19.1.1变量与函数(精讲)-2021-2022学年八年级数学下学期重要考点(人教版)

变量与函数变量、常量的概念在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.注意：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量.题型1：变量与常量1.圆的周长公式是C=2πr，那么在这个公式中，关于变量和常量的说法正确的是（）A．2是常量， B．π、r是变量C．2、π是常量， D．r是变量C.2是常量，r是变量【答案】B【解析】【解答】解：圆的周长计算公式是c=2πr，C和r是变量，2、π是常量.故答案为：B.【分析】常量是固定不变的量，变量是变化的量，据此判断.【变式11】设路程s，速度v，时间t，在关系式s=vt中，说法正确的是（）A．当s一定时，v是变量，t是变量B．当v一定时，t是常量，s是变量C．当t一定时，t、s是常量，v是变量D．当t一定时，s是常量，v是变量【答案】A【解析】【解答】解：A、当s一定时，s是常量，v、t是变量，故原题说法正确；B、当v一定时，v是常量，t、s是变量，故原题说法错误；C、当t一定时，t是常量，s，v是变量，故原题说法错误；D、当t一定时，t是常量，v、s是变量，故原题说法错误.故答案为：A.【分析】常量是固定不变的量，而变量是变化的量，据此判断.【变式12】一本笔记本5元，买x本共付y元，则常量和变量分别是（）A．常量：5；变量：x B．常量：5；变量：yC．常量：5；变量：x，y D．常量：x，y；变量：5【答案】C【解析】【解答】解：一本笔记本5元，买x本共付y元，则5是常量，x、y是变量.故答案为：C.【分析】由题意可得：付的钱数y随着买的本数x的变化而变化，笔记本的单价为固定值，据此判断.【变式13】分析并指出下列关系中的变量与常量：（1）球的表面积Scm2与球的半径Rcm的关系式是S=4πR2；（2）以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h=v0t﹣4.9t2；（3）一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离hm与它下落的时间ts的关系式是h=12gt2（其中g取9.8m/s2（4）已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量W千克与所付款x元之间的关系式是x=1.8W．【答案】解：（1）球的表面积Scm2与球的半径Rcm的关系式是S=4πR2，其中，常量是4π，变量是S，R；（2）以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h=v0t﹣4.9t2，常量是v0，4.9，变量是h，t；（3）一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离hm与它下落的时间ts的关系式是h=12gt2（其中g取9.8m/s2）其中常量是12g，变量是h，（4）已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量W千克与所付款x元之间的关系式是x=1.8W，常量是1.8，变量是x，w．【解析】【分析】根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可直接得到答案题型2：因变量和自变量2.对于关系式y＝3x＋5，下列说法：①x是自变量，y是因变量；②x的数值可以任意选择；③y是变量，它的值与x无关；④这个关系式表示的变量之间的关系不能用图象表示；⑤y与x的关系还可以用表格和图象表示，其中正确的是()A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①②⑤【答案】D【解析】【解答】解：①x是自变量，y是因变量，正确；②x的数值可以任意选择，正确；③y是变量，y随x的变化而变化，故原说法错误；④根据函数的三种表示形式，可知用关系式表示的能用图象表示，故原说法错误；⑤y与x的关系还可以用列表法和图象法表示，正确.故答案为：D.【分析】根据自变量、因变量的概念可判断①；根据关系式可得y随x的变化而变化，据此判断②③；根据函数的表示方法可判断④⑤.【变式21】某居民小区电费标准为0.55元/千瓦时，收取的电费y（元）和所用电量x（千瓦时）之间的关系式为y=0A．x是自变量，0.55是因变量 B．0.55是自变量，x是因变量C．x是自变量，y是因变量 D．y是自变量，x是因变量【答案】C【解析】【解答】解：A、x是自变量，0.55是常量，故不符合题意；B、0.55是常量，x是自变量，故不符合题意；C、x是自变量，y是因变量，符合题意；D、x是自变量，y是因变量，故不符合题意.故答案为：C.

