2024-2025学年福建省某中学高三年级模拟考试（四）数学试题（含解析）

2024-2025学年福建省东山二中高三年级模拟考试（四）数学试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在ABC中，AD为边上的中线，E为AD的中点，且|AB|=1,|AC|=2,44C=120。，贝！J|EB|=（）

AMR而CD夕

A.----15.---C.---L＞.

4424

2.一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大

小是（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

22

3.已知打、工分别是双曲线C：三-2=1（。＞0）＞0）的左、右焦点，过B作双曲线c的一条渐近线的垂线，分

别交两条渐近线于点A、B,过点3作X轴的垂线，垂足恰为片，则双曲线。的离心率为（）

A.2B.73C.2有D.75

4.根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专

家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）

1111

A.—B.—C.-D・一

6432

5.记M的最大值和最小值分别为"max和"min.若平面向量b、C，满足卜|。3=C•（。+2）一c）=2,

则（）

AI'I0'币RI,I百-A/7

A.kz-c=-----------B.\a+c\=-----------

IImax2।Imax2

I-IA/3+V?I-IA/3-A/7

C・〃—c.=---D・〃+c=---

IImin,IImin,

6.甲乙两人有三个不同的学习小组A,B,C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参

加同一个小组的概率为（）

7.在AA5c中，|/方+4。卜,8—AC],AB=4,AC=3,则BC在CA方向上的投影是（）

A.4B.3D.-3

1八

—，元<0

X

8.已知函数/（%）=:若函数"x）=/（x）-质在R上有3个零点，则实数上的取值范围为（）

Inx八

---,%>0

、X

(0,-^-)C（V）

A.(0,—)B.

e2e

9.在正方体ABC。—44GA中，点尸、。分别为AB、AD的中点，过点。作平面。使用P〃平面。，AQ〃平

MD.

面e若直线42c平面。=〃，则谓的值为（）

MJD｝

£112

A.B.-C.一D.

432

10.若非零实数。、匕满足2。=3"，则下列式子一定正确的是（)

A.b>aB.b<a

c.网＜同D.|^|>|«|

111

11.已知数列｛6J为等比数列，若右+的+幽=26,且。5・。9=36,贝!)一+一+一=()

。6。7a8

13B.上或41313

A.C.D.

181836~9~6

12.在正项等比数列｛〃/J中，as-ai=15,a4-a2=6,则。3=()

A.2B.4C.D.8

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图所示梯子结构的点数依次构成数列｛4｝,则q°o

・

x+2,x<-l

14.已知/(%)=<X2-5,-1<X<3,则/"(4)］的值为

log2x,x>3

15.若函数/（%）=〃5匹（。£尺）与函数g（x）=«,在公共点处有共同的切线，则实数〃的值为

16.根据如图所示的伪代码，输出/的值为

S—1

k—1

WhileSw9

S—S+/

/I+2

EndWhile

PrintI

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，三棱柱A3C—4与G中，平面ABC,NAC5=9O,AC=CB=2,M,N分别为AB,

4c的中点.

（1）求证：MN//平面BB[C[C；

（2）若平面QVW,平面4MN,求直线AB与平面4MN所成角的正弦值.

18.（12分）设。为坐标原点，动点"在椭圆C：=+/=1（1＜。＜5）上，该椭圆的左顶点A到直线x—y+5=O

a

的距离为逑.

2

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）若椭圆C外一点N满足，MN平行于y轴，（ON-2OM＞MN=0,动点尸在直线x=2百上，满足OMNP=2.

设过点N且垂直。尸的直线/,试问直线/是否过定点？若过定点，请写出该定点，若不过定点请说明理由.

19.（12分）在如图所示的多面体中，平面43用4,平面四边形45与4是边长为2的菱形，四边形ABCD

为直角梯形，四边形3CC[5]为平行四边形，且A5//CD,ABLBC,CD=1

(1)若E,尸分别为A。，8C]的中点，求证：平面A耳G；

(2)若幺43=60。，AG与平面ABC。所成角的正弦值g，求二面角4--。的余弦值.

20.(12分)已知函数/'(%)=%|1+〃],〃£尺,

(1)若/(1)+/(—1)>1,求。的取值范围；

CL

(2)若。<0,对Vx,y€(—8,—a],不等式/(x)<y3+y+|■恒成立，求。的取值范围.

21.(12分)在如图所示的四棱锥尸-A3CD中，四边形ABC。是等腰梯形，AB//CD,ZABC=GO°,平

面ABCD,AC±BF,CB=CD=1.

