数学同步训练：向量共线的条件与轴上向量坐标运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。1。4数乘向量2．1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算知识点一：数乘向量1．下面四个命题：①对于实数m和向量a、b，恒有m（a－b)＝ma－mb；②对于实数m、n和向量a，恒有(m－n）a＝ma－na；③对于实数m和向量a、b，若ma＝mb,则a＝b；④对于实数m、n和向量a，若ma＝na，则m＝n.其中正确命题的个数是A．4B．3C．2D．2．下列关系正确的是A．若λ＝0，则λa＝0B．若a＝0,则λa＝0C．｜λa|＝λ|a｜D．|λa｜＝｜λ｜·a3．在△ABC中，eq\o（AB，\s\up6（→))＝c,eq\o（AC，\s\up6(→））＝b，若点D满足eq\o(BD，\s\up6（→)）＝2eq\o（DC,\s\up6(→)),则eq\o（AD，\s\up6（→)）等于A。eq\f（2,3）b＋eq\f(1，3)cB。eq\f(5，3）c－eq\f(2，3）bC.eq\f（2,3)b－eq\f（1，3）cD.eq\f(1，3）b＋eq\f(2,3）c4．若3x－2（x－a）＝0，则向量x＝________。知识点二:向量共线的条件5．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e,则下列表达式中正确的是A．e＝eq\f（a，|a|)B．a＝|a｜eC．a＝－｜a｜eD．a＝±|a|e6．以下选项中，a与b不一定共线的是A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1B．a＝4e1－eq\f（2，5）e2，b＝e1－eq\f（1,10)e2C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e27．已知e1，e2不共线，若a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2，且a∥b,则k的值为A．8B．－8C．4D8．已知两个非零向量e1、e2不共线,如果eq\o（AB,\s\up6(→)）＝2e1＋3e2，eq\o(BC，\s\up6（→））＝6e1＋23e2，eq\o（CD，\s\up6（→))＝4e1－8e2.求证：A、B、D三点共线．知识点三:轴上向量的坐标运算9．已知数轴上两点A、B的坐标分别是－4,－1，则AB与｜eq\o(AB，\s\up6（→））｜分别是A．－3，3B．3，3C．3,－310．已知M、P、N三点在数轴上,且点P的坐标是5,MP＝2，MN＝8，则点N的坐标为________．能力点一:数乘向量的概念及运算11．设P是△ABC所在平面内的一点，Beq\o(C，\s\up6(→）)＋Beq\o(A，\s\up6(→）)＝2Beq\o(P,\s\up6(→))，则A．Peq\o（A,\s\up6（→）)＋Peq\o（B,\s\up6(→))＝0B．Peq\o（C,\s\up6（→))＋Peq\o（A,\s\up6（→））＝0C．Peq\o(B，\s\up6(→）)＋Peq\o（C,\s\up6（→)）＝0D．Peq\o（A,\s\up6(→)）＋Peq\o(B，\s\up6(→))＋Peq\o（C，\s\up6(→）)＝012．（2010湖北高考,文8）已知△ABC和点M满足Meq\o（A,\s\up6（→）)＋Meq\o（B,\s\up6(→)）＋Meq\o(C，\s\up6(→））＝0，若存在实数m使得Aeq\o(B,\s\up6（→））＋Aeq\o(C，\s\up6（→）)＝meq\o(AM，\s\up6(→））成立，则m等于A．2B．3C．413．将eq\f（1，12)［2（2a＋8b)－4(4a－2b)］化简成最简式为________．14．计算：(1）6（3a－2b)＋9（－2a＋(2）eq\f(1,2)［(3a＋2b）－eq\f（2，3）a－b］－eq\f(7,6)[eq\f（1，2)a＋eq\f（3,7)(b＋eq\f(7,6)a）]．15．设x、y是未知向量．①解方程5（x＋a)＋3(x－b）＝0；②解方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(1，2）x－y＝a，，x－\f(1,2)y＝b.））