【分析】根据自变量和因变量的定义求解即可。【变式22】圆柱的高是6cm，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也随之发生变化.在这个变化过程中，常量是，自变量是，因变量是.【答案】6；底面半径r；圆柱的体积V【解析】【解答】解：当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也随之发生变化，在这个变化过程中，常量是6，自变量为底面半径r，因变量为圆柱的体积V.

故答案为：6，底面半径r，圆柱的体积V.

【分析】在变化过程中，圆柱的高为6cm始终没有发生变化，体积V随着底面半径r的变化而变化，据此解答.【变式23】一次试验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂砝码，下面是测得的弹簧长度y（cm）与所挂砝码的质量x（g）的一组对应值：

x（g）012345…y（cm）182022242628…（1）表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）弹簧的原长是多少？当所挂砝码质量为3g时，弹簧的长度是多少？（3）砝码质量每增加1g，弹簧的长度增加多少厘米？【答案】解：（1）上表反映了弹簧长度与所挂砝码质量之间的关系；其中所挂砝码质量是自变量，弹簧长度是因变量；（2）因为不挂砝码时的弹簧长度即为弹簧的原长，所以弹簧的原长是18cm；当所挂物体重量为3g时，弹簧长24cm；（3）根据上表可知，砝码质量每增加1g，弹簧的长度增加2cm．【解析】【分析】（1）因为表中的数据主要涉及到弹簧的长度和所挂物体的质量，所以反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量；弹簧的长度是因变量；（2）由表可知，当物体的质量为0g时，弹簧的长度即弹簧的原长是18cm；当物体的质量为3g时，弹簧的长度是24cm；（3）由表中的数据可知，x=0时，y=18；x=1时，y=20，则砝码质量每增加1g，弹簧的长度增加2cm．函数的定义一般地，在一个变化过程中.如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.注意：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义；（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应.（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：①函数关系式相同（或变形后相同）；②自变量的取值范围相同.否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意.题型3：函数的概念3.如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列有四种说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数；④S是h的函数．其中所有正确结论的序号是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【解析】【解答】①：由题意可知，对于注水量V的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，所以V是自变量，S是因变量，所以S是V的函数，符合题意；②：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，注水量V的值不一定唯一，所以V不是S的函数，不符合题意；③：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，水面的高度h的值不一定唯一，所以h不是S的函数，不符合题意；④：由题意可知，对于水面的高度h的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，h是自变量，S是因变量，所以S是h的函数，符合题意；所以正确的的序号有①④，故答案为：B．【分析】根据水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量，再结合图形求解即可。【变式31】下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：A、对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数，此项不符题意；B、对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数，此项不符题意；C、对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数，此项不符题意；D、当x=3时，有两个y的值与其对应，所以y不是x的函数，此项符合题意.故答案为：D.【分析】对于两个变量x和y，如果每给定x的一个确定值，y都有唯一一个确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，据此判断.【变式32】下列关系式：①x3x=4；②s=3.5t；③y=2x；④y=5x3；⑤C=2πr；⑥y2=2x．其中是函数关系的有()A．①⑥ B．②③④⑤ C．④⑥ D．①②【答案】B【解析】【解答】解：①中含有一个变量，不是函数关系；②③④⑤符合函数的概念；⑥中给定一个负数x，有两个y值与之对应，不是函数.

故答案为：B.

【分析】在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称y是x的函数，据此判断.【变式33】下列关系中，不是函数的是()．A．y=x+13 B．y=xC．y=9x(x≥0) D．y=±x2【答案】D【解析】【解答】解：A、B、C符合函数的概念，而D中给定一个x值，有两个y值与其对应，故不是函数.

故答案为：D.

