax-2的导函数，使其和/(无)=/一"一2相等，解方程看

是否有实数根，即可求得；

对B,根据/(x)的导函数确定单调区间以及极值点，看/(x)与x轴交点即可判断；

对C,根据中心对称公式即可判断；

对D,设/(x)=x3-ax-2过(-1,0)的切线的切点为(%,%),由条件可得2片+3焉+2-a=0

有两个根，结合导数研究方程的根即可.

【详解】对A,根据已知/'("=3/_。的导函数,令洋朗)=/伉)

贝Ix3-ax-2-3x2+a=0)令g(x)=x3-ax-2—3x'+a,

g⑴=F-a-2-3xl+a=T<0,当x->+<»时g(x)>0,

根据函数零点存在定理存在实数X。e(1,+s)使得r(x0)=r(x0),故A正确；

答案第4页，共13页

对B,根据题意知/'卜）=3--2,令/（x）=3/-2=0得到x=土乎，

在S,一^~和卜;,+°0上/''（x）＞0,所以/（X）在-9,一^~和卜;,+00单调递增,

在一告■，仔■上/'（x）＜。，所以/（X）在一告■，暂■单调递减，

（［7\

f是的极大值，且/"（X）的极大值大于f（x）极小值，

/（2）=8-4-2=2＞0,

所以/"（X）在定义域内有且只有一个零点，故B错误;

对C,令g（x）=/-2x,该函数定义域为R,

且g（f）=——+2x=-（x3-2x）=—g（x）,

所以g（x）为奇函数，（0,0）是g（x）=/一"的对称中心,

将g（x）=/一"向下移动两个单位得到f（x）的图像，

所以点（0,-2）是曲线y=/（x）的对称中心，故C正确；

对D,/卜）=/-°尤-2过（-1,0）的切线的切点为（%,%）,切线斜率为/''优）=3%；-a,

则切线方程为=（3x；-a）"-。）,

把点（T，0）代入可得f；+办。+2=（3x；-a）（-1-％,化简可得2x；+3x；+2-“=0,

令“（x。）=2x；+3x；+2-a,

则〃'（尤o）=6尤;+6尤0,令“'（尤0）=6片+6X0=0可得工0=0或%=-1,

（尤o）在（-巩-1）和（0,+（»）上大于零，所以“（X。）在（-巴-1）和（0,+“）上单调递增，

“'（尤。）在（-1,0）上小于零，所以〃（尤。）在（-1,0）单调递减，

要使M（Xo）=O有两个解，一个极值一定为0,

答案第5页，共13页

若函数〃（X。）=2x；+3x：+2-°在极值点=-1时的函数值为0,可得°=3,

所以「（。）=〃3）=33-3义3-2=16

若函数"（Xo）=2无;+3x：+2-a在极值点％=0时的函数值为0,可得a=2,

所以〃a）=/（2）=23-2*2-2=2,故D不正确.

故选：AC

12.1

【分析】根据向量垂直的坐标形式可得加的方程，故可得正数加的值.

【详解】由题意得,a-b,-.-（a-byib,

:.m[-\-m）+2=0,解得m=-2（舍去）或加=1.

故答案为：1.

3

13.120-

8

【分析】根据排列数的定义可得出上车后五人在这五个座位上随意坐的坐法种数，然后假设

A坐对与自己车票相符的座位，列举出其他同学没有坐对与自己车票相符座位的基本事件,

进而可计算出事件“恰有一人坐对与自己车票相符座位”的概率.

【详解】由题意可知，上车后五人在这五个座位上随意坐，坐法种数为川=120种.

假设A坐对自己的位置，其他四人没有坐对与自己车票相符座位所包含的基本事件有：

CBED、CEBD、CDEB、DBEC、DEBC、DECB、EBCD、EDBC、EDCB,共9种，

因此，恰有一人坐对与自己车票相符座位的概率为尸=公=:

3

故答案为：120；—.

o

【点睛】本题考查排列数的应用，同时也考查了古典概型概率的计算，考查计算能力，属于

中等题.

14.

2

【分析】根据抛物线的焦半径公式可将问题转化为尸到y=21nx上一点A的最小距离即可,

根据点点距离公式，得〃x）=x2+41n2x-21nx+；,利用导数求解最小值即可.

【详解】由于是焦点在＞轴上的抛物线，故设其焦点为歹

答案第6页，共13页

则忸叫=忸尸|-；,所以|/同+忸闾=|/同+忸制一司一g,

故求尸到夕=2Inx上一点A的最小距离即可，

设/(x,21nx),则|/开=/+121nx-g1=x2+41n2x-21nx+-^-,

记/(x)=x2+41n2x-21nx+-,则f'(x\=2x+---=2x2+81nx-2

4xxx

由于函数g(x)=2%2+81nx—2在(0,+8)单调递增，且x=l,g(l)=0,

故当xe(0,1)时g(x)<0,；./'(x)<0,因此/(X)在(0,1)单调递减,

当％e(1,+8)时g(x)>0,;/(x)>0,因此/(X)在(1,+8)单调递增,

故/(x)mm=/(l)=:，

因止匕|//扁=g，故|/例+|a0怛卜尸卜9件工，

故答案为：①

2

15.(1)证明见解析

(2)6币

【分析】(1)利用正弦定理，两角和与差的正弦函数公式化简已知等式可得sin(/-8)=sinB,

可得“一8=8,或/一8+8=兀，分类讨论即可证明/=25；

3,…

(2)由cosB=—,求解sinB,利用/=25,求解sin/,结合正弦定理即可求解.

4

bc,

【详解】(1)由c—6=2bcosZ及正弦定理^---=-...可得，sinC-sin5=2sin5cosA,(*)

sin5sinC

'：C=TI-A-B

sin[兀一(Z+5)]—sinB=2sinBcosA,

即sin(4+5)—sinB=2sinBcosA,

答案第7页，共13页

所以sin4cosB+cosZsin8—sin8=2sinBcosA,

整理得sinAcosB-cos/sin5=sinB,

即sin(4一B)=sinB,

又A,8是V/5C的内角，

所以4B£(0,兀)，G(0,71),

所以/—3=5或/—5+5=兀(舍去),

即4=25.

3

(2)由cosB=一及5£(0,兀)可知,

4

由4=28可知，cosA=cos2B=2cos2

3J73~

sin24=sin25=2sinBcos5=2x—x——=—V7.

448

InInic_

由(*)可得，sinC=sinB+2sin5cos4=-----F2x—x-=—<jT.

44816

在V/8C中，由正弦定理一j=-J

sinAsinC

a_5y/1

可得，3行一解得a=6V7,

"I-16

16.⑴x+y—2=0

(2)(0,4)

【分析】(1)根据已知条件及函数值的定义，利用导数的法则及导数的几何意义，结合直线

的点斜式方程即可求解；

(2)将函数〃x)在区间(0,1)上存在极值转化为七(0,1),使得/'(x°)=0,%两侧的导数

异号，利用二次函数的性质即可求解.

【详解】(1)当左=1时，/(x)=(x2+2)-ln(x+l),xe(-l,+co),

所以/'(0)=2,

所以f'(x)=2x-----,

X+1

所以/(X)在x=0处的切线的斜率为后=/'(0)=2X0-A=-1,

所以/(x)在％=0处的切线方程为＞-2=(-l)(x-0),即x+y-2=0.

答案第8页，共13页

(2)因为/(x)=(%2+2)-左ln(x+l),xe(-l,+oo),

k

所以/'(x)=2%-----,

x+1

因为函数/«在区间(0,1)上存在极值，

所以天。£(0,1),使得/'(%)=0,与两侧的导数异号，

所以2%7=。，即左=2x；+2%0,x0G(0,1),

%o+1

令g(x())=2片+2%,xoe(O,l),

由二次函数的性质知，对称轴为％=-)，开口向上，

所以g(%)在(0,1)上单调递增，

所以g(0)<g(x())<g⑴，即0<g(x0)<4,

所以实数上的取值范围为(0,4).

