数字信号处理简明教程-数字滤波器原理

回顾：任意离散时间序列都可以用单位采样序列的加权的表征离散时间系统线性时不变系统的单位采样响应h(n)因果性与稳定性任何离散线性时不变系统都可以用常系数差分程来表征离散线性时不变系统的h(n)利用差分方程导出系统函数H(z)

有限长冲激响应FIR无限长冲激响应IIR1

时域（两类）、频域（四种类型）实现结构（递归、非递归）

26.1.1滤波器的基本

类型与指标36.1.2滤波器的基本方程与分类

4滤波器的系统函数与冲激响应5

()

h(n)是FIR滤波器的单位脉冲响应，长度为N，则其系统函数为：

收敛域包括单位圆；

z平面上有N-1个零点；

z=0是N-1阶极点;（展开级数可以说明）特点：FIR滤波器的单位冲冲激响应是有限长的，

因此是稳定和容易实现线性相位。6.2.1线性相位FIR数字滤波器的基本特性6

FIR滤波器的基本特性

7

对于长度为N的h(n)系统函数为：注意：

H

(ω)为ω的实函数，可能取负值；

|H(ejω)|称为幅度响应，总是正值；

相频特性与滤波器对输入信号产生

的时延有密切关系H

(ω)称为幅频函数，θ(ω)称为相频函数1、线性相位与广义线性相位

8

线性相位广义线性相位

线性相位是指θ(ω)是ω的线性函数，产生的相移是一常数，即：什么是线性相位（举例：理想延迟系统）

910（举例：理想延迟系统）等式中间和等式右边的实部与虚部应当各自相等，同样实部与虚部的比值应当相等:2、相位与h(n)的对称性（1）线性相位与偶对称11（讨论）将上式两边交叉相乘，再将等式右边各项移到左边，应用三角函数的恒等关系严格线性相位的条件12（讨论）h(n)是以(N-1)/2偶对称实序列，即：h(n)=h(N1n)13（2）广义线性相位与奇对称广义线性相位的条件14（讨论）h(n)是以(N-1)/2奇对称实序列，即：

-h(n)=h(N1n)15h(n)是FIR滤波器的单位脉冲响应，长度为N，则其系统函数为：特点：FIR滤波器的单位冲冲激响应是有限长的，因此是稳定和容易实现线性相位；线性相位是指θ(ω)是ω的线性函数，产生的相移是一常数

，相频特性与滤波器对输入信号产生的时延有密切关系。

线性相位FIR数字滤波器的基本特性[**]16

线性相位广义线性相位幅频函数相频函数其中：或：17相延迟：群延迟：群延迟偏离某个常数的程度表明滤波器相位特性的非线性程度，线性相位和广义线性相位都满足群延迟是一个常数，即定义：2、相位与h(n)的对称性[**]（1）线性相位对应h(n)的偶对称18h(n)是以(N-1)/2偶对称实序列，即：h(n)=h(N1n)

(应用三角函数的恒等关系)

h(n)是以(N-1)/2的偶对称实序列，即：h(n)=h(N

1

n)19

线性相位的条件

h(n)的长度N又可分奇偶数（2）广义线性相位对应h(n)的奇对称广义线性相位的条件：20

h(n)是以(N-1)/2奇对称实序列，即：

h(n)=-h(N1n)20线性相位FIR滤波器h(n)的四种时域特性2、偶对称N为奇数1、偶对称N为偶数4、奇对称N为奇数3、奇对称N为偶数21h(n)=h(N

1

n)h(n)=-h(N1n)由频率响应函数的级数展开

推导h(n)分别在偶对称和奇对称时的幅频函数H(ω)

（讨论）22线性相位一般形式23

FIR滤波器的系统函数为

将上式右边的级数展开：

24

合并同类项25

偶对称情况：

h(n)=h(N

1

n)

（讨论N分别为奇数和偶数时的幅频函数）幅频函数特点：(1)式中cosω

n项对ω

=0,

,

皆为偶对称，则幅度特性对ω

=0,,

是偶对称的。(2)可实现所有滤波特性（低通、高通、带通、带阻）。H(ω)=26（1）I

型

h(n)=h(N-n-1)，N为奇数[**](下面讨论N为偶数时的幅频函数)幅频函数特点：(1)由于奇对称，所以H(ω)在ω=呈奇对称；(2)当ω=

时，故H()=0，即H(z)在z=1处有一零点，因此这种情况不能用于设计时的滤波器，即不能实现高通、带阻滤波器。(下面讨论N对称幅频函数)27(2)II型h(n)=h(N-n-1)，N为偶数[**]幅频函数特点：(1)幅频函数H(ω)在ω

