2025年高考数学复习之幂函数、指数函数、对数函数

2025年高考数学复习热搜题速递之幕函数、指数函数、对数函数（2024

年7月）

一.选择题（共10小题）

421

1.已知。=23,b=45,c=253,则()

A.b<~a<-cB.a<b<cC.b〈c〈aD.c<a〈b

2.设a=logo.20.3,Z?=log20.3,则()

A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<0<abD.ab<0<a+b

3.若a>b>0,0<c<l,贝ij()

A.log£zC<logZ>CB.logca<logcb

C.ac<bcD.ca>cb

4.设x、y、z为正数，且2%=3y=5z,则（)

A.2x<3y<5zB.5zV2xV3yC.3y<5z<2xD.3yV2xV5z

1

5.设”=log32,b=ln2,c=5-2,贝Ij()

A.a<~b<-cB.b〈c<aC.c〈a<bD.c〈b〈a

6.已知/(x5)=lgx,则/(2)=()

1

A.Ig2B./g32c.ig^D.-Ig2

a2

Ja-V^2

1573

A.a2B.a6C.a6D.a2

8.设Hog34=2,则4一"=()

1111

A.—B.-C.一D.-

16986

q

9.已知函数/(%)=%-4+二钉，xG(0,4),当x=a时，f(x)取得最小值b，则函数g（x）=眇+”的

图象为（）

A.B.

1

10.若在（/I,1）,a=lnx,b=（-）lnx,c=elnx,则（）

2

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b'>cD.b>a>c

二.填空题(共5小题)

—x+6,%V2

-(。>0且。/1)的值域是［4,+8),则实数〃的取值范围是_

{3+logax,x>2

12.若a=log43,贝!J2"+2'a=.

13.已知a>b>\,若logab+logz?Q=I，ab=ba,则a=,b=.

14.已知函数火龙)=炉。>°)是(-8,+8)上的增函数，那么实数。的取值范围是

15.已知ae{-2,-1,I，1,2,3},若哥函数无)=椁为奇函数，且在(0,+°0)上递减，则

a=.

三.解答题(共5小题)

16.已知定义域为R的函数/(久)=芸苧是奇函数.

(1)求a值；

(2)判断并证明该函数在定义域R上的单调性；

(3)若对任意的f6R,不等式/(於-2力+f(2?-A;)<0恒成立，求实数上的取值范围；

(4)设关于x的函数尸(%)=/(4工-6)-2.1)有零点，求实数6的取值范围.

17.已知函数/(x)=(3a/-4x+3,

(1)若。=7,求/(X)的单调区间；

(2)若/(无)有最大值3,求。的值.

(3)若无)的值域是(0,+8),求°的取值范围.

18.己知函数/(x)=1。曳舞的图象关于原点对称，其中a为常数.

(1)求4的值；

(2)当尤(1,+°°)时，f(x)+/ogi(x-1)V机恒成立，求实数机的取值范围;

2

(3)若关于尤的方程/(x)=logi(x+k)在［2,3］上有解，求左的取值范围.

2

19.己知函数/(x)=loga(1-x)+loga5+3)(0<a<l).

(1)求函数/(x)的定义域；

(2)求函数/(无)的零点；

(3)若函数无)的最小值为-4,求。的值.

20.已知函数/(x)=(a2-3a+3)/是指数函数.

(1)求/(尤)的解析式；

(2)判断函数/(x)=/(x)-f(-x)的奇偶性，并证明；

(3)解不等式logo(1-X)>10ga(X+2).

2025年高考数学复习热搜题速递之幕函数、指数函数、对数函数(2024

年7月)

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题)

421

1.已知〃=23,b=45,c=253,贝I]()

A.B.C.b<c<aD.c<a<b

【考点】募函数的单调性与最值.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用.

【答案】A

42212

【分析】。=23=4与，b=45,。=253=53,结合募函数的单调性，可比较a,b,c,进而得到答案.

42

【解答】解：：。=23=43,

2244

b=45=(22)5=25<23<a,

1224

c=253=53>43=23=a,

综上可得：b〈a〈c,

故选：A.

【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，塞函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难

度中档.

2.设〃=logo.20.3,Z?=log20.3,则()

A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<0<abD.

【考点】对数值大小的比较.

【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；数据分析.

