2.1二次函数的定义（A卷基础巩固）-2021-2022学年九年级数学下册分层练习（基础巩固＋能力拓展北师大版）

2.1二次函数的定义学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A卷（基础巩固）一、单选题1．（2021·上杭县第三中学九年级月考）下列函数中，y是x的二次函数的是（）A．y=2x1 B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得答案．【详解】解：A、不是二次函数，故此选项不合题意；B、不是二次函数，故此选项不合题意；C、不是二次函数，故此选项不合题意；D、是二次函数，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．2．（2021·河南安阳市中考摸测）若函数是关于x的二次函数，则m的值是（）A．2 B．或3 C．3 D．【答案】C【分析】根据二次函数的定义条件列出方程与不等式即可得解．【详解】∵函数是关于x的二次函数，∴，且，由得，或，由得，，∴m的值是3，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的定义、解一元一次不等式、解一元二次方程等知识，解答本题的关键是根据二次函数的定义列出方程与不等式．3．（2021·浙江湖州九年级月考）在抛物线上的一个点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】将各个点的坐标代入抛物线解析式中，如等式成立，则点在抛物线上．【详解】A，(0,−4)的坐标代入抛物线解析式中,024×05≠4,A错误B，(2,0)的坐标代入抛物线解析式中，224×25≠0，B错误C，(1,0)的坐标代入抛物线解析式中，124×15≠0，C错误D，(1,0)的坐标代入抛物线解析式中，（1）24×（1）5=0，D正确故选：D【点睛】此题考查抛物线的解析式，将点的坐标一一代入抛物线解析式中，判断等式是否成立是解本题的关键．4．（2021·河北赵县九年级月考）对于y＝ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（）A．当b＝0时，y＝ax2+c是二次函数B．当c＝0时，y＝ax2+bx是二次函数C．当a＝0时，y＝bx+c是一次函数D．以上说法都不对【答案】D【分析】根据二次函数和一次函数的定义解答即可．【详解】解：A、当b＝0，a≠0时，y＝ax2+c是二次函数，故A选项错误；B、当c＝0，a≠0时，y＝ax2+bx是二次函数，故B选项错误；C、当a＝0，b≠0时，y＝bx+c是一次函数，故C选项错误；D、以上说法都不对，故此选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的定义，熟记各定义是解题的关键，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）是二次函数，形如y＝kx+b（k、b为常数且k≠0）是一次函数．5．下列函数关系中，是二次函数的是（）A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系D．半圆面积S与半径R之间的关系【答案】D【分析】根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可．【详解】A选项为，是一次函数，错误；B选项为不是二次函数，错误；C选项为，是正比例函数，错误；D选项为，是二次函数，正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．6．下列说法正确的是（）A．若a2＝b2，则a＝bB．sin45°+cos45°＝1C．代数式a2+4a+5的值可能为0D．函数y＝（a2+1）x2+bx+c﹣2b是二次函数【答案】D【分析】利用特殊角的三角函数值、配方法、非负数的性质性质以及偶次方、二次函数的定义解答即可．【详解】解：A、若a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，故选项错误；B、sin45°+cos45°＝+＝；C、代数式a2+4a+5＝（a+2）2+1＞0，故选项错误；D、∵a2+1≠0，∴函数y＝（a2+1）x2+bx+c﹣2b是二次函数，故选项正确．故答案D．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值、配方法的应用、非负数的性质、偶次方、二次函数的定义等知识点，灵活应用相关知识是解答本题的关键．7．（2021·成都都江堰市中考二诊）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加平方厘米，那么与之间满足的函数关系是（）A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数【答案】D【分析】根据题意列出增加的面积与原面积的关系式，即可解题．【详解】解：由题意得，与之间满足的函数关系是二次函数，故选：D．【点睛】本题考查列二次函数的表达式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8．（2021·天津市九年级期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（）A．y＝60（300+20x） B．y＝（60﹣x）（300+20x）C．y＝300（60﹣20x） D．y＝（60﹣x）（300﹣20x）【答案】B【分析】根据降价x元，则售价为元，销售量为件，由等量关系：总销售额=销量×售价，列出函数解析式即可．【详解】根据降价x元，则售价为元，销售量为件，

