【学霸满分】2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）专题13 垂径定理之六大考点（解析版）

专题13垂径定理之六大考点【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一利用垂径定理求值】 1【考点二利用垂径定理求平行弦问题】 4【考点三利用垂径定理求同心圆问题】 7【考点四利用垂径定理求解其他问题】 10【考点五垂径定理的推论】 13【考点六垂径定理的实际应用】 16【过关检测】 18【典型例题】【考点一利用垂径定理求值】例题：（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，为的直径，为的弦，，垂足为，，，．【答案】【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，由垂径定理可得，由勾股定理可得，最后根据即可得出答案，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解此题的关键．【详解】解：如图，连接，为的直径，为的弦，，，，，，，故答案为：．【变式训练】1．（2023上·江苏无锡·九年级校考期末）如图，是的直径，弦，垂足为点E，，则．【答案】10【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理以及勾股定理是解决本题的关键．根据得，进而根据垂径定理得出，连接，设，则，根据勾股定理得方程解答．【详解】解：连接，设，则，∵，∴，∵是的直径，弦，∴，在中，根据勾股定理得，，解得，即的长为10．故答案为：10．2．（2023上·江苏苏州·九年级苏州工业园区星湾学校校考期中）将半径为5的如图折叠，折痕长为6，C为折叠后的中点，则长为．【答案】3【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系和勾股定理．延长交于D点，交于E点，连接，如图根据圆心角、弧、弦的关系由得到，则可判断垂直平分，则，再利用勾股定理计算出，所以，然后利用C点和D点关于对称得到，最后计算即可．【详解】解：延长交于D点，交于E点，连接，如图，∵C为折叠后的中点，∴，∴，∵，∴垂直平分，∴，在中，，∴，∵沿折叠得到，垂直，∴C点和D点关于对称，∴，∴．故答案为：3．【考点二利用垂径定理求平行弦问题】例题：（2023秋·天津和平·九年级校考期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【答案】C【分析】过点作，为垂足，交与，连，，由，得到，根据垂径定理得，，再在中和在中分别利用勾股定理求出，，然后讨论：当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离．【详解】解：过点作，为垂足，交与，连，，如图，，，，，而，，，，在中，，；在中，，；当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离；所以与之间的距离为7或1．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用．【变式训练】1．（2023·全国·九年级专题练习）在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是．【答案】2或14【分析】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，

过点O作，垂足为F，交于点E，连接，∵，∴，∵，∴，∵，∴由勾股定理得：，，∴；②当弦与在圆心异侧时，如图，

过点O作于点E，反向延长交于点F，连接，同理，，，所以与之间的距离是2或14．故答案为：2或14．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．2．（2023春·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）的半径为13cm，AB、CD是的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．【答案】7cm或17cm．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝12−5＝7cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝OF＋OE＝17cm．∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．【考点三利用垂径定理求同心圆问题】例题：如图，已知的两条弦、分别与的同心圆交于点E、F、X、Y，，，，则的长度为．

【答案】5【分析】先设大圆半径为R，小圆半径为r，的长度为．连结、、、，然后过点分别作交于点，交于点，根据垂径定理和勾股定理，得，，即，则，同理得，则，即可作答．【详解】解：设大圆半径为R，小圆半径为r，的长度为．连结、、、，然后过点分别作交于点，交于点，如图所示：

由垂径定理可得，，在和，由勾股定理得，，即，则，那么，在和，由勾股定理得，，即，则，那么，因为，所以，解得，所以．故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，解出和是本题解题的关键，难度适中．【变式训练】1．如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为cm【答案】134【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答．【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32，∵OE⊥AB，∴AE=EB=100cm，在RT△OAE中，在RT△OCE中，，则解得：r=134．故答案为：134．【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．2．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．(1)求证：．(2)若，大圆的半径，求小圆的半径r．【答案】(1)证明见解析(2)小圆的半径r为【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论；（2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长；【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1，由垂径定理可得∴∴（2）解：连接，如图2，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得∴，即小圆的半径r为．【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．【考点四利用垂径定理求解其他问题】例题：如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，作线段、的垂直平分线，其交点即为圆心，根据点的坐标即可求得答案．【详解】如图所示，连接，作线段、的垂直平分线，其交点即为圆心．

