部编数学九年级上册专项训练：弧、弦、圆心角（巩固篇）

专题24.9弧'弦'圆心角（巩固篇）（专项练习）

一、单选题

类型一、圆心角概念

1.已知下列命题：

①长度相等的两条弧所对的圆心角相等.

②直径是圆的最长的弦，也是圆的对称轴.

③平分弦的直径垂直于这条弦.

④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等.

其中错误命题的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.已知A/BC内接于OO,若乙4。3=120。，则NC的度数是（）

A.60°B.120°C.60°或120°D.30°或150°

3.如图，N2为O。的直径，弦CDL42于点E,连接NC,OC,OD,若乙4=20。，则

乙COD的度数为（）

A.40°B.60°C.80°D.100°

类型二、圆心角与它所对弧的度数

4.如图，已知△NBC是圆。的内接二角形，AB=AC,乙4c5=65。，点C是弧8。的中

D.20°

5.如图，扇形/O2中，4405=90。，半径Q4=6,C是油的中点，CDHOA,交AB

于点D,则CD的长为（）

A.2V2-2B.V2C.2D.672-6

6.如图，已知eO的半径为5,弦AB,CD所对的圆心角分别是NAOB,ZCOD,若ZAOB

与/COD互补，弦4B=8,则弦CD的长为（）

A.6B.8C.572D.5

类型三'用弧、弦、圆心角关系求解

7.如图，在以为直径的OO中，点C为圆上的一点，2C=2%C，弦于

点、E,弦AF交CE于点H,交于点G,若点”是NG的中点，则/CAF的度数为（）

A.18°B.21°C.22.5°D.30°

8.如图，在O。中，是的直径，/8=10,%C=&»=Fg，点E是点。关于

N8的对称点，M是上的一动点，下列结论：①4BOE=3Q°；②乙DOB=2乙CED；

③DMLCE；④cmzw的最小值是10,上述结论中正确的个数是（）

A.IB.2C.3D.4

9.如图，O。的半径为9cm,48是弦，0C1/5于点C,将劣弧沿弦45折叠交于

0c的中点。，则的长为（）

类型四'用弧'弦、圆心角关系证明

10.有一直径为22的圆，且圆上有C、D、E、尸四点，其位置如图所示.若

AC=6,AD=8,AE-5,AF=9,AB=10,则下列弧长关系何者正确？()

A.1。+乳=，8，就+1/=岫B.1。+和=知，岫+即〃8

c.1C+】Z）H，B，，E+1F=，BD.+1E+%F

11.在锐角V48c中,ZACB=60°,aIC、ZABC的角平分线N。、BE交于点、M,则

下列结论中错误的是（）

A.ZAMB=120°B.ME=MD

C.AE+BD=ABD.点〃关于/C的对称点一定在V4BC的外接圆上

12.如图，AB、CD分别是。。的直径，连接BC、BD,如果弦DE〃/3,且NCD£=

62°,则下列结论错误的是（)

A.CBLBDB.Z_CR4=31°C.RC=^ED.BD=DE

二、填空题

类型一、圆心角概念

13.在OO中，A5是直径，AB=2,C是23上一点，D、E分别是为C、的中点,

M是弦的中点，则CM的取值范围是.

14.把一个圆分成4个扇形，它们分别占整个圆的10%,20%,30%,40%,那么这四

个扇形的圆心角分别是.

15.已知点A、B、C、。在圆。上，且尸。切圆。于点。，OE_LCD于点£,对于下

列说法：①圆上瓢8是优弧；②圆上抽。是优弧；③线段NC是弦；④NC/。和N4O尸

都是圆周角；⑤/CQ4是圆心角，其中正确的说法是.

b

类型二'圆心角与它所对弧的度数

16.如图，在以AB为直径的半圆中，夕。=即，CD1AB,EF1AB,CD=CF=1,则以

AC和BC的长为两根的一元二次方程是

17.已知半径为2的。0中，弦AC=2,弦AD=20,则NAOD=,zCOD=

18.如图，43是eO的直径，弦连接CO并延长交eO于点£,连接2。交CE

于点F,若NDBE=32°,则N。相的度数是.