能力点二：用已知向量表示未知向量16．如图所示,在△ABC中，eq\o（BD,\s\up6(→）)＝eq\f(1，2)eq\o（DC,\s\up6(→)）,eq\o（AE，\s\up6(→))＝3eq\o（ED,\s\up6（→)），若eq\o（AB,\s\up6（→)）＝a,eq\o（AC，\s\up6(→))＝b，则eq\o（BE,\s\up6（→）)等于A。eq\f（1，3)a＋eq\f（1，3）bB．－eq\f（1,2）a＋eq\f(1,4）bC。eq\f(1，2)a＋eq\f(1，4)bD．－eq\f（1,3)a＋eq\f(1,3）b17．（2010全国高考Ⅱ,文10）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若eq\o（CB,\s\up6(→))＝a，eq\o（CA，\s\up6(→)）＝b，|a|＝1，｜b｜＝2，则eq\o（CD,\s\up6（→））等于A。eq\f(1，3)a＋eq\f（2，3）bB。eq\f（2，3)a＋eq\f（1，3）bC。eq\f(3，5)a＋eq\f(4，5）bD.eq\f(4，5）a＋eq\f(3,5）b18．如下图,在梯形ABCD中,AD∥BC,Oeq\o(A，\s\up6（→））＝a,Oeq\o(B,\s\up6（→））＝b，Oeq\o(C,\s\up6（→))＝c，Oeq\o（D，\s\up6(→)）＝d，且E、F分别为AB、CD的中点，则Eeq\o(F,\s\up6（→))＝__________。19．梯形ABCD(如下图）中，AB∥CD且AB＝2CD，M、N分别是DC与AB的中点．若Aeq\o(B，\s\up6（→))＝a，Aeq\o(D，\s\up6（→))＝b,试用a，b表示Beq\o（C,\s\up6(→)）和Meq\o（N,\s\up6(→))。能力点三：平面向量基本定理的应用20．已知a＝xe1＋2e2与b＝3e1＋ye2共线，且e1、e2不共线，则xy的值为A．6B。eq\f(2,3）C．－6D．－eq\f(2,3）21．已知三点A、B、C共线,且eq\o（AB，\s\up6(→））＝－eq\f（2，3)eq\o(CB，\s\up6（→）），则eq\o(AB,\s\up6（→))＝________eq\o(CA,\s\up6(→)）.22．已知向量a＝2e1－3e2,b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共线，向量c＝2e1－9e2,问是否存在这样的实数λ、μ,使d＝λa＋μb与c共线？23．在OACB中，BD＝eq\f(1,3)BC，OD与BA交于点E，求证：BE＝eq\f(1,4)BA.24．如下图，已知eq\o(OA，\s\up6(→））＝3e1,eq\o（OB,\s\up6(→）)＝3e2，(1）若C、D是AB的三等分点,求eq\o(OC,\s\up6（→)）,eq\o(OD，\s\up6（→））。(用e1，e2表示)(2）若C、D、E是AB的四等分点，求eq\o(OC，\s\up6（→))，eq\o(OD,\s\up6（→)）,eq\o（OE，\s\up6(→)）.（用e1,e2表示)答案与解析1．C由数乘向量的定义知①②正确．2．B｜λa|＝｜λ｜·|a|。3．A由eq\o（BD，\s\up6（→))＝2eq\o（DC，\s\up6(→）)得eq\o（AD,\s\up6(→))－eq\o（AB,\s\up6（→))＝2（eq\o（AC，\s\up6(→）)－eq\o（AD，\s\up6（→)）），∴3eq\o（AD,\s\up6(→))＝eq\o（AB,\s\up6(→））＋2eq\o(AC,\s\up6（→)）＝c＋2b。故eq\o（AD,\s\up6(→）)＝eq\f（1,3)c＋eq\f(2，3)b.4．－25．D6．C选项A中，b＝－2a；选项B中，a＝4b；选项D中，a＝－eq\f（3，2)b。7．B∵a∥b，∴设a＝λb，即3e1－4e2＝λ（6e1＋ke2）．∵e1与e2不共线，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（3－6λ＝0，，4＋λk＝0。))∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f（1,2)，,k＝－8.))8．证明：∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6（→))＋eq\o（BC，\s\up6(→）)＋eq\o（CD,\s\up6（→）)＝(2e1＋3e2）＋(6e1＋23e2)＋（4e1－8e2)＝12e1＋18e2＝6（2e1＋3e2),又∵eq\o（AB,\s\up6(→)）＝2e1＋3e2，∴eq\o（AD，\s\up6(→)）＝6eq\o（AB，\s\up6（→）)。∴eq\o(AD，\s\up6(→）)与eq\o(AB，\s\up6(→）)共线．∴A、B、D三点共线．