【答案】B

【分析】法二、利用作商法，结合对数的运算性质分析得答案.

法一、直接利用对数的运算性质化简即可得答案.

a+b1111

【解答】解：法一、=logo.32+logo.30.2

abbalog20.3log020.3

=logo.3(2X0.2)=logo.30.4G(0,1),

且。=logo.20.3E(0,1),Z?=log20.3V0,

：.ab<0,可得a+6c0,结合0V党VI,

可得ab<a+b<0.

故选：B.

法二、•.•a=logo.20.3=^1,6=log20.3=

国0.3_匈0.3_匈0.3（仞5Tg2）_〃0.3城

a—lg2IgS—lg21gs~lg21gs'

-1n

_lgO3Zg0.3=-0.3也号

'—lg2IgS—Ig21gs'

lg0.3

,•*19>igq，---------<0,

lg21gs

ab<a+b<.0.

故选：B.

【点评】本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，是中档题.

3.若a>b>0,0<c<L则（）

A.10gaC<10gfeCB.10gc6!<10gc/？

C.ac<bcD.c0><?

【考点】对数值大小的比较.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用.

【答案】B

【分析】根据指数函数，对数函数，塞函数的单调性结合换底公式，逐一分析四个结论的真假，可得答

案.

【解答】解：：a>6>0,0<c<l,

.'.logca<logcZ?,故B正确；

.•.当。>6>1时，

0>logaC>logbC,故A错误；

ac>bc,故C错误；

ca<?,故。错误；

故选：B.

【点评】本题考查的知识点是指数函数，对数函数，塞函数的单调性，难度中档.

4.设x、y、z为正数，且2*=3，=52,则（）

A.2%V3y〈5zB.5zV2xV3yC.3y<5z<2xD.3yV2xV5z

【考点】对数值大小的比较.

【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】D

【分析】尤、y、z为正数，令2*=3〉=52=左>1.lgk>0.可得x=罂，y=黑，z=第.可得3y=暧1

igzigsigs'lg

2x=瞥，5z=4g.法一根据遮=遮>需=&，V2=1V32>1V25=Vs.即可得出大小关系.

W1g相

法二:x、y、z为正数,令2f=50>1.3>0.可得了=馈,产翳,z=患1=|x联="

>1,可得2x>3»同理可得5z>2x.

法三：令2x=3y=5z=Z>l,则2r=鹊，3y=鬻，5z=^（历左>0）,令于Qx）=,，利用导数可

得了（x）在（e,+8）上单调性，由此能推导出3y<2x<5z.

【解答】解法一：无、y、z为正数,

令#=3丫=52=左>1.lgk>0.

同X—幽V—妙Z—处

刻工_匈2,>一a3'Z一75,

,•3A碎'2xy5zy

VV3=V9>V8=V2,V2=1V32>1V25=V5.

：.^V3>ZgV2>^V5>0.

3y<2x<5z.

解法二：尤、y、z为正数,

令2*=3y=52=上>1.lgk>0.

milx—迹v—处z—处

Pix~lg2'y~lg3,Z~lg5-

2x2lg3lg9『

/.—=-x---=---->1,可得2x>3y,

3y3lg2lg8，

5z5lg2lg25

—=-X——=-->1.可得5z>2x.

2x2lg5lg52

综上可得：5z>2x>3y.

解法三：^2x=y=5z=k>i,

则2k鬻，3尸鬻，5A鬻（心0）,

令/(x)=—,则/(x)=上磬

X%乙

f（x）在（e,+8）上单调递减,

,V(3)>/(4)>/(5),

ln3ln2Zn5

—>—>—>0,

325

325

0<E3〈砸V后

3lnk2lnkSink

<-----<--(-历-左->0),

ln3ln2InS

3y<2x<5z.

故选：D.

【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于

中档题.

5.设a=log32,b—ln2,c-5-2,则()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

【考点】对数值大小的比较.

【专题】计算题；转化思想.

【答案】C

【分析】根据。的真数与b的真数相等可取倒数，使底数相同，找中间量1与之比较大小，便值。、氏

c的大小关系.

【解答】解：.=1咱2=卷，b=ln2=嬴,

而log23>log2^>L所以a<b,

c=52=—,而而>2=log24>log239

所以CVQ,综上cV“V。，

故选：C.