【分析】在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称y是x的函数，据此判断.题型4：函数概念与基础图像识别4.下列图象中，y不是x的函数的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【解答】解：根据函数定义，如果在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，而C中的y的值不具有唯一性，所以不是函数关系.

故答案为：C.

【分析】在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称y是x的函数，据此判断.【变式41】如图所示图象表示的两个变量间的关系中，y不是x的函数的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：A、此图象中的y是x的函数，故A不符合题意；

B、此图象中的y是x的函数，故B不符合题意；

C、此图象中的y是x的函数，故C不符合题意；

D、此图象中的y不是x的函数，故D符合题意；

故答案为：D.

【分析】一般地,在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，观察函数图象，可得到y不是x的函数图象的选项.【变式42】下列图象中，表示y是x的函数的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】【解答】解：属于函数的有故y是x的函数的个数有2个，故答案为：B．【分析】根据函数的定义逐项判断即可。【变式43】下列图形中的曲线不能表示y是x的函数的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】解：由函数的定义，可知B选项中，一个x值，有两个y值与之对应，不符合函数定义，故答案为：B.【分析】设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，据此判断.自变量取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.注意：自变量的取值范围的确定方法：首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.题型5：自变量的取值范围5.下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（）A．y=2x2中，x取全体实数 B．y=1x+1中，x取x≠C．y=x-2中，x取x≥2的实数 D．y=1x-3中，【答案】D【解析】【解答】解：A、y=2x2中，B、∵x+1≠0，即∴y=1x+1C、∵x∴x∴y=x-2D、∵x-3≥0∴x∴y=1x-3故答案为：D.【分析】A、二次函数的自变量取一切实数，据此解答即可；

B、根据分式有意义的条件：分母不为0，据此判断即可；

C、二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此判断即可；

D、根据分式有意义的条件及二次根式有意义的条件进行判断即可.【变式51】．函数y=1x+1+(xA．x≥-1 B．C．x>-1且x≠2 D．x≠-1【答案】C【解析】【解答】解：函数y=1x+1+(xx+1>0且x-解得：x>-1且x≠2故答案为：C.