(1)求证：AC,平面8C尸；

(2)已知二面角方-5。-C的余弦值为近，求直线AF与平面DEB所成角的正弦值.

5

22.(10分)已知函数/(力=12+ar-alnx,aGR

(1)若a=L求/(九)的单调区间和极值；

⑵设ga)=/(x)+(a+2)lnx-(a+2T卜，且g⑴有两个极值点看…，若心+手，求

g(%J-g(X2)的最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

312一.

根据向量的线性运算可得—zA。，利用IEBF=EB及|AB|=1,|AC|=2,ABAC=120°计算即可.

【详解】

因为E3=EA+AB=—；AD+AB=—gx；(AB+AC)+AB=；AB—；AC,

o2923112

所以|E3|2=E8=—AB-2X-X-ABAC+—AC

164416

19

16

所以|EB|=)-，

故选：A

本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.

2.D

【解析】

设圆锥的母线长为/,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式，进而求得1=2R即可得圆锥轴截面底角的大

小.

【详解】

设圆锥的母线长为/,底面半径为民则有万R2+万知=万氏2+21氏2,解得/=2火,所以圆锥轴截面底角的余弦值是

R1

—=—，底角大小为60°.

I2

故选：D

本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式，属于基础题.

3.B

【解析】

bb1

设点5位于第二象限，可求得点区的坐标，再由直线3&与直线丁=一九垂直，转化为两直线斜率之积为—1可得出勺

aa

的值，进而可求得双曲线。的离心率.

【详解】

b(be

设点5位于第二象限，由于5月，元轴，则点3的横坐标为4=-。，纵坐标为%=-一一，即点5-c,一

aa<a

7beT?

由题意可知，直线明与直线y=-x垂直，,1_1-r=2,

aBL2cr-2a~b0

因此，双曲线的离心率为e=±=：-6■

故选：B.

本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出。、b.c的等量关系，考查计算能力，属于中等题.

4.A

【解析】

每个县区至少派一位专家，基本事件总数〃=36,甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数机=6,由此

能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.

【详解】

派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家

基本事件总数：〃=C源；=36

甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：相=第。；国=6

m61

二•甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：P=—=77=：

n366

本题正确选项：A

本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

5.A

【解析】

JT

设。为。、b的夹角，根据题意求得6=§,然后建立平面直角坐标系，设A=(2,0),b=OB=(1,^),

c=OC=(x,y),根据平面向量数量积的坐标运算得出点C的轨迹方程，将卜-(;和a+c转化为圆上的点到定点距

离，利用数形结合思想可得出结果.

【详解】

由已知可得a6=b，Ncos8=2,则cosd=L,QO<0<7r,:.3=—.

建立平面直角坐标系，设

a=QA=（2,0）,b=OB=0阴,c=OC=（x,y）,

由c-(a+2b-c)=2,可得(x,y>(4-2x,26-2y)=2,

即4x-2/+2底-2/=2,

化简得点C的轨迹方程为（x—I?+y—9=|,则必_2,+/,

则卜―c|转化为圆（x——立］=3上的点与点（2,0）的距离，.〔卜―c|卜丁

o+c|=J(x+2)_+/,

a+c|转化为圆(x—1/+y—m=:上的点与点(一2,0)的距离,

73_739-73

~2~2

故选：A.

本题考查和向量与差向量模最值的求解，将向量坐标化，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键,

考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题.

6.A

31

【解析】依题意，基本事件的总数有3x3=9种，两个人参加同一个小组，方法数有3种，故概率为3=—.

93

7.D

【解析】

分析：根据平面向量的数量积可得A3,AC，再结合图形求出与C4方向上的投影即可.

详解：如图所示:

•|AB+AC|=|AB-AC|,

:.ABAC=O>

ABLAC>

又AB=4，AC=3,

r.BC在cA方向上的投影是：BqCOS3C,C4=B^cos("—NACB)=—忸qcosZACB=-3,

故选D.

点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题.

8.B

【解析】

根据分段函数，分当x<0,x>Q,将问题转化为左的零点问题，用数形结合的方法研究.