【点评】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公

式、不等式中的倒数法则的应用.

6.已知/(x5)=lgx,则/(2)=()

11

A.IglB.Ig32C.lgD.—lg2

【考点】对数的运算性质.

【专题】计算题；转化思想.

【答案】D

【分析】令小=2,得x=25,从而即可求得了(2)的值.

【解答】解：令无5=2,

得无=25,

'//(x5)—Igx,

11

."(2)=lg2S=^lg2.

故选：D.

【点评】本题主要考查函数值的求法，以及对数的运算，关键是从令2=2,求得x的值，从而即可求

得了(2)的值.

7.设a>0,将:表示成分数指数哥，其结果是(

A.a2B.afiC.afiD.a2

【考点】有理数指数幕及根式.

【专题】计算题.

【答案】C

【分析】由根式与分数指数累的互化规则所给的根式化简即可将其表示成分数指数塞，求得其结果选出

正确选项.

【解答】解:

故选：C.

【点评】本题考查根式与分数指数塞的互化及其化简运算，解题的关键是掌握并能熟练运用根式与分数

指数越互化的规则.

8.设alog34=2,贝!j4一"=()

1111

A.—B.-C.-D.-

16986

【考点】对数的运算性质.

【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】B

【分析】直接根据对数和指数的运算性质即可求出.

【解答】解:因为alog34=2,则log34"=2,贝!J4"=32=9

则4-。=%=热

故选：B.

【点评】本题考查了对数和指数的运算性质，属于基础题.

9.己知函数无)=尤-4+捺^,xe(0,4),当x=a时，f(x)取得最小值6,则函数g(x)=胪+目的

图象为()

【考点】指数函数的图象.

【专题】函数的性质及应用.

【答案】A

【分析】先根据基本不等式求出。，6的值，再结合指数函数的性质及函数的图象的平移可求

【解答】解：(0,4),

99

f(x)=x~4H—-j-y=x+lH——522/■,(%+1)—5—1,

Jx+1x+1\x+l1'J

当且仅当％=2时取等号，此时函数有最小值1

・・〃=2,Z?=l,

2X+1,x>-1

此时g（尤）=2tv+1|=

、8产，x<—1’

%>0

此函数可以看成函数y=的图象向左平移1个单位

令，%<0

结合指数函数的图象及选项可知A正确

故选：A.

【点评】本题主要考查了基本不等式在求解函数的最值中的应用，指数函数的图象及函数的平移的应用

是解答本题的关键

1

10.若％W(el1),a=lnx,b=(一)lnx,c=elnx,则()

2

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.b>a>c

【考点】有理数指数幕及根式；对数值大小的比较.

【专题】计算题.

【答案】B

【分析】依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得a<0,b>\,-<C<1,从而可得答案.

e

【解答】解：〈xE(el1),a—lnx

：.aE(-1,0),即aVO；

又>=&尸为减函数，

：.b=(》一>&产=(1)°=1,HPb>h

又c=e仇x=xW(e1,1),

:.b>c>a.

故选：B.

【点评】本题考查有理数指数累的化简求值，考查对数值大小的比较，掌握对数函数与指数函数的性质

是关键，属于中档题.

二.填空题(共5小题)

11.若函数/(x)=1"+6,久"2(々>0且。#i)的值域是［%+8),则实数。的取值范围是

13+logax,x>2

ZL.

【考点】对数函数的单调性与最值.

【专题】分类讨论；分类法；函数的性质及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】当尤W2时，检验满足了(尤)24.当尤>2时，分类讨论。的范围，依据函数的单调性，求得

。的范围，综合可得结论.

【解答】解：由于函数/G)=1—"+6,x-2Q>o且的值域是［4,+-),

13+logax,x>2

故当工42时，满足/(%)=6-x24.

①若a>l,f(x)=3+logor在它的定义域上单调递增，

当x>2时，由/(无)=3+log”24,.•.logcNl,：Aoga2^1,：.l<a^2.

②若0<a<l,/(x)=3+logd在它的定义域上单调递减，

f(x)=3+logd<3+loga2<3,不满足>=)的值域是[4,+8).

综上可得，l<aW2,

故答案为：(1,2],

【点评】本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于中档题.

4V3

12.右。=log43,则2"+2a——^―.