=0,,

呈奇对称；(2)H(ω)在ω

=0、、2处值为0，即H(z)零点在z=1处，不能用于的滤波器设计，但可以实现带通滤波器。2828(3)III型:

h(n)=-h(N-n-1)，N为奇数[**](下面讨论N为偶数时的幅频函数)幅频函数特点：(1)由于sin[ω(n-½)]在ω=0、2处都为0，因此H(ω)在ω=0，2处也为0，即H(z)在z=1处有零点；并对ω=0,2π呈奇对称，故不能实现低通、带阻滤波器。(2)由于sin[ω(n-½)]在ω=0、2处都呈奇对称，对ω=呈偶对称，故幅频函数H(ω)在ω=0,也呈奇对称，在ω=处呈偶对称。2929(4)IV型:

h(n)=-h(N-n-1)，N为偶数[**]30I型h(n)=h(N-n-1)，N为奇数

II型h(n)=h(N-n-1)，N为偶数

III型h(n)=-h(N-n-1)，N为奇数

30III型h(n)=-h(N-n-1)，N为偶数

31四种线性相位FIR滤波器[**]I型：偶、奇，四种滤波器都可设计。II型：偶、偶，可设计低、带通滤波器，不能设计高通和带阻。III型：奇、奇，只能设计带通滤波器，其它滤波器都不能设计。IV型：奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能设计

低通和带阻。4、FIR滤波器系统函数H(z)的零点位置

32

（讨论）

33④

zk在实轴上和单位圆上，则零点只有一个，或位于z=1或位于z=

1。②zk在实轴上，不在|z|=1上，则零点是互为倒数两个实数零点。③当zk不在实轴上，但在|z|=1上，由于共轭对的倒数是它们本身，故此时零点是一组共轭对。FIR滤波器的零点位置①zk既不在单位园上，也不在实轴上，有四个互为倒数的两组共轭对。

I型h(n)=h(N-n-1)，N奇数II型h(n)=h(N-n-1)，N偶数III型h(n)=-h(N-n-1)，N奇数34IV型h(n)=-h(N-n-1)，N偶数对于第四种滤波器，h(n)奇对称，N为偶数，H(0)=0，所以z=1是H（z）的单根。所以h(n)奇对称→H(0)=0,N为偶数→H(π)=0；不能设计低通和带阻。同样道理，对于第三种FIR滤波器，h(n)奇对称，N为奇数，因

所以z=1，z=-1都是H（z）的单根；只能设计带通滤波器我们从幅度响应的讨论中已经知道，对于第二种FIR滤波器（h(n)偶对称，N为偶数），，即

是的零点，既在单位圆，又在实轴，所以，必有单根；不能设计高通和带阻。356.2.2IIR滤波器的基本特性

()

1.IIR滤波器的系统函数与极-零分布36

2.IIR滤波器的相位特性1．性能方面：FIR滤波器优点：可以得到严格的线性相位。缺点：由于滤波器传输函数的极点固定在原点，所以只能用较高阶数的滤波器达到性能指标。IIR滤波器：极点可位于单位圆内任何地方。优点：较低阶数滤波器实现，存储单元少，所以经济且效率高；缺点：相位是非线性的，往往可选择性越好，相位非线性越严重。6.2.3FIR和IIR数字滤波器的比较

FIR一般采用非递归型结构，由于FIR的单位冲激响应h(n)有限长，可采用FFT运算，其运算速度快，误差小；

IIR滤波器往往对应递归型结构，极点要控制在单位圆内，系统才确保稳定，缺点是有限字长效应时，容易产生寄生振荡。2．结构方面：3.应用方面：在语音通信中，对相位线性特性要求不高，可以选用经济高效的IIR滤波器实现；而在图像通信中，对相位的线性特性要求较高，则要用稍为复杂的FIR滤波器来实现。

FIR滤波器能适应某些特殊的应用，如构成微分器或积分器，因而适应性更大，范围更广。

IIR设计较简单，主要应用于设计具有片断常数特性的滤波器，如低通、高通、带通及带阻等滤波器。例：如果系统的单位脉冲响应为(1)判断该系统是否具有线性相位，说明理由。(2)求出该系统的频率响应。h(n)1