X

【详解】

当x<0时，k=""=，,令g(x)=e，g'(x)=—■y>0,g(x)在xe(-oo,0)是增函数，上>0时，k=

Xx~X"XX

有一个零点，

当％〉。时，人里=坐，令h(x)=*,/(x)=匕T

XXXX

当％£(0,G)时，〃(%)〉0，二人(%)在(0,G)上单调递增，

当%£(&,+8)时，力(%)<0,二力(九)在(&\+00)上单调递减，

所以当x=五时，/幻取得最大值!，

2e

因为厂⑴=/(%)一质在R上有3个零点，

所以当x>0时，左=必。有2个零点，

如图所示:

故选：B

本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.

9.B

【解析】

作出图形，设平面u分别交4〃、G4于点E、F,连接OE、DF、EF,取CD的中点G,连接尸G、QG,

连接AC交耳。于点N,推导出4P〃GG,由线面平行的性质定理可得出CG〃/)E,可得出点尸为GA的中点,

MD.

同理可得出点E为4。的中点，结合中位线的性质可求得帚的值.

【详解】

如下图所示：

设平面a分别交GA于点E、F,连接。石、DF、EF，取CD的中点G,连接PG、QG,连接AC交

BQ1于点、N,

四边形A3CD为正方形，P、G分别为A3、CD的中点，则亚7/CG且5P=CG,

•••四边形BCGP为平行四边形，.•.PG〃BC且PG=BC,

B.CJ/BC且3]G=3C,二PGHB。且PG=B©,则四边形BgGP为平行四边形，

BxPHCfi,B\PII平面a,则存在直线au平面a,使得B{P//a,

若GGu平面a,则Ge平面又Oc平面戊，则COu平面e,

此时，平面c为平面COQG，直线AQ不可能与平面戊平行，

所以，GG<Z平面a,GG〃a,GG〃平面a,

ClGu平面C。QG，平面。。£>1。11平面夕=£>P，.・.£>/〃。。，

.C.FUDG,所以，四边形C]GDE为平行四边形，可得GE=£>G=gcD=gCi2,

11MD.1

二支为GA的中点，同理可证E为42的中点，BiWEF^M,..MD=-DN=-BD,因此，品=鼻.

l2_,i4llLVIDyD

故选：B.

本题考查线段长度比值的计算，涉及线面平行性质的应用，解答的关键就是找出平面e与正方体各棱的交点位置，考

查推理能力与计算能力，属于中等题.

10.C

【解析】

令2"=3"=/，贝卜>0，t^l,将指数式化成对数式得。、b后,然后取绝对值作差比较可得.

【详解】

令2。=3'=，，贝ij/>0,/。1,=log1=,b=log1=

2lg23lg3

|lgr|_|lgr|(lg3-lg2)

明第胆>o,因此，时〉

1g3--Ig2-lg3-

故选：c.

本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题.

11.A

【解析】

根据等比数列的性质可得%•%=49=蜡=36，通分化简即可.

【详解】

由题意，数列｛%｝为等比数列，则%•%=4七8=。=36,

又。6+的+。8=26,即〃6+/=26—,

1114+4./+4•%_36+%•(4+/)_36+%126—%)

所以，—+—+—=-----------------------=----------=----------------

4%/。6•〃7•〃836,%3o,〃7

_36+%-(26-_36+26•%_36+26-a7-36_26-«7_13

36・。736・。736036・。718

故选：A.

本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.

12.B

【解析】

*123

根据题意得到%-=15,a4-a2=axq-axq=6,解得答案.

【详解】

q=—16

CL

%—a[=15,a4-a2=-aYq=6,角军得<”2或,1(舍去).

q=一

2

故。3=a/=4.

故选：B.

本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.5252

【解析】

根据图像归纳4=2+3+4+...+“+2,根据等差数列求和公式得到答案.

【详解】

根据图像：q=2+3,a2—2+3+4,故aa=2+3+4+...+”+2,

“(2+102)x101

故^ioo=2+3+4+…+102=----------------=5252•

故答案为：5252.

本题考查了等差数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

14.-1

【解析】

先求/(4),再根据/(4)的范围求出/[/(4)]即可.

【详解】

由题可知/(4)=log24=2,

故/[〃4)]=/⑵=22—5=—1.

故答案为：-1.

本题考查分段函数函数值的求解，涉及对数的运算，属基础题.

15.匕

2

【解析】

函数/(x)=alnx的定义域为(0,+8),求出导函数，利用曲线y=/(x)与曲线g(H=«公共点为(毛,%)由于在

公共点处有共同的切线，解得/=41,a>Q,联立/(xo)=g(x0)解得a的值.

【详解】

解：函数/(x)=alnx的定义域为(0,+8),/,(x)=-,=,

设曲线/(x)=alnY与曲线g(x)=6公共点为(％,%),

a1.