【考点】对数的运算性质.

【专题】函数的性质及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】直接把。代入2a+2工，然后利用对数的运算性质得答案.

【解答】解：：a=10g43,可知4。=3,

即2。=V3,

所以2。+2一。=遍+吃=隼.

V3J

故答案为：誓.

【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题.

13.己知。>6>1,若logab+logw?=擀，ab—ba,则a=4,b=2.

【考点】对数的运算性质.

【专题】计算题；整体思想；换元法；函数的性质及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】设r=logw并由条件求出t的范围，代入log^+logM=?化简后求出t的值，得至U。与6的关

系式代入小=〃化简后列出方程，求出。、6的值.

【解答】解：设f=logwz,由。>6>1知41,

代入log/+logbQ=2得t+1=2，

即2P-5什2=0,解得t=2或(舍去)，

所以logz?a=2,即a=b2,

因为力=〃，所以户6=〃，则〃=2匕=。2,

解得6=2,〃=4,

故答案为：4；2.

【点评】本题考查对数的运算性质，以及换元法在解方程中的应用，属于基础题.

14.已知函数/（X）=『0>°）是（一8,+8）上的增函数，那么实数。的取值范围是（1,

{ax+3a—8（%<0）

3L.

【考点】指数函数的单调性与最值.

【专题】函数的性质及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】由题意可得”>1且/23a-8,由此求得实数。的取值范围.

【解答】解：：函数/（久）=["（”>°）是（-8,+8）上的增函数，且/23a-8,

（ax+3cz-8（x<0）

解得l<aW3,故实数。的取值范围是（1,3],

故答案为（1,3].

【点评】本题主要考查指数函数的单调性的应用，得到且/23a-8,是解题的关键，属于中档

题.

15.已知呜-2,-1,1,2,3},若累函数无）=档为奇函数，且在（0,+8）上递减，则

a=-1.

【考点】求解暴函数的奇偶性.

【专题】计算题；方程思想；定义法；函数的性质及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】由累函数/（%）=行为奇函数，且在（0,+8）上递减，得到。是奇数，且。<0,由此能求

出a的值.

【解答】解：；ae{-2,-1,I，1,2,3},

哥函数y（x）=/为奇函数，且在（0,+8）上递减，

是奇数，且。<0,

・・〃=-1.

故答案为：-1.

【点评】本题考查实数值的求法，考查塞函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程

思想，是基础题.

三.解答题(共5小题)

16.已知定义域为R的函数/(*)=羌/是奇函数.

(1)求a值；

(2)判断并证明该函数在定义域R上的单调性；

(3)若对任意的怎R,不等式/(»-2力+于(2?-k)<0恒成立，求实数上的取值范围；

(4)设关于x的函数尸(尤)=f(4,-b)+f(-2x+1)有零点，求实数6的取值范围.

【考点】指数函数的单调性与最值；奇偶性与单调性的综合.

【专题】综合题.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据奇函数当x=0时的函数值为0,列出方程求出。的值；

(2)先判断出单调性，再利用函数单调性的定义法进行证明，即取值-作差-变形-判断符号-下结

论；

(3)利用函数的奇偶性将不等式转化为函数值比较大小，再由函数的单调性比较自变量的大小，列出

不等式由二次函数恒成立进行求解；

(4)根据函数解析式和函数零点的定义列出方程，再利用整体思想求出。的范围.

【解答】解：(1)由题设，需/(0)=匚卢=0,

1—2X

・・/(%)=]+2久，

经验证，/(x)为奇函数，：.a=l.

(2)减函数

证明：任取XI,X2GR,Xl<X2f/\x=X2-XI>0,

2寰1_2口_2(2叼-2,2)

xXX>

)-1+2合i+2l(1+21)(1+22)

：犬1<尤2；・0<2支1<2尢2；

.•.2%-2犯<0,(1+2%)(1+2型)>0

(X2)-/(XI)<0

...该函数在定义域R上是减函数.

(3)由/-20+f(2?-k)<0得f(t2-2t)<-f(2尸-k),

'：f(x)是奇函数，</(4-2产)，

由(2)知，f(x)是减函数

，原问题转化为?-2t>k-2?,即3?-2f-k>0对任意总R恒成立，

1

A=4+12左<0,得kV—弓即为所求.