根据题意得，，

故选：B．【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握等量关系：总销售额=销量×售价，是解决本题的关键.二、填空题9．（2021·青海西宁九年级期末）已知函数是二次函数，则的取值范围是__________．【答案】【分析】根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案；【详解】解：∵函数是二次函数∴，解得：故答案为：【点睛】本题考查了二次函数，注意二次函数的二次项系数不能等于0．10．把y＝（2－3x）（6＋x）变成y＝ax²＋bx＋c的形式，二次项为____，一次项系数为______，常数项为______．【答案】－161211．（2020·苏州市九年级期中）二次函数的图象经过原点，则__________．【答案】3【分析】根据二次函数图象过原点，把代入解析式，求出m的值，还需要考虑二次项系数不能为零．【详解】解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式，得，整理得，解得，∵，∴，∴．故答案为：3．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，需要注意解出的解要满足二次项系数不能为零的隐藏条件．12．（2021·北京市九年级月考）若y＝（m﹣4）x|m|﹣2﹣2x﹣1是关于x的二次函数，则m＝___．【答案】﹣4【分析】直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．【详解】解：∵y＝（m﹣4）x|m|﹣2﹣2x﹣1是关于x的二次函数，∴|m|﹣2＝2，m﹣4≠0，解得：m＝﹣4．故答案为：﹣4．【点睛】本题考查了二次函数的定义．二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．13．（2021·上海松江九年级一模）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为____．【答案】【分析】首先表示出原边长为2厘米的正方形面积，再表示出边长增加x厘米后正方形的面积，再根据面积随之增加y平方厘米可列出方程．【详解】原边长为2厘米的正方形面积为：2×2＝4（平方厘米），边长增加x厘米后边长变为：x＋2，则面积为：（x＋2）2平方厘米，∴y＝（x＋2）2−4＝x2＋4x．故答案为：y＝x2＋4x．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正方形的面积．14．（2021·广东东莞市九年级月考）一个小球从水平面开始竖直向上发射，小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为，其图象如图所示．若小球在发射后第2s与第6s时的高度相等，则小球从发射到回到水平面共需时间________（s）．【答案】8【分析】根据题意可求得函数的对称轴，从而根据函数的对称性，可以解答本题．【详解】解：由题意可得，

的对称轴为直线，∴当x=4，h取得最大值，∴由函数的对称性可得：小球从发射到回到水平面共需时间.故答案为：8.【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．三、解答题15．（2021·安徽合肥市九年级月考）己知函数y=（m22）x2+（m+）x+8．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围.【答案】（1）；（2）且．【分析】（1）根据一次函数的定义知：二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，即可解决问题；

（2）根据二次函数的定义知：二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案，即可解决问题；【详解】（1）由题意得，，解得m=；（2）由题意得，m22≠0，解得m≠且m≠.【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念．16．如图，用一段长为20米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的长方形菜园ABCD，设AB为x米，则菜园的面积y（平方米）与x（米）的关系式为_____．（不要求写出自变量x的取值范围）【答案】y＝﹣2x2+20x【分析】根据AB的长为x米可以得出BC的长为（20﹣2x）米，然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式．【详解】∵AB的边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园，∴BC＝20﹣2x，∵菜园的面积＝AB×BC＝x•（20﹣2x），∴y＝﹣2x2+20x．故填空答案：y＝﹣2x2+20x．【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确分析，找准各量间的数量关系列出函数关系式是解题的关键.17．（2020·安徽庐阳九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D是边BC上异于B、C的一个动点，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E．（1）求△ABD∽△DCE；（2）设BD＝x，AE＝y，求y与x之间的函数关系式，并求x的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和三角形的外角，求出两组角相等便可证明两三角形相似；（2）利用△ABD∽△DCE，，BD＝x，AE＝y代入比例式，便可求出y关于x的函数表达式．【详解】（1）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝∠DAC+45°，∴∠DEC＝∠DAC+∠ADE＝∠DAC+45°，∴∠ADB＝∠DEC；∵∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE．（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴，由△ABD∽△DCE，∴，∵AB＝2，BD＝x，，代入得，，∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，列函数解析式，解题关键是掌握相似三角形的判定与性质．18．（2021·安徽太湖九年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点（点P不与A、D重合），PE⊥BP，PE交DC于点E．（1）求证：△ABP∽△DPE；（2）设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由．【答案