类型三'用弧、弦、圆心角关系求解

19.如图，点4B、C、。均在eO上，若//。〃=65。，AO//DC,则乙8的度数为

20.如图，点/、B、C、D、E都是圆。上的点，4c=2E，乙8=116。，则乙D的度数

为

21.如图，。。的直径48过功的中点4,若NC=30。，AB、CD交于点E,连接ZC、

BD,

类型四、用弧、弦、圆心角关系证明

22.如图，AB、CE是圆。的直径，且/8=4,弧弧。=弧/(7,点/是上

一动点，下列结论：正确的数是—(写出所有正确结论的序号)

①乙CED=g乙BOD；

②DMLCE；

@CM+DM的最小值为4；

④设O河为x,则

23.在同一个圆中，当圆心角不超过180。时，圆心角越大，所对的弧;所对的弦

,所对弦的弦心距.

24.如图，48是。。的直径，CO是弦，若乙42c=63。，贝吐。的度数是

25.如图是半径为2的圆，

(1)在其中画两个不重叠的扇形AOB和扇形BOC,使扇形AOB的圆心角为120度,

扇形BOC的圆心角为90度，

(2)求第三个扇形AOC的面积.

26.如图，AB是。0的一条弦，OD1AB,垂足为C,交OO于点D,点E在。0

上.

(1)若NAOD=52。，求NDEB的度数；

(2)若AB=24,CD=8,求的半径长.

27.阅读与应用

请阅读下列材料，完成相应的任务:

托勒密是'地心说”的集大成者，著名的天文学家、地理学家、占星学家和光学家.后人

从托勒密的书中发现一个命题：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积.下面是对这

个命题的证明过程.

如图1,四边形N5CD内接于e。.

图1

求证：AB-DC+AD-BC=AC-BD.

证明：如图2,作NBAE=NCAD交BD于点、E.

D

A

图2

.:况D=^D，・.・/4BE=ZACD.（依据）

ABBE

・•・△ABEs^CD..•・一=——.AB•DC=AC•BE.

ACCD

・・・/\ABCS/\4ED.

ACBC

——=—.AD•BC=AC•ED.

ADED

AB•DC=AC•BE,

AB•DC+AD,BC=AC•BE+AC,ED=AC（BE+ED）=AC•BD.

・•.ABDC+ADBC=ACBD.

任务:

(1)证明过程中的“依据”是一

(2)补全证明过程;

⑶如图3,eO的内接五边形的边长都为2,求对角线5。的长.

A

28.如图，在。。中，弦45,CZ)互相垂直，垂足为尸是2。上的一点，且

BF=Be，/尸分别与a>,8。相交于点E,N,连接ED,MN.

(1)求证：DE=DF；

(2)若O。的半径为8,乙BAF=22.5°,求线段AW的长.

参考答案

1.D

【分析】

根据圆心角定理、直径的性质、垂径定理、圆周角定理逐个判断即可.

解：等弧所对的圆心角相等，但长度相等的两条弧不一定是等弧，则命题①错误

直径是圆的最长的弦，但不是圆的对称轴，圆的对称轴是直径所在直线，则命题②

错误

平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，则命题③错误

在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，则命题④错误

综上，错误命题的个数为4个

故选：D.

【点拨】本题考查了圆心角定理、直径的性质、垂径定理、圆周角定理，熟记各定理是

解题关键.

2.C

【分析】

根据圆周角定理可以得出同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，此时分两种情况进一步

分析讨论即可.

解：①当点C与线段AB位于圆心的两侧时，

ZC=1ZAOB=60°；

②当点C与线段AB位于同侧时，与上一种情况所得的度数互补；

即此时的NC=120。.