(4)原函数零点的问题等价于方程f(4V-b)+f(-2户1)=0

由(3)知，4x-b^2x+1,即方程b="-2>1有解

.•.4£-2户1=(2*)2-2X2』(2、-1)2-12-1,.•.当g[-1,+8)时函数存在零点.

【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性的应用，利用奇函数的定义域内有0时有/(0)=0进行求

值，函数单调性的证明必须按照定义法进行证明，即取值-作差-变形-判断符号-下结论，利用二次

函数的性质，以及整体思想求出恒成立问题.

17.己知函数/(X)=(}a/-4x+3,

(1)若。=7,求/(X)的单调区间；

(2)若/(无)有最大值3,求。的值.

(3)若/(无)的值域是(0,+8),求°的取值范围.

【考点】指数函数综合题.

【专题】函数的性质及应用；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)当a=-1时，/(x)=(3-/-钮+3,令ga)=-/-4X+3,结合指数函数的单调性，

二次函数的单调性和复合函数的单调性，可得了(无)的单调区间；

(2)令h(x)=ar2-4x+3,y=h<x),由于/(光)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1,进而可得

a的值.

(3)由指数函数的性质知，要使的值域为(0,+8).应使%(x)_以+3的值域为R,

进而可得〃的取值范围.

【解答】解：(1)当。=-1时，/(x)=(1)-%2-4x+3,

令g(x)=-x2-4x+3,

由于g(%)在(-8,-2)上单调递增，在(-2,+8)上单调递减，

而尸(-)彳在R上单调递减，

3

所以了(%)在(-8,-2)上单调递减，在(-2,+8)上单调递增，

即函数/(%)的递增区间是(-2,+8),递减区间是(-8,-2).

1

(2)令h(x)=aj?-4x+3,y=(-)h(x\由于/(x)有最大值3,

所以人(X)应有最小值-1,

「12。-16

因止l匕t=­],

4a

解得a=\.

即当/(x)有最大值3时，。的值等于1.

(3)由指数函数的性质知,

要使y=/z(%)的值域为(0,+8).

应使h(x)=aj?-4无+3的值域为R,

因此只能有。=0.

因为若。/0,则/?(%)为二次函数，其值域不可能为R.

故a的取值范围是{0}.

【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，二次函数的单调性和复合函数的单调性，是函数图象

和性质的综合应用，难度中档.

18.已知函数/(x)=/o以曾的图象关于原点对称，其中。为常数.

(1)求“的值；

(2)当尤6(1,+8)时，f(x)+logi(x-1)＜加恒成立，求实数机的取值范围；

2

(3)若关于x的方程/(x)=logi(x+k)在［2,3］上有解，求左的取值范围.

2

【考点】对数函数的图象.

【专题】综合题；规律型；转化思想；综合法.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)函数/(x)兽的图象关于原点对称，可得/(x)tf(-x)=0,整理得2。奥用+

I。奥与第=。恒成立，即可得出答案

(2)xG(1,+°°)时，/(x)+，ogi(x-1)V机恒成立，求出xG(1,+°°)时，f(x)+，ogi(x-1)

22

的最大值，即可解出机的取值范围

(3)由于/(x)=Zogi岩在［2,3］上是增函数，g(x)=logi(x+左)在［2,3］上是减函数，可得出，

2X-12

两函数图象在所给区间上有交点，由此可通过比较两函数在区间端点处的函数值的大小得出

荒屋需，解之即可得出答案.

另解：运用对数相等的条件，以及参数分离法和函数的单调性，可得所求范围.

臂的图象关于原点对称,

【解答】解：(1)函数/(尤)=logi

2

,>1+ax

-V(X)+/(7)=0,即历奥舞+=。n，

1-ax1+ax1-ax1+ax

•・log1(-------x---------)=0,/.--------x---------=1恒成立,

2x-1-X-1x-1-x-1

22

即1--7,即(a-I)/=0恒成立，所以a-1=0,解得〃=±1,

又。=1时，/(x)=log工刍詈无意义，故a=-l；

1丫

(2)xE(1,+8)时，f(x)+logi(x-1)Vm恒成乂，即(x-1)<m,

22X-12

logi(x+1)V机在(1,+8)恒成立,

2

由于y=/ogi(X+1)是减函数，故当％=1,函数取到最大值-1,

2

：.m^-1,即实数机的取值范围是［-1,+8)；

(3)/(%)=/ogi善在［2,3］上是增函数，g(x)=logiG+左)在［2,3］上是减函数,

2x~l2

三吗加可保证关于尤的方程/⑴在［］上有解,下解此不等式组.

