江西省九江市高中数学 第一章 计数原理 1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理（二）教案 北师大版选修2-3

江西省九江市高中数学第一章计数原理1分类加法计数原理和分步乘法计数原理（二）教案北师大版选修2-3科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）江西省九江市高中数学第一章计数原理1分类加法计数原理和分步乘法计数原理（二）教案北师大版选修2-3教学内容本节课的教学内容来自于江西省九江市高中数学第一章计数原理，主要涉及1分类加法计数原理和分步乘法计数原理（二）。教材为北师大版选修2-3。

本节课将重点讲解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用，通过具体的例子让学生理解并掌握这两个计数原理。同时，通过练习题的讲解和练习，使学生能够灵活运用这两个原理解决实际问题。核心素养目标本节课的核心素养目标定位为培养学生的逻辑推理能力和数学应用能力。通过讲解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，使学生能够理解并掌握这两个基本的计数方法，从而培养他们的逻辑推理能力。同时，通过具体的例子和练习题的讲解，使学生能够将所学知识应用到实际问题中，培养他们的数学应用能力。此外，通过小组讨论和合作交流，培养学生的团队合作意识和沟通能力。教学难点与重点1.教学重点

本节课的重点是分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解和应用。具体来说，重点包括以下几个方面：

（1）分类加法计数原理的理解：学生需要理解当一个事件可以分为几个互斥的部分时，这个事件的总情况数等于各个部分的情况数之和。

（2）分步乘法计数原理的理解：学生需要理解当一个事件可以分为几个相互独立的步骤时，这个事件的总情况数等于各个步骤的情况数相乘。

（3）应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题：学生需要能够将所学的计数原理应用到实际问题中，如排列组合问题、概率问题等。

2.教学难点

本节课的难点是学生对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解和应用。具体来说，难点包括以下几个方面：

（1）对互斥事件的理解：学生可能难以理解什么是互斥事件，以及如何将一个事件正确地分为几个互斥的部分。

（2）对相互独立步骤的理解：学生可能难以理解什么是相互独立的步骤，以及如何将一个事件正确地分为几个相互独立的步骤。

（3）应用计数原理解决实际问题：学生可能难以将所学的计数原理应用到实际问题中，如排列组合问题、概率问题等。

针对以上重点和难点，教师在教学过程中应注重讲解和强调，通过具体的例子和练习题帮助学生理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理。同时，教师应采取有效的教学方法，如引导studentsthinkstepbystep,useconcreteexamplestoillustrate,andencouragestudentstocommunicateanddiscusswitheachother,soastohelpstudentsbreakthroughthedifficultiesandachieveadeepunderstandingoftheknowledge.教学资源1.软硬件资源：多媒体投影仪、计算机、白板、黑板、粉笔、练习题纸张、直尺、圆规、量角器等。

2.课程平台：北师大版选修2-3教材、教学PPT、在线学习平台（如学校教学管理系统、数学学习网站等）。

3.信息化资源：教学视频、动画、数学案例、练习题库、在线讨论区等。

4.教学手段：讲解、示范、练习、讨论、小组合作、问题解决、案例分析等。教学流程1.导入新课（5分钟）

通过一个简单的例子引出分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。例如，讲解如何安排一场篮球比赛，让学生思考如何计算不同安排方式的数量。

2.新课讲授（15分钟）

（1）讲解分类加法计数原理：以排列组合问题为例，解释当一个事件可以分为几个互斥的部分时，如何计算总情况数。

（2）讲解分步乘法计数原理：以概率问题为例，解释当一个事件可以分为几个相互独立的步骤时，如何计算总情况数。

（3）应用实例分析：以一道实际问题为例，让学生尝试运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决问题。

3.实践活动（10分钟）

（1）学生独立完成练习题：让学生运用所学知识解决一些简单的排列组合问题和概率问题。

（2）小组合作探讨：学生分组讨论，共同解决一些较复杂的问题，如如何安排一场运动会比赛项目。

（3）分享成果：各小组选取一道具有代表性的题目，向全班同学分享解题过程和答案。

4.学生小组讨论（10分钟）

（1）讨论1：如何判断一个事件是否可以运用分类加法计数原理？举例说明。

（2）讨论2：如何判断一个事件是否可以运用分步乘法计数原理？举例说明。

（3）讨论3：在解决实际问题时，如何灵活运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理？举例说明。

5.总结回顾（5分钟）

回顾本节课所学内容，强调分类加法计数原理和分步乘法计数原理的重要性。举例说明如何在生活中运用这两个计数原理。

总用时：45分钟。教学资源拓展1.拓展资源

-数学杂志和期刊：如《数学通报》、《高中数学通讯》等，提供丰富的数学文章和案例，帮助学生深入了解计数原理的运用和拓展。

-在线数学论坛和社区：如数学吧、中学数学论坛等，学生可以参与到数学讨论中，交流计数原理的学习心得和解题经验。

-数学竞赛资料：参加数学竞赛可以帮助学生提高逻辑思维和解题能力，查找相关竞赛资料和历年竞赛题目，加以练习。

2.拓展建议

-自主阅读：学生可以利用课余时间阅读数学杂志和期刊，挑选与计数原理相关的内容进行学习，拓宽知识面。

-积极参与讨论：在在线数学论坛和社区中，学生可以提出自己的疑问，与其他学习者交流讨论，共同解决问题。

-练习数学竞赛题目：通过解答数学竞赛题目，学生可以加深对计数原理的理解和应用，提高解题技巧。

-开展数学研究性学习：学生可以结合自己的兴趣和实际情况，选择一个与计数原理相关的课题进行研究，培养研究能力和创新思维。

-请教老师和同学：在学习和拓展过程中，学生可以主动请教老师和同学，相互学习和分享经验，共同提高。教学评价与反馈1.课堂表现

-观察学生在课堂上的参与程度，是否积极回答问题、参与讨论。

-评估学生对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解程度，是否能正确运用到实际问题中。

-关注学生在实践活动中的表现，是否能独立完成练习题，并能够运用所学知识解决实际问题。

2.小组讨论成果展示

-评估学生在小组讨论中的参与度，是否能够积极贡献自己的想法和观点。

-检查小组讨论的成果，评估学生是否能够准确地理解和应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理。

-评价学生在小组合作中的沟通能力和团队合作精神。

3.随堂测试

-设计一份随堂测试，包括一些与分类加法计数原理和分步乘法计数原理相关的题目。

-评估学生的解题速度和准确性，检测学生对课堂所学知识的掌握程度。

-根据学生的测试成绩，分析学生的学习薄弱点，为后续的教学提供参考。

4.学生作业

-检查学生完成的作业，评估学生对课堂所学知识的掌握程度。

-关注学生在作业中的创造性和思考能力，鼓励学生提出新的解题方法。

5.教师评价与反馈

-根据课堂表现、小组讨论成果展示、随堂测试和学生作业，对学生的学习情况进行综合评价。

-针对学生的优点和不足，给予具体的反馈和建议，帮助学生提高。

-与学生进行沟通，了解学生的学习需求和困惑，调整教学方法和策略，以促进学生的全面发展。

总用时：45分钟。板书设计①分类加法计数原理：

-概念阐述：当一个事件可以分为几个互斥的部分时，这个事件的总情况数等于各个部分的情况数之和。

②分步乘法计数原理：

-概念阐述：当一个事件可以分为几个相互独立的步骤时，这个事件的总情况数等于各个步骤的情况数相乘。

③实际问题应用：

-例子展示：排列组合问题、概率问题等。

④练习题讲解：

-题目展示：相关练习题的题目和解答过程。

通过以上板书设计，能够让学生清晰地理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念和应用，同时，通过简洁明了的板书设计，能够激发学生的学习兴趣和主动性。典型例题讲解1.排列问题例题：

例1：从数字1，2，3，4，5中任取三个数字组成一个三位数，求组成的三位数中含有数字2的个数。

解答：组成的三位数中含有数字2的情况可以分为两种：

（1）数字2在百位：此时十位和个位可以从剩下的4个数字中任取两个，共有$C_4^2$种情况。

（2）数字2不在百位：此时百位、十位和个位都不能取数字2，只能从剩下的4个数字中各取一个，共有$C_4^1\timesC_3^1\timesC_2^1$种情况。

因此，组成的三位数中含有数字2的个数为$C_4^2+C_4^1\timesC_3^1\timesC_2^1=6+24=30$个。

2.组合问题例题：

例2：某校有甲、乙两个班级，甲班有学生20人，乙班有学生30人。从甲、乙两个班级中任选4名学生参加数学竞赛，求选出的4名学生中既有甲班学生又有乙班学生的方法数。

解答：选出4名学生中既有甲班学生又有乙班学生的方法可以分为两种：

（1）选1名甲班学生和3名乙班学生：此时从甲班选1人的方法有$C_{20}^1$种，从乙班选3人的方法有$C_{30}^3$种。

（2）选2名甲班学生和2名乙班学生：此时从甲班选2人的方法有$C_{20}^2$种，从乙班选2人的方法有$C_{30}^2$种。

因此，选出的4名学生中既有甲班学生又有乙班学生的方法数为$C_{20}^1\timesC_{30}^3+C_{20}^2\timesC_{30}^2=1140+1140=2280$种。

3.分步计数问题例题：

例3：一个人爬楼梯，每级楼梯高1米，共有10级楼梯。如果这个人每上一级楼梯需要2秒，求这个人爬完楼梯所需的总时间。

解答：这个问题可以分为10个相互独立的步骤，每个步骤所需的时间都是2秒。

因此，这个人爬完楼梯所需的总时间是$2\times10=20$秒。

4.分类计数问题例题：

例4：某校举行运动会，有甲、乙两个项目，参加甲项目的人数有200人，参加乙项目的人数有150人。求参加至少一个项目的同学总数。

解答：参加至少一个项目的情况可以分为三种：

（1）只参加甲项目：有200人。

（2）只参加乙项目：有150人。

（3）同时参加甲项目和乙项目：有$C_{200}^1\timesC_{150}^1$人。

因此，参加至少一个项目的同学总数为$200+150-C_{200}^1\timesC_{150}^1=