由于在公共点处有共同的切线，...一=彳7=，解得/=4",a>Q.

由/(x())=g(xo)，可得。1叫)=后.

Xn—'4。z?

联立l，解得。=彳.

alnxQ=2

故答案为：一.

2

本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

16.7

【解析】

表示初值S=l,i=l,分三次循环计算得S=10>0,输出=7.

【详解】

S=l/=1

第一次循环：S=l+1=2/=1+2=3；

第二次循环：S=2+3=5,i=3+2=5；

第三次循环：5=5+5=10,7=5+2=7；

S=10>9,循环结束,输出：i=7.

故答案为：7

本题考查在程序语句的背景下已知输入的循环结构求输出值问题，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)详见解析；(2)逅.

6

【解析】

(1)连接AG，BC[,则NeAG且N为AG的中点，

又："为AB的中点，BQ,

又5C]U平面W平面

故〃平面531clC.

(2)由AA，平面ABC,得ACLCG，BC±CQ.

以。为原点，分别以CB,CC-C4所在直线为x轴，V轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

设CC]=22(2>0),

则M(1,0,1),N(0,2,1),4(2,24,0),

CM=(1,0,1),MN=[-l,2,0),NB}=(2,2,-1).

取平面CMN的一个法向量为根=(%,y,z),

由CM•加=0，•刃=0得:

%+z=0/、

-x+£y=0'令尸1'得相=(&，叫

同理可得平面B[MN的一个法向量为ri=(2X32)

22

:平面CMN，平面BXMN,：.m-n=A+1-3A=Q

解得行正，得〃=

,又AB=(2,0,-2),

2①F)

设直线A3与平面片MN所成角为。，则

sin^=|coszz,AB|L同丽—6

所以，直线AB与平面耳MN所成角的正弦值是亚

6

18.(1)—+/=1；(2)见解析

4

【解析】

(1)根据点到直线的距离公式可求出a的值，即可得椭圆方程；

(2)由题意M(xo,yo),N(xo,yi),P(2若，t),根据(ON—2OAf)-MN=0,可得yi=2yo,由ON-NP=2,

可得2，^xo+2yot=6,再根据向量的运算可得昕•OP=0，即可证明.

【详解】

(1)左顶点A的坐标为(-a,0),•.•上交1=3返，.・.|a-5|=3,解得a=2或a=8(舍去)，椭圆C的标准方

V22

2

程为工一+y2=l,

4

(2)由题意M(xo,yo),N(xo,yi),P(2^/3,t),则依题意可知yiryo,(ON-20M)-MN=0得(xo-2xo,

yi-2yo)•(0,yi-yo)=0,整理可得yi=2yo,或yi=yo(舍)，ON,NP=2，得(xo,2yo)(2近-xo,t-2yo)

=2,整理可得2j^xo+2yot=xo2+4y()2+2=6,由(1)可得F(5/3,0),，而二(&-xo,-2yo),・••而•而=(遂-

xo,-2yo)(2«,t)=6-2&xo-2yot=O,・・・NF，OP,故过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F.

本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的关系，向量的运算，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题.

,7

19.(1)见解析(2)——

8

【解析】

试题分析：(1)第(1)问，转化成证明45,平面A31G,再转化成证明43,A用和45,耳£.(2)第(2)问，先

利用几何法找到AC】与平面ABCD所成角,再根据AC】与平面ABCD所成角的正弦值为手求出31cl=a,再建立空

间直角坐标系，求出二面角A—AG—。的余弦值.

试题解析：

(1)连接48,因为四边形A544为菱形，所以43,A片.

因为平面AB4A，平面ABCD,平面A3454c平面=BCu平面ABC。，ABLBC,所以

平面

又A^u平面A55]A，所以A3,3c.

因为_BC//3]Ci，所以45_LAG.

因为耳£cAB】=片，所以A3，平面AB。].

因为E,尸分别为4G，8G的中点，所以EF//AB,所以所，平面AB。]

（2）设用G=a,由（1）得用GJ_平面A3B1A.

由幺45=60。，BA=2,得AB】=2石，AC1=,12+6.

过点G作G/，DC，与。C的延长线交于点M，取A5的中点“，连接A"，AM,如图所示,

又NAAB=60°,所以AA54为等边三角形，所以又平面ABB1平面ABC。，平面AB笈Ac平面

ABCD=AB,4〃0：平面4544,故平面ABCZ）.