故选：C.

【点拨】本题主要考查了圆周角定理的应用，熟练掌握相关概念是解题关键.

3.C

【分析】

利用圆周角与圆心角的关系得出NCOB=40。，再根据垂径定理进一步可得出

ZDOB=ZCOB,最后即可得出答案.

解：•.4=20°,

••.ZCOB=2ZA=40°,

•••CD1AB,OC=OD,

.-.ZDOB=ZCOB=40°,

.­.ZCOD=ZDOB+ZCOB=80°.

故选：C.

【点拨】本题主要考查了圆周角、圆心角与垂径定理的综合运用，熟练掌握相关概念是

解题关键.

4.B

【分析】

如图，连接AO,BO,CO,DO,由等腰三角形的性质可求ZABC=NACB=65。，ZBAC

=50。，由圆周角定理可求NAOC=2NABC=130。，NBOC=2NBAC=100。，可求NAOD=

30°,即可求解.

解：如图，连接AO,BO,CO,DO,

•；AB=AC,ZACB=65°,

・•.ZABC=NACB=65°,

.­.ZBAC=5O°,

•••ZAOC=2ZABC=130°,zBOC=2zBAC=100°,

•・•点C是弧BD的中点，

•,•2C=红），

.•ZBOC=NCOD=100°,

.••ZAOD=30°,

•••ZAOD=2ZACD,

.­•ZACD=15°,

故选：B.

【点拨】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角、圆心角、弧的关系是解题的关

键.

5.D

【分析】

连接OC,延长CD交OB于点E,如图，易得ziAOB、△COE、ZkBDE都是等腰直角三

角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出CE与DE的长，从而可得答案.

解：连接OC,延长CD交OB于点E,如图，

・・・NAOB=90。,。是45的中点，

.-.ZCOE=45°,

-CD//OA,ZAOB=90°,

.-.CE1OB,

.-.ZOCE=ZCOE=45°,

BF)

：,CE=OE=—OC=—x6=3后，

22

•*«BE=OB-OE=6—3A/2，

vOA=OB,ZAOB=90°f

.-.ZABO=45°,

/.ZBDE=ZABO=45°,

•••EB=ED=6-35/2f

・•.CD=CE-DE=3>/2-(6-3A/2)=672-6.

故选：D.

【点拨】本题考查了圆心角和弧的关系、等腰直角三角形的判定和性质等知识，属于常

考题型，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解此题的关键.

6.A

【分析】

延长AO交。0于点E,连接BE,由4AOB+4BOE=4AOB+4cOD知4BOE=NCOD,

据此可得BE=CD,在RtAABE中利用勾股定理求解可得.

解：如图，延长A0交于点E,连接BE,

则NAOB+NBOE=180。，

又•••NAOB+NCOD=180°,

•­•zBOE=zCOD,

.-.BE=CD,

・•・AE为OO的直径，则AE=10,

.­•ZABE=90°,

■-C^>=y/AE2-AB2=V102-82=6；

故选择：A.

【点拨】本题主要考查圆心角定理，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理.

7.D

【分析】

由圆周角定理可求41CB=9O。，由弧的关系得出角的关系，进而可求々8C=30。，

乙CAB=60°,由直角三角形的性质可求乙4CE=30。，即可求解.

解：•・•/8是直径，

.■.zJC5=90°,

.■■^ABC+ACAB=90°,

BC=，

；/CAB=2UBC,

.48C=30°,ZC45=6O°,

­■■CDLAB,

“EC=90。，

.­.AACE=30°,

•••点〃是4G的中点，乙4cB=90。，

■■.AH=CH=HG,

；/CAH=UCE=3Q°,

:4CAF=4CBF,

."88=30。，

故选：D.

【点拨】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出

乙CAB的度数是本题的关键.