∵点的坐标为，∴该圆弧所在圆的圆心坐标是．故选：C．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系、垂径定理的推论，牢记垂径定理的推论（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）是解题的关键．【变式训练】1．如图是一破损了的圆形零件的设计图，请你根据所学的有关知识将设计图恢复完整．

【答案】见解析【分析】在弧上任取三点，，，连接，，分别做，的中垂线交于点，以点O为圆心，长为半径作圆即可．【详解】解：如图即为所作的圆．

【点睛】本题考查了复杂作图及垂径定理，解决本题的关键是掌握：弦的垂直平分线经过圆心．2．已知：如图，是的直径，点C在上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）．

(1)如图①，若M是半圆的中点，且与C点在同侧，画出的平分线．并说明理由；(2)如图②，若，画出的平分线．【答案】(1)画图，理由见解析(2)画图见解析【分析】（1）作直径，作射线即可，理由见解析；（2）连接，交于点，作直线交于点，作射线即可，由可得，从而得出，从而得出，再由等腰三角形性质得出，推出，最后得出结论．【详解】（1）如图①，即为所求的平分线；

证明：∵M是半圆的中点，∴，∴直径直径，∴，∴，即平分．（2）如图2中，射线即为所求．

【点睛】本题考查作图复杂作图，角平分线的概念，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【考点五垂径定理的推论】例题：（2023·新疆喀什·统考二模）某公路隧道的截面为圆弧形，设圆弧所在圆的圆心为O，测得其同一水平线上A、B两点之间的距离为12米，拱高为4米，则的半径为米．【答案】【分析】连接，设的半径为R，利用垂径定理以及勾股定理求解即可．【详解】解：连接，设的半径为R，则，由题意得，，∴，在中，由勾股定理得，解得，则的半径为米．故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键．【变式训练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图是一位同学从照片上前切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起厘米．【答案】16【分析】连接，作于点D，交优弧于点C，利用垂径定理求得厘米．在中，利用勾股定理求得的长，据此求解即可．【详解】解：连接，作于点D，交优弧于点C，则厘米．由题意得厘米，在中，厘米，∴厘米，则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起16厘米．故答案为：16．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，利用垂径定理构造直角三角形是解题的关键．2．（2023春·江苏无锡·九年级校联考期末）《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，为的半径，弦，垂足为，寸，尺尺寸，则此圆材的直径长是寸．【答案】【分析】连接，依题意，得出，设半径为，则，在中，，解方程即可求解．【详解】解：如图所示，连接，∵，，，为的半径，∴，设半径为，则，在中，，∴，解得：，∴直径为，故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．【考点六垂径定理的实际应用】例题：（2023春·安徽亳州·九年级专题练习）如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据垂径定理及其推论判断即可．【详解】解：∵是的直径与弦交于点，，根据垂径定理及其推论可得，点B为劣弧的中点，点为优弧的中点，∴，，但不能证明，故选项说法错误，符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是垂径定理及其推论，解决本题的关键是熟练掌握垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．【变式训练】1．（2023春·九年级单元测试）下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③ B．①③ C．②④ D．①④【答案】D【详解】根据垂径定理及其推论进行判断．【解答】解：根据垂径定理，①正确；②错误．平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧；③错误．垂直于弦且平分弦的直线必过圆心；④正确．故选：D．【点评】注意概念性质的语言叙述，有时是专门来混淆是非的，只是一字之差，所以学生一定要养成认真仔细的习惯．2．已知一座圆弧形拱桥，圆心为点O，桥下水面宽度为，过O作于点D，．

(1)求该圆弧形拱桥的半径；(2)现有一艘宽，船舱顶部高出水面的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形），请问，该货船能顺利通过吗？【答案】(1)(2)可以顺利通过，见解析【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，利用半弦，半径和弦心距构造直角三角形，根据直角三角形中的勾股定理作为相等关系解方程求线段的长度是解决问题的关键．【详解】（1）解：∵，∴，连接，设，得：解得：，∴圆弧形拱桥的半径为；（2）∵，，∴，且，