17.(1)证明见解析

⑵手

【分析】(1)取尸C的中点N,连接MN,ND,先证M,N,D,A四点共面，再由线

面平行的性质定理可得/M7/DN,进而知四边形4脑VD为平行四边形，从而有

MN=AD=-BC-

2

(2)取8c的中点E,连接NE,AC,先证四边形4ECD是平行四边形，再证4B//C,

PA1AC,然后由线面垂直的判定定理证明P/_L平面48cD,即可建立空间直角坐标系，

利用向量法求二面角即可.

【详解】(1)证明：取PC的中点N,连接MN,ND,

因为M为5P的中点，所以=MN//BC,

2

又ADIIBC,所以4D//KN,所以M,N,D,A四点共面，

因为/W//平面CD尸，平面跖VLMPI平面CZ*=£W,/Mu平面

所以㈤W7/DN,

所以四边形/MVD为平行四边形，

所以MN=4D,

答案第9页，共13页

所以3C=24D.

(2)取3c的中点E,连接/E,AC,

由(1)知所以EC=/。，

因为EC7/4D,

所以四边形AECD是平行四边形，

所以EC=4。=1,AE=CD,

因为N3=CD=1,所以/£=1=工8(7,

2

所以/A4C=90。，即48//C,

因为NC3M=/CW,所以C8=C尸，

因为48=4P=1,CA=CA,所以“BC*4PC,

所以NP/C=N8/C=90。，即尸/_L/C,

又且/8ppC=/,AB,NCu平面N3C。,

所以R4_L平面ABCD.

又ABJ.AC,

故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

则,(0,0,1),C(0,V3,0),D(-g,*,0),

_____k1,1FlULIUL「

所以CD=(-5,-三,0),PO=(--,^,-l)-4c=(0,6,0)，

-7^r>1A/3

n•CD=----x-------y=0

22

设平面尸CD的法向量为五=(x,y,z)则

-~DTy1A/3八

nPD=----x-\------y—z=0

22

令x=G，贝lJy=_Lz=_百，所以为=,

易知平面PAB的一个法向量为就=(0,0),

所以cos(/C7)=~plS<=厂3

9以、'\AC\]n\V3xV77，

故平面PCD和平面PAB的所成角的正弦值为

答案第10页，共13页

2

18.（l）y-/=l；

（2）证明见解析；

（3）证明见解析.

【分析】（1）根据给定条件，利用双曲线定义求出2a即可求解作答.

（2）设出直线/的方程，与双曲线方程联立，利用向量共线并结合韦达定理求解作答.

（3）由（2）求出点0的坐标，再求出AQ/B面积的关系式，借助函数单调性推理作答.

【详解】（1）依题意，双曲线C的左焦点为尸（-2,0）,

22

由双曲线定义知，C的实轴长2a-]〃F|=43+2）2+（@2_^3-2）+（>^）=23，

因止匕b~=i1—a1=\!

所以双曲线C的方程为土-r=1.

3.

（2）由（1）知，双曲线C的渐近线方程为了=±[》，

依题意，直线/的斜率上存在，且|心>手，设直线/的方程为：x=ty+2U=1,0<|Z|<V3,

由2：2,消去X并整理得：（3-/）/-4W-1=0,设夙G%），

[x-3y=3

4/-12-2―►

则必+%=丁/,%％而点尸（0,一7），则尸4=（再,必+：）,4F=（2—%],一必），

5—t5—ttl

222

因为强=加方，则有弘+_=_加乂，即机=T一7，同理"=一1一1，

所以7W+1=—2—2（J_+J_）=_2_乙JI+卜=_2_乙=6,为定值.

tyiyty^（t

223-〃

答案第11页，共13页

（3）由（2）知，点0（0,。，贝

28J+/

-巾=优乂+%<一。％=

M3-W

△0/5面积

.1.八八...2....4^/3,Jl+1?

V

^^QAB~lS“尸0—S^BPQ1=康夕。卜1石一%21=77"%一仇上2|弘一%|=———

211\J-t

4人

____44

因为0<“|<#，令〃=J1+产€（1,2），而函数>=--"在（1,2）上单调递减，即0<--W<3,

UU

____4百46

4用下<3,所以4