8.B

【分析】

根据=班=加和点E是点D关于AB的对称点，求出〃)08=4。0。=必。£=60。,

求出NCED,即可判断①②；根据圆周角定理求出当M和/重合时5©£=60。即可判断③;

求出M点的位置，根据圆周角定理得出此时。尸是直径，即可求出。尸长，即可判断④.

解：,•・为？=5。=刃B，点E是点。关于的对称点，

®D=®E，

：./-DOB=/-BOE=LCOD=Ix180°=60°,①错误；

/.CED=^/.COD=^X60°=30°=|ZDOB,即N£>O3=2NC£Z)；.,•②正确；

••・西£的度数是60°,

.•.，E的度数是120°,

只有当“和力重合时，zA®£=60。，

"CED=3Q°,

二只有〃和/重合时，DH1CE,.•.③错误；

作C关于AB的对称点F,连接CF,交AB于N,连接DF交4B于M,此时CM+DM

的值最短，等于。尸长,

连接CD,

=，并且弧的度数都是60。，

11

.­.z£>=-xl20°=60°,Z.C^7)=-x60°=30°,

22

；/FCD=l80o-60°-30o=90°,

・•.D尸是O。的直径，

即DF=AB=IO,

.,.CAaOM■的最小值是10,.•.④正确；

综上所述，正确的个数是2个.

故选：B.

【点拨】本题考查了圆周角定理，轴对称-最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理

求出各个角的度数和求出M的位置是解此题的关键.

9.D

【分析】

圆周角定理；翻折变换(折叠问题)；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；

连接04,求出OC,根据勾股定理求出ZC,可得结论.

解：连接。4,

•••将劣弧沿弦AB折叠交于。。的中点。，

2

.■.OC=-r=6(cm),OC1AB,

3

-'-AC=CB=QJ42—OC2=-\/92-62=3y/5(cm),

■■.AB=2AC=6y[5(cm),

故选：D.

【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是学会添加常用辅

助线，构造直角三角形解决问题.

10.B

【分析】

连接AD,BF,先求解/C=AD=6,可得】。=肋，1。+加)=48，再求解

BF=屈,可得，£*］尸，*E+，Fw，B，从而可得答案.

-.■AC=6,

AC=BD,

，c=，

••，C+=，B,

CM3直径，48=10,AF=9,

:.ZAFB=90°,BF=419,

•1•AE=5,

…，E*)

%E+，F/，B，

所以B符合题意，

故选：B.

【点拨】本题主要考查了圆中弧、弦的关系和直径所对的圆周角是直角，熟练掌握相关

定理是解答本题的关键.

11.D

【分析】

利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出AMAB+AMBA=6Q°,推出A4Affi=120°,

可判断A,证明C,E,M,。四点共圆，利用圆周角定理可判断B；在48上取一点T,使

得4r=4E,利用全等三角形的性质证明可判断C；无法判断B河屿乙48c互补,

可判断D.

解：如图,

■■AACB=60°,.-.Z.CAB+^CBA=nO0,

"AD,3E分别是NC/B,NCA4的角平分线，

：.Z.MAB+/-MBA=^-(乙CAB+乙CBA)=60°,

：.Z-AMB=\^°-(”AB+"BA)=120°,故A符合题意,

■■■AEMD=AAMB=nO°,

.■■/.EMD+/J：CD=l80°,

■■C,E,M,。四点共圆，

■：Z.MCE=Z.MCD,

胸=的,

■■.EM=DM,故B符合题意，

•••四边形CEMZ)是e。的内接四边形，

\SAME=GACB=60°=QBMD,

在上取一点7,彳吏得4T=4E,

!.AE=AT

在"ME^\LAMT中，=£)MAT,

\AM=AM

:2MEm"MT(SAS),

：.Z.AME=Z-AMT=60°,EM=MT,

：.ABMD=^BMT=6Q°,MT=MD,

].MD=MT

在LBMD和&BMT中，\^BMD=GBMT,

\BM=BM

・•.LBMD=LBMT,

：.BD=BT,

；.AB=AT+TB=AE+BD,故C符合题意，

■：M,AT关于NC对称，:.DMJ/-AMC,

-.SAMC=180°-^(QCAB+EUCB)

=180°-1(180°-0^5C)

=90°+1ZJSC,

:.BMC与UBC不一定互补，

・••点AT不一定在△NBC的外接圆上，故D不符合题意，

故选D.