∴，.连接，则，

∴，即：，∴该货船可以顺利通过．【过关检测】一、单选题1．（2023上·江苏盐城·九年级统考期中）如图，是的弦，半径，垂足为D，设的半径为5，，则的长为（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，再求出，根据勾股定理得出，最后根据垂径定理即可得出．【详解】解：连接，∵，，∴，∵，∴，∴，故选：B．2．（2023上·广西南宁·九年级南宁市第四十七中学校联考阶段练习）如图，点在上，直径于点，下列结论中不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查的是垂径定理．由题意可知为垂直于弦的直径，根据垂径定理即可做出正确的判断．【详解】解：根据为的直径，且，垂足为，则是垂直于弦的直径，满足垂径定理．所以是的垂直平分线，因而，，，都是正确的．所以选项B、不一定成立．故选：B．3．（2023上·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考阶段练习）已知，为中的两条弦，．若，，的直径为，则与之间距离为（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】本题考查了垂径定理：“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧”．也考查了勾股定理．连接，，过圆心作直线于，交于，由，根据垂径定理得到，，再根据勾股定理可计算出，，然后分类讨论：当和在圆心的同侧时，则；②当和在圆心的两侧时，则．【详解】如图所示，连接，，过圆心作直线于，交于，，，的直径为，，，，，，由勾股定理可得：，，①当和在圆心的同侧时，则；②当和在圆心的两侧时，则．则与间的距离为或．故选：C．4．（2013·重庆·统考二模）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（）cmA．5 B．4 C． D．【答案】D【详解】解：O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点，C点是AB的中点，即AC=BC==6；并且OC⊥AB，在中，由勾股定理得，所以；AO=8cm，所以，所以OC=故选：【点睛】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟悉勾股定理的内容.5．（2023上·浙江杭州·九年级杭州市丰潭中学校考期中）杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥，桥面呈拱形．该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥，此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长），拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）约为，则此桥拱的半径是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．设圆心为，作于点，的延长线交圆弧为点，设半径为，根据垂径定理得，，由勾股定理得：，即可求出答案．【详解】解：如图，设圆心为，作于点，的延长线交圆弧为点，则为优弧的中点，设半径为，，，，由勾股定理得：，，解得：，故选：B．二、填空题6．（2023上·福建莆田·九年级校考期中）如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为

【答案】4【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是：根据垂径定理的推论得，再根据勾股定理得，即可求出答案．【详解】解：，，在中，，，．故答案为：4．7．（2023上·江苏扬州·九年级统考阶段练习）把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是．【答案】/度【分析】过O作半径于点F，连，由垂径定理得到，则有，再根据题意证明为等边三角形，得到，则，的度数可求．【详解】解：过O作半径于点F，连，∴，∴，∴垂直平分，∴，又∵，∴为等边三角形，∴，∴，则的度数是，故答案为：【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的性质、垂径定理、等边三角形的性质和判定，及轴对称图形的性质，熟练根据垂径定理作辅助线得到等边三角形是关键．8．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为1寸，锯长为10寸，则圆材的半径为寸．【答案】13【分析】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．设圆材的圆心为，延长，交于点，连接，由题意知过点，且，设圆形木材半径为，可知寸，寸，根据列方程求解可得．【详解】解：设圆材的圆心为，延长，交于点，连接，如图所示：由题意知：过点，且，则，设圆形木材半径为寸，则寸，寸，∵，∴，解得：，∴的半径为13寸，故答案为：13．9．（2023上·全国·九年级专题练习）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为cm．【答案】2或14【分析】作于E，延长交于F，连接、，如图，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点O在与之间时，；当点O不在与之间时，．【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图

∵，，∴，∴，，在中，，在中，，当点O在与之间时，如图1，，当点O不在与之间时，如图2，，故答案为：2或14．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．10．（2023上·浙江金华·九年级校联考期中）图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去（如图2），它可以近似看作割去两个弓形后余下的部分与矩形组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中；从侧面看，它是扁平的，厚度为，已知的半径为，，香水瓶的高度为，现用一张矩形硬纸板做成如图3所示的香水瓶包装盒，则这个香水瓶包装盒的表面积是【答案】6【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，长方体表面积的计算，作于，延长交于，连接、，根据垂径定理求出、，解直角三角形求出，，根据即可解决问题，再求出长方体的长宽高，利用长方体表面积公式求出答案即可．【详解】解：如图，作于，延长交于，连接、．，，，，，，，∴香水瓶的高度为；根据题意可知长方体盒子的长为，宽为，高为，∴该这个香水瓶包装盒的表面积是，故答案为：2；．三、解答题11．（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，且经过弦的中点，已知，，则的长的长度．