・・・只需要=logi(x+Z)2,3

j⑼三9⑼2

“ogi3<logi(2+fc)

代入函数解析式得22解得-IWkW1,

log12>10gl(3+k)'

22

即当-kW1时关于x的方程/(%)=logiG+8在［2,3］上有解.

2

另解1：f(x)=logi(x+左)即为/ogi空=Zogi(x+k),即x+Z=

22X-i2x~l

2x+l—%2

即有仁•在［2,3］上有解,

x—1

设/?(x)(24W3),h(x)=占一(X-1)在⑵3］递减,

可得力(x)G［-1,1］,所以％的范围为［-1,1］.

另解2：f(x)=logi(x+左)即为/ogi"=logi(x+k),即x+Z二

22X~l2

即有/=禺一》=1+三一招

9

而y=l+旨-X在［2，3］递减，可得-iWyWl,

所以上的范围为［-1,1］.

【点评】本题考查函数恒成立问题的解法及对数函数性质的综合运用，属于有一定难度的题，本题考查

了数形结合的思想，转化化归的思想，属于灵活运用知识的好题

19.已知函数/(无)=loga(1-X)+10g«(尤+3)(O<6Z<1).

(1)求函数/(无)的定义域；

(2)求函数/(无)的零点；

(3)若函数/(x)的最小值为-4,求。的值.

【考点】对数函数图象与性质的综合应用.

【专题】综合题；配方法.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；

(2)利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由/(%)=0,即-/-Zx+Sul,求此方程的根并验

证是否在函数的定义域内；

(3)把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求

出函数的最小值log«4,得log«4=-4利用对数的定义求出a的值.

fl—V>0

【解答】解：(I)要使函数有意义：则有,解之得：-3VXV1,

lx+3>0

则函数的定义域为：(-3,1)

(2)函数可化为/(x)=loga(1-x)(x+3)=\oga(-/-2x+3)

由/(x)=0,得-/一2%+3=1,

即/+2%-2=0,x=-1±V3

v-i±V3e(-3,1),・••函数/(%)的零点是一1土百

(3)函数可化为：

f(x)=log〃(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3)=log«[-(x+1)2+4]

V-3<x<l,A0<-(x+1)2+4W4,

2

VO<«<1,loga[-(x+1)+4]^logfl4,

即f(x)根而=log〃4,由log〃4=-4,得〃4=4,

.•.a=4」=孝

【点评】本题是关于对数函数的综合题，考查了对数的真数大于零、函数零点的定义和对数型的复合函

数求最值，注意应在函数的定义域内求解.

20.已知函数/(无)=(/-3a+3)0r是指数函数.

(1)求/(无)的解析式；

(2)判断函数/(x)=/(x)-/(-x)的奇偶性，并证明；

(3)解不等式10ga(1-X)>loga(X+2).

【考点】指数函数的图象；函数的奇偶性.

【专题】综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)利用指数函数的定义，求出。，即可求了(X)的表达式；

(2)F(X)=2'-2),即可判断P(x)=/(x)-于「X)的奇偶性；

(3)不等式：log2(1-X)>log2(x+2),即1-x>x+2>0,即可解不等式：loga(1-X)>logfl(无+2)

【解答】解：(1)/-3a+3=l,可得。=2或。=1(舍去)，

(x)=2*；

(2)-F(%)=2、-2巴(x)的定义域为R,关于原点对称，

又尸(-x)=-F(x),：.F(无)是奇函数；

(3)不等式log2(1-X)>log2(x+2),

1

即1-尤>x+2>0,-2<x<-1,

1

解集为{x|-2<xV—*}.

【点评】本题考查指数函数，考查函数的奇偶性，考查不等式的解法，属于中档题.

考点卡片

1.函数的奇偶性

【知识点的认识】

①如果函数/(X)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个X,都有/(-X)=7(X),那么函

数了(%)就叫做奇函数，其图象特点是关于(0,0)对称.②如果函数无)的定义域关于原点对称，且

定义域内任意一个无，都有/(-x)=/(尤)，那么函数/(x)就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称.