【点拨】本题考查三角形的外接圆，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定和性质

等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

12.D

【分析】

根据直径所对的圆周角是直角，即可判断A,根据圆周角定理可判断B选项，根据圆

周角与弧的关系可判断C,根据/CDEw/CD2判断D选项.

解：•••48、CZ)分别是。。的直径,

ZCBD=90°,

■■CB1BD,

故A选项正确，

如图，连接3E,

•••DE//AB,且NC£>£=62。,

ZBOD=ZCDE=62°,

:"BCD=L/BOD=31。,

2

QOC=OB,

:.ZCBO=ZBCO=3\0,

ZAOC=62°,

•••NCBE=NCDE=62°,

:.ZABC=ZABE=31°,

%C=，

故B,C选项正确，

•••ZBCD=31。,ZCBD=90°,

NBDC=59°,

ZCDE=62°,

ZCDE*NCDB,

:.BD#DE,故D选项不正确,

故选D.

【点拨】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的

关键.

13.1-^2L<CM<—

22

【分析】

如图，连接OC、OE,先计算出NDOC+4cOE=90。，则可判断△<?£>£为等腰直角

三角形，所以DE=6OD=6,则。"=二。£=注；由C点在弧DE上，贝IJOWNC(W<

45°,根据三角形的性质，NCOM越大，CM越长，当。、M、C共线时CM最小，C在点/

或点B时CW最长，即OC-OMWCMVME；

解：如图，连接。。、OC,

­■AB为直径，

.,.乙4OC+MOC=180°,

•：D、E分别是为C、DC的中点，

；.乙4OD=<OD,乙COE=LBOE,

:.乙DOC+乙COE=；"OC+Z5OC)=90°,

.■.AODE为等腰直角三角形，

：.DE=V2OD=V2,

是弦。E的中点，

：.OM=-DE=~,

22

•；C点在弧OE上，••.OWNCOAf<45。，

△OMC中，OM,OC的长度确定，.zaw越大，CM越长，

;。、C、〃•共线时CM最小，C在点/或点8时CM最长；

历

■■CM>1--,

2

当C点在/点或2点时，CM=旺,

2

・•.CM的取值范围是1-丝3CM〈叵.

22

【点拨】本题考查了圆心角的概念，三角形的三边关系；根据三角形的性质判断CW的

长度是解题关键.

14.36°,72°,108°,144°

【分析】

根据扇形所占的百分比乘以360。进行解答即可.

解：四个扇形的圆心角分别是360°xl0%=36°；

360°x20%=72°；

360°x30%=108°；

360°x40%=144°.

故答案为36。，72°,108°,144°.

【点拨】考查了扇形圆心角的度数问题，注意周角的度数是360。.

15.①②③⑤

【分析】

根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可

解：现B，瓢D都是大于半圆的弧，故①②正确，

在圆上，则线段NC是弦；故③正确；

:C,4。都在圆上，

NC4D是圆周角

而尸点不在圆上，则/不是圆周角

故④不正确；

:。是圆心，C,4在圆上

/.COA是圆心角

故⑤正确

故正确的有：①②③⑤

故答案为：①②③⑤

【点拨】本题考查了优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义，理解定义

是解题的关键.优弧是大于半圆的弧，任意圆上两点的连线是弦，顶点在圆上，并且两边都

和圆相交的角叫做圆周角，顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角.

