数学同步测控：平均不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精同步测控我夯基,我达标1.若x>0,则4x+的最小值是（)A.9B.C。13D。不存在解析：∵x〉0,∴4x+=2x+2x+≥。当且仅当2x=,即x=时取“=”。答案：B2。设a、b、c∈R+，且a+b+c=1,若M=（-1）（—1)(—1）,则必有(）A。0≤M<B。≤M<1C。1≤M<8D。M≥8解析：∵a+b+c=1,∴（-1）（-1)(-1)=(—1）（—1)(—1）=≥=8(a、b、c∈R+）。答案：D3。a2+b2=1,b2+c2=2,c2+a2=2，则ab+bc+ca的最小值为（）A.—B.-C。D.+解析：若由a2+b2≥2ab,∴ab≤；b2+c2≥2bc,∴bc≤1;c2+a2≥2ac,∴ac≤1得出ab+bc+ca≤是错误的,因为等号不同时成立,取不到“=”.正确的解法:由已知，得a2=1—b2，c2=2-b2。又∵c2+a2=2,∴3-2b2=2。∴b2=，a2=，c2=。∴ab+bc+ca=ab+c(a+b）的取值分别为±或±综上，ab+bc+ca的最小值为.答案：B4。若a+b+c=0，a>b>c,则有(）A.ab>acB。ac>bcC。ab>bcD.以上皆错解析:∵a+b+c=0，a〉b〉c,∴a+b+c〈a+a+a=3a。∴a〉0.∴由b>c,得ab〉ac。∴A正确.又∵a+b+c〉c+c+c=3c，∴c<0.则由a〉b,得ac〈bc，B错。答案：A5。若a、b∈R+，且2a+b=1，则S=2-4a2—b2的最大值为（)A。B。C。+1D.解析：∵2a+b=1,∴（2a+b)2=4a2+4ab+b2=1.∴4a2+b2=1—4ab.又∵2a+b=1，a、b∈R+,∴2a+b≥。∴≤1。∴≤。∴S=—4a2-b2=-(1-4ab)=4ab+—1=（）2—.∴当时，Smax=（）2—=。答案:B6。若实数x、y满足xy〉0,且x2y=2，则xy+x2的最小值为（)A。1B。2C.3解析:∵xy〉0,由xy+x2=≥=3，知最小值为3,当且仅当=x2时等号成立.∵xy〉0，∴x==1时，取“=”。答案：C7.当0<x〈时,函数f（x）=的最小值为()A。2B.C。4D.解析：f（x）=∵0<x〈，∴sinx〉0，cosx〉0.∴f（x）≥=4。答案：C8.设a〉b>c，n∈N＊，且+≥恒成立，则n的最大值为（)A.2B.3C.4解析：∵a〉b>c，∴a—b>0，a-c>0，b-c>0.∴+≥，即n≤=2+恒成立.由=2,∴n≤2+2=4.答案：C我综合,我发展9。函数y=log2（x++5)(x〉1）的最小值为________________。解析:∵x〉1,∴x++5=(x—1)++6≥+6=8。∴y=log2(x++5）≥log28=3.答案:310。已知a、b、c∈R+，则(++)（++）≥_________________。解析：∵a、b、c∈R+，∴(++)(++）≥=9。答案：911.已知x∈R+，有不等式x+≥2,x+=++≥3…,由此启发我们可以推广为x+≥n+1(n∈N*）,则a=_______________.解析:由x+≥2,x+≥3，x+=4….∴a=nn，x+=n+1.答案:nn12.若记号“*”表示求两个数a与b的算术平均的运算，即a*b=,则两边均含有运算“*"和“+"且对任意3个实数a、b、c都能成立的一个等式可以是______________.解析：a+（b＊c）=a+==+=（a*b)+（a＊c),(a+b）＊(a+c)==。答案：a+（b*c）=（a*b)+(a＊c）=（a+b)＊(a+c)13。已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1,求证：++≥。分析：由已知条件a+b+c=1,而不等式中含有a+b，b+c，c+a等量.∴可将等式a+b+c=1，化为（a+b)+(b+c)+(c+a）=2进行代换。证明：∵a、b、c∈R+，且a+b+c=1,∴（a+b)+（b+c）+(c+a）=2。∴［（a+b)+(b+c)+(c+a)]［++］≥=9。∴++≥成立.14.已知a、b∈R+,且a≠b,求证：a3+b3〉a2b+ab2.解析：可用比较法证明,也可构造平均不等式证明.证法一：(比较法）∵a3+b3-(a2b+ab2)=a2(a—b)+b2（b—a）=(a-b)2(a+b）,又∵a,b∈R+且a≠b，∴（a—b)2〉0。a+b>0.∴a3+b3〉a2b+ab2。证法二:（平均不等式法）∵a、b∈R+,且a≠b。∴a3+b3=［（a3+a3+b3）+(a3+b3+b3）］>（)=a2b+ab2.∴a3+b3>a2b+ab2.我创新,我超越15.设a、b、c∈R+,求证：ab(a+b)+bc(b+c）+ca(c+a)≥6abc.证明:∵a、b、c∈R+，∴ab(a+b)+bc(b+c)+ca（c+a）=(a2b+b2c+c2a）+(ab2+bc2+ca≥=6abc.∴原不等式成立。16.求y=4sin2x