常州市“12校合作联盟”2025届高二上数学期末联考试题含解析

常州市“12校合作联盟”2025届高二上数学期末联考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，，则“”是“”的A.充要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件2．在正方体中，E，F分别为AB，CD的中点，则与平面所成的角的正弦值为（）A. B.C. D.3．下列函数求导错误的是（）A.B.C.D.4．设等比数列的前项和为，且，则（）A. B.C. D.5．直线的倾斜角为（）A.30° B.60°C.90° D.120°6．若点P在曲线上运动，则点P到直线的距离的最大值为（）A. B.2C. D.47．已知两条平行直线：与：间的距离为3，则（）A.25或－5 B.25C.5 D.21或－98．在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为（）A.1 B.C.－1 D.-29．已知为等差数列，且，，则（）A. B.C. D.10．某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（）A.0.9 B.0.8C.0.7 D.0.611．在长方体中，，，则异面直线与所成角的正弦值是（）A. B.C. D.12．已知椭圆的焦点分别为，，椭圆上一点P与焦点的距离等于6，则的面积为（）A.24 B.36C.48 D.60二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在等比数列中，，则______14．已知函数，___________.15．已知为抛物线：的焦点，为抛物线上在第一象限的点.若为的中点，为抛物线的顶点，则直线斜率的最大值为______.16．无穷数列满足：只要必有，则称为“和谐递进数列”，已知为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，，，则__________，若数列前项和为，则__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列满足，（1）设，求证:数列是等比数列;（2）求数列的前项和18．（12分）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求A；（2）若，求外接圆面积的最小值.19．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合（1）求椭圆的离心率；（2）求抛物线的方程；（3）设是抛物线上一点，且，求点的坐标20．（12分）同时抛掷两颗骰子，观察向上点数.（1）试表示“出现两个1点”这个事件相应的样本空间的子集；（2）求出现两个1点”的概率；（3）求“点数之和为7”的概率.21．（12分）已知函数的两个极值点之差的绝对值为.（1）求的值；（2）若过原点的直线与曲线在点处相切，求点的坐标.22．（10分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，的周长为8（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，，是椭圆C的短轴端点，P是椭圆C上异于点，的动点，点Q满足，，求证与的面积之比为定值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】不能推出，反过来，若则成立，故为必要不充分条件.2、B【解析】作出线面角构造三角形直接求解，建立空间直角坐标系用向量法求解.【详解】设正方体棱长为2，、F分别为AB、CD的中点，由正方体性质知平面，所以平面平面，在平面作，则平面，因为，所以即为所求角，所以.故选：B3、C【解析】每一个选项根据求导公式及法则来运算即可判断.【详解】对于A，，正确；对于B，，正确；对于C，，不正确；对于D，，正确.故选：C4、C【解析】根据给定条件求出等比数列公比q的关系，再利用前n项和公式计算得解.【详解】设等比数列的的公比为q，由得：，解得，所以.故选：C5、B【解析】根据给定方程求出直线斜率，再利用斜率的定义列式计算得解.【详解】直线的斜率，设其倾斜角为，显然，则有，解得，直线的倾斜角为.故选：B6、A【解析】由方程确定曲线的形状，然后转化为求圆上的点到直线距离的最大值【详解】由曲线方程为知曲线关于轴成轴对称，关于原点成中心对称图形，在第一象限内，方程化为，即，在第一象限内，曲线是为圆心，为半径的圆在第一象限的圆弧（含坐标轴上的点），实际上整个曲线就是这段圆弧及其关于坐标轴．原点对称的图形加上原点，点到直线的距离为，所以所求最大值为故选：A7、A【解析】根据平行直线的性质，结合平行线间距离公式进行求解即可.