【答案】【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、余弦的定义，连接，由垂径定理可得，由余弦的定义计算出，由勾股定理可得，设，则，由勾股定理可得，求解即可得出答案，熟练掌握垂径定理、勾股定理、余弦的定义，是解此题的关键．【详解】解：如图，连接，

，是的直径，且经过弦的中点，，，，，，，设，则，，，解得：，．12．（2023上·江苏苏州·九年级苏州高新区第二中学校考阶段练习）如图，在中，，以点O为圆心，为半径的圆交于点C，交于点D．(1)若，则弧的度数为______．(2)若，，求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）连接，利用三角形的内角和定理求出，再利用等腰三角形的性质求出可求解．（2）作于，利用面积法求出，再利用勾股定理求出，利用垂径定理即可解决问题．【详解】（1）解：连接．，，，，，，弧的度数为，（2）如图，作于．在中，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，弧与圆心角的关系，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．（2023上·湖北黄冈·九年级统考期中）某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．

(1)求该圆弧所在圆的半径；(2)在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点）1米处将竖立支撑杆，求支撑杆的高度．【答案】(1)该圆弧所在圆的半径为5米(2)支撑杆的高度为1米【分析】此题考查了矩形判定和性质、勾股定理、垂径定理的应用：（1）根据垂径定理的推论得到圆心在的延长线上，设的半径为米，则米．由垂径定理得到米．在中，由勾股定理得，得到方程，解方程即可求出该圆弧所在圆的半径；（2）过点作于点，连，先求出，证明四边形为矩形，则．在中，，求出．根据四边形为矩形即可得到答案．【详解】（1）垂直平分，圆心在的延长线上．设的半径为米，则米．，（米）．在中，由勾股定理得：，即，解得．即该圆弧所在圆的半径为5米；（2）过点作于点，连接．

，．∵，∴四边形为矩形，，在中，．，．．即支撑杆的高度为1米．14．（2023上·北京·九年级期末）如图，内接于，是的直径，，垂足为D．(1)求证：；(2)已知的半径为5，，求长．【答案】(1)见解析(2)8【分析】（1）由垂径定理，得到，进而得到，三线合一，得到，等边对等角，得到，即可得出；（2）先求出的长，勾股定理求出的长，垂径定理得到即可．【详解】（1）证明：∵是的直径，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）∵的半径为5，，∴，∵，∴，∵是的直径，，∴．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，中垂线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理，是解题的关键．15．（2023上·江苏徐州·九年级统考期中）在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点．

(1)与相等吗？为什么？(2)若大圆、小圆的半径分别为13和7，，求的长．【答案】(1)与相等，理由见解析(2)【分析】（1）过点O作于点E，根据垂径定理可得，即可；（2）连接，则，分别在和中，根据勾股定理求出，即可．【详解】（1）解：与相等，理由如下：如图，过点O作于点E，

∵点O为两个同心圆的圆心，∴，∴，∴；（2）解：如图，连接，则，

由（1）得：，，在中，，在中，，∴．16．（2023上·江苏苏州·九年级苏州市胥江实验中学校校联考阶段练习）如图，中，，以为直径作，分别交，于点，，过点作，交于点，垂足为，连接．(1)若，求的度数；(2)若，，求弦的长．【答案】(1)(2)24【分析】本题考查了垂径定理，掌握定理并灵活运用是解题的关键，（1）根据等腰三角形的性质可得，进而求出，根据垂径定理可得，从而求出的度数；（2）连接，已知，则，则，已知，则，在中利用勾股定理求出，即可求出．【详解】（1）解：，，，，，，，，，，；（2）连接，，，，，，，，，，在中，，，即弦的长为24．17．（2023上·河北石家庄·九年级校联考期中）如图，是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底藏线，弦是水位线，米，于点E，此时测得．(1)求的长；(2)如图，阴影矩形是漂浮的箱子移出水面的截面图，若其长为10米，高为2米，当点E恰在中点时，①画出半圆O最高点H，并直接写出点H到线段的距离；②若该箱子随水面上升1米，请判断此木箱能否通过该桥洞