【解题方法点拨】

①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用/(0)=0解相关的未知量；

②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用/(x)=-/(-%)解相关参数；

③偶函数：在定义域内一般是用/(x)=/(-x)这个去求解；

④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反.

例题：函数y=4x|+px,xeR是()

A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶D.与p有关

解：由题设知/(%)的定义域为R,关于原点对称.

因为/(-无)=-x|-x|-px=-x\x\-px=-f(x),

所以f(x)是奇函数.

故选8.

【命题方向】

函数奇偶性的应用.

本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确

率.

2.奇偶性与单调性的综合

【知识点的认识】

对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是

要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用.在重复一下它们的性质①奇函数/

(无)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x,都有/(-x)=-/(%),其图象特点是关于(0,0)

对称.②偶函数/(x)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x,都有/(-无)=/(%),其图象特

点是关于y轴对称.

【解题方法点拨】

参照奇偶函数的性质那一考点，有:

①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用/(0)=0解相关的未知量；

②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用无)=-/(-X)解相关参数；

③偶函数：在定义域内一般是用/(x)=/(-%)这个去求解；

④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反

例题：如果/(%)=署为奇函数，那么a=—.

解:由题意可知，/(无)的定义域为R,

由奇函数的性质可知，/(x)=云5=一今。=1

【命题方向】

奇偶性与单调性的综合.

不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视

这一个知识点.

3.嘉函数的单调性与最值

【知识点的认识】

一、暴函数定义：

一般地，函数y=/(fl£R)叫做事函数，其中x是自变量，a是常数.

(1)指数是常数；

(2)底数是自变量；

(3)函数式前的系数都是1；

(4)形式都是＞=/，其中。是常数.

二、哥函数与指数函数的对比

式子名称

aXy

指数函数：y底数指数幕值

=(f

塞函数：y=指数底数幕值

三、五个常用事函数的图象和性质

、naI

(1)y=x；(2)y=x；(3)xy=F(4)y=x2；(5)y=x

3

y=x1y=”

y=%2

定义域RRR[0,+8){小W0}

值域R[0,+8)R[0,+8)卬中｝

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

单调性增xe[0,+8)时，增增xe(o,+8)

增时,减

xe(-8,o]xG(-0°,0)

时，减时，减

公共点(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)

四、幕函数的性质

（1）所有的哥函数在（0,+8）都有定义，并且函数图象都通过点（1,1）.

（2）如果a>0,则塞函数的图象过点（0,0）,（1,1）,并在［0,+8）上为增函数.

（3）如果a<0,则幕函数的图象过点（1,1）,并在（0,+8）上为减函数.

（4）当。为奇数时，幕函数为奇函数，当。为偶数时，塞函数为偶函数.

4.求解暴函数的奇偶性

求解幕函数的奇偶性

5.有理数指数骞及根式

【知识点的认识】

根式与分数指数幕

规定：an=(〃>0,m,〃EN*,n>l)

_坦11*

N=

CL=n/——(。>0，m,nGN，)

anJa

0的正分数指数塞等于0,0的负分数指数塞没有意义

有理数指数塞

(1)新的有关概念：

m,__.

①正分数指数累：an=(a>0,m,nGN,且九>1)；

7711-1

②负分数指数累：cTk=f=再^：(a>0,〃力“eN*,且〃>1)；

③0的正分数指数累等于0,0的负分数指数嘉无意义.

(2)有理数指数塞的性质：

®a'as=ari~s(a>0,r,s€Q)；

②(ar)s—ars(a>0,r,seQ)；

③(ab)(a>0,b>0,rGQ).

【解题方法点拨】

例1：下列计算正确的是()

n/~尸.I------------(ax)2

A>(-1)0=-1B、VaVa=aC、V(-3)4=3D、=\;“4{{x}A{2

-2}}$(a>0)

分析：直接由有理指数幕的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案.

解：：(-1)0=1,

AA不正确；

,:$\sqrt{d\sqrt{a}]—\sqrt{a•[a]^{\frac{l}{2}}]—\sqrt{{a}^{\frac{3}{2}}}={a}A[\f