【详解】因为直线：与：平行，所以有，因为两条平行直线：与：间距离为3，所以，或，当时，；当时，，故选：A8、C【解析】以为建立平面直角坐标系，设，把向量的数量积用坐标表示后可得最小值【详解】如图，以为建立平面直角坐标系，则，设，，，，，∴，∴当时，取得最小值故选：C【点睛】本题考查向量的数量积，解题方法是建立平面直角坐标系，把向量的数量积转化为坐标表示9、B【解析】由已知条件求出等差数列的公差，从而可求出【详解】设等差数列的公差为，由，，得，解得，所以，故选：B10、B【解析】由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有8组，即求.【详解】由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有：812,832,569,683,271,989,537,925,故8个，故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.故选：B.11、C【解析】连接，可得，得到异面直线与所成角即为直线与所成角，设，设，求得的值，在中，利用余弦定理，即可求解.【详解】如图所示，连接，在正方体中，可得，所以异面直线与所成角即为直线与所成角，设，由在长方体中，，，设，可得，在直角中，可得，在中，可得，所以，因为，所以.故选：C.12、A【解析】由题意可得出与、、的值，在根据椭圆定义得的值，即可得到是直角三角形，即可求出的面积.【详解】由题意知，.根据椭圆定义可知，是直角三角形，.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用等比数列性质和通项公式可求得，根据可求得结果.【详解】，又，，.故答案为：.14、【解析】直接利用分段函数的解析式即可求解.【详解】因为，所以，所以.故答案为：-115、1【解析】由题意，可得，设，，，根据是线段的中点，求出的坐标，可得直线的斜率，利用基本不等式即可得结论【详解】解：由题意，可得，设，，，，是线段的中点，则，，，当且仅当时取等号，直线的斜率的最大值为1故答案为：116、①.2②.7578【解析】根据前四项成等比数列及定义可求得，根据新定义得数列是周期数列，从而易求得【详解】∵成等比数列，，，又，为“和谐递进数列”，，，，，…，数列是周期数列，周期为4，故答案为：2，7578三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）将变形为，得到为等比数列，（2）由（1）得到的通项公式，用错位相减法求得【详解】（1）由，，可得，因为则，，可得是首项为，公比为的等比数列，（2）由（1），由，可得，，，上面两式相减可得：，则【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列和或差数列的求和(4)裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.18、（1）（2）【解析】（1）利用二倍角公式将已知转化为正弦函数，解一元二次方程可得；（2）由余弦定理和（1）可求a的最小值，再由正弦定理可得外接圆半径的最小值，然后可解.【小问1详解】因为，所以，解得或（舍去），又为锐角三角形，所以.【小问2详解】因为，当且仅当时，等号成立，所以.外接圆的半径，故外接圆面积的最小值为.19、（1）；（2）；（3）【解析】（1）由椭圆方程即可求出离心率.（2）求出椭圆的焦点即为抛物线的焦点，即可求出答案.（3）由抛物线定义可求出点的坐标【小问1详解】由题意可知，.【小问2详解】椭圆的右焦点为，故抛物线的焦点为.抛物线的方程为.【小问3详解】设的坐标为，，解得，.故的坐标为.20、（1）（2）（3）【解析】（1）由题意直接写出基本事件即可得出答案.（2）样本空间一共有个基本事件,由（1）可得答案.（3）列出“点数之和为7”的基本事件，从而可得答案.【小问1详解】“同时抛掷两颗骰子”的样本空间是{1，2，…，6；1，2，…，6}，其中i、j分别是抛掷第一颗与第二颗骰子所得的点数.将“出现两个1点”这个事件用A表示，则事件A就是子集.【小问2详解】样本空间一共有个基本事件，它们是等可能的，从而“出现两个1点”的概率为.小问3详解】将“点数之和为7”这个事件用B表示，则{，，，，，}，事件B共有6个基本事件，从而“点数之和为7”的概率为.21、（1）；（2）.【解析】（1）求，设的两根分别为，，由韦达定理可得：，，由题意知，进而可得的值；再检验所求的的值是否符合题意即可；（2）设，则，由列关于的方程，即可求得的值，进而可得的值，即可得点的坐标.【详解】由可得：设的两根分别为，，则，，由题意可知：，即，所以解得：，当时，，由可得或，由可得，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以为极大值点，为极小值点，满足两个极值点之差的绝对值为，符合题意，所以.（2）由（1）知，，设，则，由题意可得：，即，整理可得：，解得：或，因为即为坐标原点，不符合题意，所以，则，所以.22、（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据周长为8，求得a，再根据离心率求解；（2）方法一：设，，得到直线和直线的方程，联立求得Q的横坐标，根据在椭圆上，得到，然后代入Q的横坐标求解；方法二：设直线，的斜率分别为k，，点，，直线的方程为，与椭圆方程联立，求得点P横坐标，再由的直线方程联立，