16.x1-V5x+1=0

【分析】

连接OD,OE,因为即，根据等弧所对的圆心角相等可得NDOC=NEOF,因为

CD1AB,EF1AB,所以NDCO=NEFO=90。，又因为DO==EO,所以RsDOORt/kEOF,所

以CO=OF=1,在RtADOC中，OD==手，所以A0=D0=^,AC=^^~,

BC=AB-AC=V5-I二L=4it1,所以以AC和BC的长为两根的一元二次方程是

22

■-苴二1)①叵*)=0,整理，得工2一7^+1=0.

22

VM=*B，

.*.zDOC=zEOF,

vCDlAB,EFlAB,

.-.ZDCO=ZEFO=90°,

又・.・DO=EO,

.,.RtADOC=RtAEOF,

.，CO=OF=1,

•.•在RtADOC中，OD=

•••AO=DO=^,AC=AO-CO=^-^,AB=2A0=5BC=AB-AC=V5-

V5+1

2

・•.以AC和BC的长为两根的一元二次方程是（先吏二1）（人吏上1）=0,整理，得

22

x~—\/~5x+1=0.

故答案为：x2-V5x+l=0.

【点拨】本题考查圆心角定理及其推论，全等三角形的判定与性质以及根与系数的关

系.此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用.

17.90°150°或30°

【分析】

如图，在中，根据勾股定理的逆定理即可求出乙40。的度数；连接OC,易得

△/OC是等边三角形，从而可得//OC=60。，进一步利用角的和差即可求出NC。。的度

数.

解：如图，在△NOD中，VOA2+OD2=22+22=8,AD2=（272V=8,

■■OA2+OD2=AD2,

，ZJOD=90°；

连接OC,,：OA=OC=AC=2,

：.AAOC是等边三角形，

ZAOC=60°.

：./。0£>=//0。+//0。=60°+90°=150°或/。0£)=//。£>-/NOC=90°—

60°=30°.

故答案为：90。；150。或30。.

【点拨】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理、等边三角形的判定与性质以及分类的

数学思想，依照题意画出图形、熟练掌握相关知识是解题的关键.

18.93°

【分析】

根据圆周角定理的推论，得NDCE=32。，由CD148结合三角形外角的性质，得NBOC

的度数，从而得NBDC的度数，进而即可求解.

解：・.ZDCE和NDBE是同弧所对的圆周角，

.-.ZDCE=ZDBE=32°,

■：CDLAB,

.­.ZBOC=90°+ZDCE=90°+32°=122°,

•­•ZBDC=yZBOC=1xl22°=61°,

ADFE=zDCE+zBDC=320+61°=930.

故答案是：93°.

【点拨】本题主要考查圆周角定理及其推论，三角形外角的性质，掌握“同弧或等弧所

对的圆周角相等“，“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，是解题的关键.

19.57.5°

【分析】

根据平行线的性质得出"DC=UOD=65。,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理

求出N0D4=NCM£)=g(180。--3)=57.5°,求出ZADC的度数，根据圆内接四边形的性

质得出乙8+乙4。。=180。，再求出答案即可.

山00=68°,AOWDC,

：.Z.ODC=Z-AOD=65°,

■■■^AOD=65°,OA=OD,

：.A.ODA=^OAD=^(180°-A4OZ»=57.5°,

•••乙4。。=4。。/+4。。。=57.5。+65。=122.5。，

••・四边形/BCD是。。的内接四边形，

."+乙4。。=180°,

."=57.5。，

故答案为:57.5°.

【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系,

等腰三角形的性质等知识点，能求出〃。C的度数是解此题的关键.

20.128

【分析】

连接ND首先证明乙4DC=ZADE,再利用圆内接四边形的性质求出乙4DC即可解决问

题.

解：连接/D

B,

D

,:无C=幺E，

：・UDC=UDE,

・"+乙400180。，

山。。=180。-116。=64。，

.•.zCZ)£=2x64°=128°,

故选：128.

