2024秋新教材高中数学课时跟踪检测二十八直线与直线垂直新人教A版必修第二册

PAGEPAGE5直线与直线垂直层级(一)“四基”落实练1．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱全部的棱中，和AC垂直且异面的直线有 ()A．1条 B．2条C．3条 D．4条解析：选B和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1，故选B.2.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()A．45° B．60°C．90° D．120°解析：选B取A1B1中点I，连接IG，IH，则EF∥IG.易知IG，IH，HG相等，则△HGI为等边三角形，所以IG与GH所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°.故选B.3．(多选)如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中成立的是 ()A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面解析：选ABC如图所示，连接A1B，易知点E为A1B的中点，由三角形中位线定理可得EF∥A1C1，则EF，A1C1确定一个平面；明显EF与CD异面；由几何关系可得A1C1⊥BB1，A1C1⊥BD，则EF⊥BB1，EF⊥BD.故选A、B、C.4.(多选)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是 ()A．直线CC1与直线B1E相交B．CC1与AE共面C．AE与B1C1是异面直线D．AE与B1C1垂直解析：选ACD因为CE∥B1C1且CE＝eq\f(1,2)B1C1，所以四边形CEB1C1为梯形．CC1与B1E必相交，A正确．由几何图形可知B错误，C正确．AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，D正确．故选A、C、D.5．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝eq\r(2)BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是()A．60° B．75°C．90° D．105°解析：选C设BB1＝1，如图，延长CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)．连接AC2，因为AB1＝eq\r(3)，B1C2＝eq\r(3)，AC2＝eq\r(6)，所以ACeq\o\al(2,2)＝ABeq\o\al(2,1)＋B1Ceq\o\al(2,2)，则∠AB1C2＝90°.6.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四边形，则PA与CD所成的角是________．解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠PAB是PA与CD所成的角．又∵PA⊥AB，∴∠PAB＝90°.答案：90°7.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于________．解析：如图，取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角．∴∠MPN＝90°.又∵PN＝eq\f(1,2)AC＝4，PM＝eq\f(1,2)BD＝3，∴MN＝5.答案：58.如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝2eq\r(3)，AD＝2eq\r(3)，AA′＝2.求：(1)BC和A′C′所成的角；(2)AA′和BC′所成的角．解：(1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2eq\r(3)，B′C′＝2eq\r(3)，所以∠B′C′A′＝45°.(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2eq\r(3)，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.层级(二)实力提升练1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，CD的中点为M，AA1的中点为N，则异面直线C1M与BN所成的角为 ()A．30° B．60°C．90° D．120°解析：选C如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，CD的中点为M，AA1的中点为N，取AB的中点P，连接B1P，则B1P∥C1M，易得B1P⊥BN，所以异面直线C1M与BN所成的角为90°.故选C.2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是 ()A．0°<θ<60° B．0°≤θ<60°C．0°≤θ≤60° D．0°<θ≤60°解析：选D如图，连接CD1，AC.因为CD1∥BA1，所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角，即θ＝∠D1CP.当点P从D1向A运动时，∠D1CP从0°增大到60°，但当点P与D1重合时，CP∥BA1，与CP与BA1为异面直线冲突，所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.3.如图，若正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AA1所成角的正弦值为________，异面直线BD1与AD所成角的正弦值是________．解析：∵AA1∥DD1，∴∠DD1B即为异面直线BD1与AA1所成的角．连接BD，在Rt△D1DB中，sin∠DD1B＝eq\f(DB,BD1)＝eq\f(2\r(2),2\r(6))＝eq\f(\r(3),3).∵AD∥BC，∴∠D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角(或其补角)．连接D1C，在△D1BC中，∵正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，∴D1B＝2eq\r(6)，BC＝2，D1C＝2eq\r(5)，D1B2＝BC2＋D1C2.∴∠D1CB＝90°.∴sin∠D1BC＝eq\f(D1C,D1B)＝eq\f(2\r(5),2\r(6))＝eq\f(\r(30),6)，故异面直线BD1与AD所成角的正弦值是eq\f(\r(30),6).答案：eq\f(\r(3),3)eq\f(\r(30),6)4.如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．解：因为D，E分别是VB，VC的中点，所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角．又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，于是∠ABC＝45°，故异面直线DE与AB所成的角为45°.5.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝eq\r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．解：取AC的中点F，连接EF和BF.在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，所以EF∥CD，∠FEB(或其补角)即为异面直线BE与CD所成的角．在Rt△ABC中，BC＝eq\r(2)，AB＝AC，∴AB＝AC＝1.在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)，∴BE＝eq\f(\r(5),2).在Rt△AEF中，AF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(1,2)，∴EF＝eq\f(\r(2),2).在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝eq\f(1,2)，∴BF＝eq\f(\r(5),2).在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝eq\f(\f(1,2)EF,BE)＝eq\f(\f(\r(2),4),\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(10),10)，所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为eq\f(\r(10),10).层级(三)素养培优练如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面ABCD是菱形且AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝120°，若异面直线A1B与AD1所成的角为90°，试求AA1.解：如图，连接CD1，AC.由题意得四棱柱ABCD­A1B1C1D1中A1D1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形．所以A1B∥CD1.所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角．因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，所以∠AD1C＝90°.易知△ACD1是等腰直角三角形，所以AD1＝eq\f(\r(2),2)AC.因为底面ABCD是菱形且AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝1