数学同步训练：函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第二章函数2。1函数2。1。1函数5分钟训练1。给出下列四个对应，其中构成映射的是（)A。(1）（2)B。（1）(4）C.(1)（3)D.（3)（4)答案：B解析：紧扣映射的定义进行判断。2。已知映射f：A→B,集合A中元素n在对应法则f下的象是2n-n，则121的原象是(）A。8B。7C答案：B解析：可把备选的答案代入2n—n=121中进行验证.3。下列过程中,变量之间是否存在依赖关系?其中哪些是函数关系？(1）设一长方体盒子高为10cm,底面是正方形，求这个长方体的体积V(cm3)与底面边长a（cm）的关系;(2)秀水村的耕地面积是106（m2)，求这个村人均占有耕地面积x（m2）与人数n的关系;（3)设地面气温是20℃，如果每升高1km,气温下降6℃,求气温t（℃）与高度h（km）的关系。答案：（1）长方体的体积V（cm3)与边长a（cm)之间存在函数关系，其中边长是自变量,体积是因变量；反之亦行。(2）秀水村的人均占有耕地面积x(m2）与人数n之间存在函数关系，其中人数是自变量，人均占有耕地面积是因变量;反之亦行.(3）气温t(℃)与高度h(km)之间存在函数关系，其中气温是自变量，高度是因变量;反之亦行。4。以下给出的同组函数中，是否表示同一函数?为什么？（1)f1：y=；f2：y=1.（2)f1：y=|x｜；f2:y=(3)f1：y=f2：Xx≤11〈x<2x≥2y123（4）f1：y=2x；f2：如图.解：（1）不同函数.f1（x）的定义域为{x∈R|x≠0},f2(x)的定义域为R.(2）不同函数.f1（x)的定义域为R，f2（x）的定义域为{x∈R|x≠0}.（3)同一函数.x与y的对应关系完全相同,它们是同一函数的不同表示形式.(4)同一函数.理由同（3）.10分钟训练1.对于函数y=f（x)，有以下说法：①y是x的函数；②对于不同的x、y的值也不同;③f(a）表示当x=a时函数f(x）的值,是一个常量;④f（x）一定可以用一个具体的式子表示出来。其中正确命题的个数是（)A.1B。2C.3答案：B提示：①③正确。2。设集合A=｛a，b,c｝,B={1，0，—1｝，映射f:A→B满足f(a)—f(b)=f（c），则映射f:A→B的个数有(）A。4个B.5个C。6个D.7个答案：D解析:f（a）-f（b）=f(c），即f（a）=f（b）+f（c），根据映射的定义,对f（a）=1、0、—1三种情况讨论.（1)f(a）=1时，f（b）=1,f（c）=0或f(b）=0，f（c)=1两种情况;（2）f（a）=0时，f（b）=1，f（c）=-1或f（b）=-1,f（c）=1或f(b）=f（c)=0三种情况;（3）f（a）=-1时，f（b）=—1，f（c）=0或f（b）=0,f（c）=—1两种情况。所以共有7种情况,故选D.3。若函数f（x）的定义域是[0，1］，则f（x+a）+f（x—a)(0＜a＜）的定义域是(）A.B。［a，1-a］C.［-a，1+a］D。[0，1］答案：B解析：函数f（x+a）+f（x-a）的定义域是函数f（x+a）和f（x-a）定义域的交集，分别求出后利用数轴合并.∵如图,得函数f（x+a）+f（x—a)（0＜a＜)的定义域[a，1—a］，故选B。4。求下列函数的定义域：（1）f(x）=；(2)f(x）=；(3）f(x）=.解：（1）∵x—2=0,即x=2时，分式无意义，而x≠2时，分式有意义,∴这个函数的定义域是{x|x≠2｝.(2）∵3x+2<0，即x<时，根式无意义，而3x+2≥0，即x≥时，根式才有意义，∴这个函数的定义域是{x｜x≥}。（3)∵当x+1≥0且2-x≠0，即x≥-1且x≠2时，根式和分式同时有意义,∴这个函数的定义域是｛x｜x≥—1且x≠2｝.5。（1）若函数y=f（x）的定义域为[1,2］，求f(2x+1)的定义域；（2）若函数y=f(2x+1)的定义域为［1，2］，求f（x）的定义域.解析：(1）1≤2x+1≤20≤x≤f（2x+1)的定义域是[0，］。（2）f(2x+1)的定义域为［1，2］是指x的取值范围是［1，2］，1≤x≤2，∴2≤2x≤4。∴3≤2x+1≤5.∴f（x)的定义域为［3,5］.30分钟训练1.下列函数中，与y=x表示同一函数的是(）A。y=B.y=C.y=tD.y=x0·x答案：C解析:y==x（x≠0),y==|x|,y=x0·x=x（x≠0）.显然A、D与y=x的定义域不同,B与y=x的对应关系不同.2.(创新题)设f，g都是由A到A的映射〔其中A=｛1，2，3}〕其对应法则如下表:123f112g321则f［g（3)］等于(）A。1B。2C。3答案：A解析:f［g（3)］=f（1)=1.3.(探究题）已知函数y=f（x)的定义域为［a,b］,｛(x，y）|y=f(x)，a≤x≤b}∩{(x,y)｜x=0}只有一个子集，则（)A。ab>0B.ab≥0C.ab<0D.ab≤0答案:A解析：依题意,得{（x，y)｜y=f(x），a≤x≤b}∩｛(x，y）|x=0｝=，故函数y=f（x)(x∈［a,b]）与y轴不相交，所以ab〉0。4.已知f（x—1）=2x+3，f（m）=6,则m等于()A.B。C。D.答案：A解析：方法一：设x-1=t,则x=2t+2,f（t)=2×(2t+2）+3=4t+7，即f（x)=4x+7。令4x+7=6,得x=，即m=.方法二：令2x+3=6，得x=.∴m=x-1=×—1=。5.为确保信息安全，信息需加密传输,发送方由明文→密文（加密)，接收方由密文→明文(解密），已知加密规则为:明文a,b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如,明文1，2，3，4对应密文5，7,18,16.当接收方收到密文14，9，23,28时，则解密得到的明文为（)A.4，6，1,7B.7，6，1,4C.6,4,1,7D。1，6,4，7答案：C解析：由题意,可知6。函数f(x)=的定义域是_________________。答案：{x｜x≤2,且x≠—3｝解析：要使函数有意义,当且仅当解得x≤2且x≠—3.7.已知g(x）=1-2x，f［g(x）］=(x≠0)，则f(）等于____________。答案：15解析:令g（x）=，解得x=.代入f［g(x)］=，得f［g（）］=f（)==15。8.已知映射f:A→B中，A=B=｛(x,y）｜x∈R，y∈R},其中f:（x，y）→(3x-2y+1，4x+3y—1)。（1)求A中元素(1,2)的象;（2）求B中元素（1,2)的原象;(3)是否存在这样的元素(a，b)，使它的象仍是自己?若有,求出这个元素。解：(1)由题意，得x=1,y=2,代入象的表达式，得3×1-2×2+1=0，4×1+3×2—1=9,即(1，2)的象是(0,9).(2）由题意，得所以象(1，2)的原象是（）。（3）假设存在以自己为象的元素（a,b)，则满足方