【点拨】本题考查圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形等知识，解题的

关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

21.-

3

【分析】

根据已知条件得出艮4=30。，设DE=EC=x,由在直角三角形中，30。所对的

直角边等于斜边的一半可以得出AE和BE的长，然后代入要求的式子进行计算即可得出答

案.

解：的直径45过也的中点4

••克C=，

.，.DE=EC,

・MB是。。的直径，

・••乙BED=^CEA=9。。,

•・4=30。，

・・"C4=zZ)R4=30。，

设DE=EC=x,

••4=30。，

:・AE=立-x,

3

••ZDBA=3。。,

；.BE=

AE_旦_1

J3x

故答案为：—.

【点拨】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理，掌握在直角三角形中，

30。所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.

22.①③

【分析】

①由就）=红），可得乙COD=KBOD,据此根据圆周角定理即可得结论；

②由点〃■是直径上一动点，而CE的位置是确定的，因此加人CE不一定成立，可

得结论；

③由题意可得点D和点E关于AB对称，因此CM+DM的最小值是在点河和点。重合

时取到，即CE的长；

④过点C作CNVAO于点N,利用解直角三角形可求得CN,利用三角形面积公式求解

即可.

解：@-：BD=CD.

Z.CGD=乙BCD、

ZCED=-ZCOD,

2

ZCED=^ZBOD,故①正确；

②；点”是直径42上一动点，而CE确定，

.•・DW1CE不一定成立，故②错误；

BD=CD=AC'

NBOE=ZAOC=ZCOD=ZBOD=60°,4CED=3Q°,

.'.DELAB,

二点。和点£关于AB对称，

：.CM+DM的最小值是在点”和点。重合时取到，即CE的长，

■■■AB=4,

'-CE=AB=^,故③正确;

④连接4C,

"""

-：BD=CD=AC9

・•・乙。。/=60。，贝必/OC为等边三角形，边长为2,

过点C作CNLAO于N,贝!]CN=OC-sin6（r=2x^=石,

2

在ACOAf中，以（W为底，（W边上的高为CN,

：.S^C0M=^0M-CN=^xxy/3=^-x,故④错误；

综上，①③正确，

故答案为：①③.

【点拨】本题考查了圆周角定理，最小值问题，等边三角形判定和性质，三角形面积等

知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

23.越长越长越短

【分析】

根据圆心角定理解答即可.

解：在同一个圆中，当圆心角不超过180。时，圆心角越大，所对的弧越长，所对的弦越

长，所对弦的弦心距越短.

故答案为越长；越长；越短.

【点拨】本题考查了圆心角定理及其推理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.

24.27°

【分析】

根据题意易得乙4c8=90。，然后根据圆的性质及直角三角形的两个锐角互余可求解.

解：•.23是。。的直径，

山C3=90o,

.-.AA=90°-AABC=90°-63°=27°,

・•・△£>=44=27°.

故答案为27°.

【点拨】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键.

25.(1)作图见分析；(2)-71

3

试题分析：(1)根据扇形定义及题目要求画出即可；

2

(2)根据扇形的面积公式S=”计算即可.

360

解：(1)如图所示:

(2)•••ZAOB=120°,ZBOC=90°,

.•.Z.AOC=150°,

2

±,150x^-x25

故S扇形AOC=~~=彳»•

3603

26.(1)26°；(2)13

【分析】

(1)连接QB,结合ODLAB,根据垂径定理，推导得4AOD；再根据圆心角、圆周角

的性质，即可得到答案；

(2)结合题意，根据垂径定理性质,计算得AC；再结合OD1AB,通过勾股定理即可

计算得。0的半径.

解：⑴连接

3D

OD±AB

••・^D=BD

-ZAOC=ZBOD=52°

/DEB==/BOD

2

・•・NDEB=26°

(2)vOD1AB

：.AC=-AB=-x24=12

22

设。4=x,贝lJOC=x-8

在RM4CO中，X2=122+(X-8)2

•1•x=13

・•.eO的半径长为13.