【分析】利用含自变量的式子含有分式，则分母不等于0，二次根式有意义，则被开方数是非负数，任何不等于0的数的零次幂，可建立关于x的不等式组，然后求出不等式组的解集.【变式52】求函数y=2-x2x-3【答案】解：根据题意得：2-x≥02解得：x≤2且x≠3【解析】【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【变式53】求下列函数中自变量的取值范围．①y=-52x-1【答案】解：①根据题意得，2x﹣1≠0，解得x≠12②根据题意得，2x﹣1≥0，解得x≥1【解析】【分析】①根据分母不等于0列式进行计算即可得解；②根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【变式54】求下列函数中自变量x的取值范围．y=x-2+【答案】解:根据题意得：x-解得：x≥2且x≠3；【解析】【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围；函数值是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.注意：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.题型6：函数值的定义6.已知一次函数y＝ax－3，当x＝1时，y＝7，当x＝－2时，求y的值.【答案】解：根据题意得：a-3=7∴a=10，∴一次函数解析式为y=10x∴当x＝－2时，y＝10×（－2）－3＝－23，∴y的值为－23.【解析】【分析】将x=1、y=7代入可得a3=7，求出a的值，据此可得一次函数的解析式，然后将x=2代入求解就可得到y的值.【变式61】当自变量x取何值时，函数y=52x+1与y=5x+17的值相等？这个函数值是多少？【答案】解：由题意得y=52x+1y=5当x=﹣325时，函数y=52x+1与y=5x+17【解析】【分析】根据函数值相等，自变量相等，可得方程组，根据解方程组，可得答案．【变式62】某地海拔高度h与温度T的关系可用T=216h来表示(其中温度单位为℃，海拔高度单位为km)，则该地区某海拔高度为2000m的山顶上的温度为()A．9℃ B．7℃ C．6℃ D．3℃【答案】A【解析】【解答】解：2000米=2千米，T=216h=216×2=9℃.故答案为：A.【分析】2000米=2千米，然后将h=2代入T=216h中进行计算即可.【变式63】已知函数y=2x-1x+2中，当x=a时的函数值为【答案】解：函数y=2x-1x+2中，当2a-两边都乘以（a+2）得2a﹣1=a+2解得a=3．【解析】【分析】根据函数值与自变量的关系是一一对应的，代入函数值，可得自变量的值．【变式64】当x=2及x=﹣3时，分别求出下列函数的函数值：（1）y=（x+1）（x﹣2）；（2）y=x+2【答案】解：（1）当x=2时，y=（x+1）（x﹣2）=（2+1）（2﹣2）=0，当x=﹣3时，y=（x+1）（x﹣2）=（﹣3+1）（﹣3﹣2）=10；（2）当x=2时，y=x+2x-1当x=﹣3时，y=x+2x-1=【解析】【分析】（1）把x=2和x=﹣3分别代入函数y=（x+1）（x﹣2）计算即可求解；（2）把x=2及x=﹣3分别代入函数y=x+2题型7：构建简单函数（几何图形）7.如图，在靠墙（墙长8m）的地方围建一个矩形的养鸡场，另外三边用栅栏围成，如果栅栏总长为32m，求鸡场的一边y（m）与另一边x（m）的函数关系式，并求出自变量的取值范围．【答案】解：(1)根据题意得:鸡场的长y(m)与宽x(m)有y+2x=32:即y=2x+32;(2)题中有8>y>0,2x+32≤8∴x≥12又y>x2x+35>x,解得x＜16则自变量的取值范围为故答案为:12≤x<16.【解析】【分析】根据长方形的面积公式和围成的长方形仅有三边,找到函数关系解答即可【变式71】如图，正方形ABCD的边长为2，P为DC上的点（不与C，D点重合）．设线段DP的长为x，求梯形ABCP的面积y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．【答案】解：梯形ABCP的面积y关于x的函数关系式：y=﹣x+4（0＜x＜2）【解析】【分析】根据梯形的面积可得函数关系式，【变式72】如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分的面积ycm2与MA的长度xcm之间的关系式，并指出其中的常量与变量．【答案】解：由题意知，开始时A点与M点重合，让正方形MNPQ向左运动，两图形重合的长度为AM=x，∵∠BAC=45°，∴S阴影=12×AM×h=12AM2=12则y=12x2，0＜x≤10其中的常量为等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，变量为重叠部分的面积y与MA的长度x．【解析】【分析】根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA的长度可得出y与x的关系．再根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得答案．【变式73】圆柱的底面半径是2cm，当圆柱的高h（cm）由大到小变化时，圆柱的体积V（cm3）随之发生变化．（1）在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？（2）在这个变化过程中，写出圆柱的体积为V与高h之间的关系式？（3）当h由5cm变化到10cm时，V是怎样变化的？（4）当h=7cm时，v的值等于多少？【答案】解：（1）自变量是圆柱的高，因变量是圆柱的体积；（2）体积V与高h之间的关系式V=4πh；（3）当h=5cm时，V=20πcm3；当h=10cm时，V=40πcm3．当h越来越大时，V也越来越大；（4）当h=7cm时，V=4π×7=28πcm3．【解析】【分析】（1）根据函数的定义，可得答案；（2）根据圆柱的体积公式，可得答案；（3）根据一次函数的性质，可得答案；（4）根据自变量的值，可得相应的函数值．题型8：构建记得函数（实际问题）8.物体从高处自由下落的高度h(m)与物体下落的时间t(s)之间的函数关系式是：h＝12gt2(g表示重力加速度，g取9.8m/s2)．某人发现头顶上空490m处有一炸弹自由下落，其地面杀伤半径为50m，此人发现后，立即以6m/s的速度逃离，那么此人有无危险？【答案】解：无危险，