因为BCG4为平行四边形，所以CG/ABB],所以CC"/平面A45及.

又因为CD//A6,所以CD//平面

因为CGcCD=C,所以平面A&BB"/平面。GM.

由（1）,得平面A4]33],所以平面。CM,所以

因为5Cc£>C=C,所以GMJ■平面ABCD,所以NgAM是A。与平面ABCD所成角.

因为C[BJ/CB,所以4百〃平面ABC。，耳。1〃平面ABC。，因为4男仆£4=4,所以平面

ABCD//平面A与G.

所以4〃=G"=有，sinZQA/Vf=1=,,解得a=J§\

AG。12+/5

在梯形A5CD中，易证。石，AB,分别以HA，HD，网的正方向为工轴，V轴，z轴的正方向建立空间直角坐

标系.

则4(1,0,0),D(0,若,0),A(0,0,6)，用卜2,0,6)，3(—1,0,0)，C(-1,A/3,0),

由=(—1,0,百)，及BB[=CCi，得£卜2,百,6),所以AG=「3,6,6),AD=(-1,^,0),

M=(-1,0,^).

设平面ADG的一个法向量为机=(%由｛1'得｛>令必=1，得m=(3,l,2)

[m-AD=0,[一百+，3乂=0,

/、-AC,=0,—3X+v3yv32=0,

设平面A&C的一个法向量为〃=(苍,％/2),由TI1得2-212令Z2=L得

n-AA,=0,[-%2+V3Z2=0,

〃=(6,2,1).

n3+2+277

所以COSm,n=-j~n—r=i—/:=—j=—尸=—

|m||n|J3+1+4义73+4+1A/8x^/88

7

又因为二面角4—AG—。是钝角，所以二面角\-AC.-D的余弦值是—-.

8

20.(1)⑵卜3,0).

【解析】

(1)分类讨论a4—1,-l<a<l,a>l,即可得出结果；

(2)先由题意，将问题转化为/(x)…v(y+13+y+孩),“加即可，再求出/(x),s，y+3-+y+|的最小值，解不

等式即可得出结果.

【详解】

(1)由/(1)+/(—1)>1得|a+l|—,一1|>1,

若a4—1,则—1—a+a—1>1,显然不成立；

若一1<Q<1,贝!J1+Q+Q—1>1,a>—，即一；

22

若则1+Q—Q+1>1,即2>1,显然成立，

综上所述，〃的取值范围是

(2)由题意知，要使得不等式恒成立，只需/(x)“如<('+[3+、+£CL),“加,

a2

当xe(-oo,—a]时，f(x)^-x(x+a),所以/(x)“皿

~4

3〃、3a

因为ry+—+y+—n—

4242

2Q

所以幺三士—q,解得—3WaWl,结合。＜0,

442

所以以的取值范围是［—3,0).

本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记分类讨论的思想、以及绝对值不等式

的性质即可，属于常考题型.

21.(1)证明见解析；(2)好.

5

【解析】

(1)由已知可得CE，AC,结合由直线与平面垂直的判定可得AC，平面8C尸；

(2)由(1)知，AC±CB,则C4,CB,。尸两两互相垂直，以C为坐标原点，分别以C4,CB,CV所在直线

为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设尸(0,0,。)，由二面角尸-§£)—。的余弦值为好求解。，再由空间向量求

5

解直线AF与平面DFB所成角的正弦值.

【详解】

(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，ABHCD,ZABC=60°,所以NADC=N5CD=120°^AD=CD,

所以NACD=30°,

因此ZACB=90°,AC±BC,

又ACLM,

且3CBF=B,BC,BFu平面BCF,

所以AC,平面BCT.

(2)取6£)的中点G,连接CG,FG,

由于CB=CD,因此CGLBZ),

又bC,平面ABC。，5Du平面ABCD，所以FCLBD.

由于8CcCG=C,FC,CGu平面bCG,

所以班)，平面bCG,故BOLbG,

所以ZFGC为二面角尸—3。—。的平面角.在等腰三角形BCD中，由于ZBCD=120。，

因此CG=L,又CB=CF=I,

2

因为COS/RGC=N5,所以tanNFGC=2,所以bC=l

5

，—;,0),E(0,0,1),5(0,1,0)

以C4为X轴、CB为y轴、C尸为z轴建立空间直角坐标系，则

设平面DBF的法向量为n=(%,y,z)

x--y-z=0

FDn=022

所以《即《,令％=6，则y=1,z=1,

BDn=0