9．BAB＝xB－xA＝(－1）－(－4)＝3,｜eq\o(AB，\s\up6（→）)|＝3.10．11MP＝xP－xM＝2，∴xM＝xP－2＝5－2＝3。又∵MN＝xN－xM＝8，∴xN＝8＋xM＝11。能力提升11．B∵eq\o(BC,\s\up6（→））＋eq\o（BA,\s\up6(→)）＝2eq\o（BP，\s\up6（→）），∴由向量加法法则知，P为AC中点，∴eq\o（PC，\s\up6(→））＋eq\o(PA，\s\up6（→))＝0.12．B设BC的中点为D,由已知条件可得M为△ABC的重心，Aeq\o(B,\s\up6（→）)＋Aeq\o（C,\s\up6(→)）＝2Aeq\o（D,\s\up6(→))，又Aeq\o(M，\s\up6(→）)＝eq\f（2，3)Aeq\o（D,\s\up6(→))，故m＝3。13．－a＋2b14．解：（1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.（2)原式＝eq\f（1,2）（3a－eq\f(2,3）a＋2b－b）－eq\f(7,6)(eq\f(1，2）a＋eq\f（1,2)a＋eq\f（3,7)b）＝eq\f（1,2）(eq\f(7,3）a＋b）－eq\f（7,6）(a＋eq\f（3，7）b）＝eq\f(7，6）a＋eq\f（b，2)－eq\f（7，6)a－eq\f(1,2)b＝0。15．解：①原方程可变为5x＋5a＋3x－3b＝0，8x＝－5a＋3b。∴x＝－eq\f(5，8）a＋eq\f（3,8）b。②把第1个方程的－2倍与第2个方程相加，得eq\f(3,2)y＝－2a＋b，从而y＝－eq\f（4,3）a＋eq\f(2,3）b.代入原来第2个方程得x＝－eq\f(2，3）a＋eq\f（4，3）b。∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－\f（2，3)a＋\f(4,3）b，，y＝－\f（4,3)a＋\f（2,3)b。）)16．Beq\o(BD，\s\up6（→)）＝eq\f（1，3)eq\o(BC,\s\up6（→)）＝eq\f(1，3)(b－a），eq\o(DE，\s\up6(→）)＝eq\f（1,4)eq\o（DA,\s\up6（→）)＝eq\f（1,4)（eq\o（BA，\s\up6（→))－eq\o（BD,\s\up6(→)））＝－eq\f(1，6)a－eq\f（1，12)b，∴eq\o(BE，\s\up6（→））＝eq\o(BD，\s\up6(→))＋eq\o(DE，\s\up6（→）)＝－eq\f(1，2）a＋eq\f（1，4)b.17．B∵CD平分∠ACB，∴eq\f（｜\o（CA，\s\up6（→)）｜，|\o（CB，\s\up6（→））｜)＝eq\f（|\o（AD,\s\up6（→)）｜,|\o（DB,\s\up6（→))|）＝eq\f(2,1).∴eq\o(AD,\s\up6（→）)＝2eq\o(DB，\s\up6(→））＝eq\f（2,3)eq\o(AB,\s\up6（→）)＝eq\f(2，3）(eq\o(CB，\s\up6（→）)－eq\o(CA,\s\up6(→)）)＝eq\f(2,3）（a－b）．∴eq\o（CD,\s\up6（→））＝eq\o(CA,\s\up6(→）)＋eq\o(AD，\s\up6(→））＝b＋eq\f（2，3）（a－b)＝eq\f（2,3）a＋eq\f（1，3）b。18.eq\f（1,2）（c＋d－a－b)19．解：解法一：连结CN,N为AB中点．∵AN∥DC,AN＝DC,∴四边形ANCD为平行四边形，有eq\o(CN,\s\up6（→)）＝－eq\o(AD，\s\up6(→))＝－b。∴eq\o(BC，\s\up6(→))＝Neq\o(C，\s\up6（→）)－Neq\o（B，\s\up6(→）)＝b－eq\f（1，2）a.∴eq\o(MN,\s\up6(→)）＝eq\o（CN,\s\up6（→）)－eq\o(CM,\s\up6(→））＝eq\o(CN，\s\up6(→）)＋eq\f(1,2)eq\o（AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4）a－b。解法二：梯形ABCD中，有eq\o(AB,\s\up6（→))＋eq\o(BC,\s\up6(→））＋eq\o(CD,\s\up6(→））＋eq\o(DA,\s\up6（→）)＝0，即a＋eq\o（BC，\s\up6(→））＋(－eq\f(1,2)a）＋(－b）＝0。可得eq\o（BC，\s\up6(→))＝b－eq\f(1,2)a。在四边形ADMN中,eq\o（AD,\s\up6(→）)＋eq\o（DM,\s\up6（→)）＋eq\o(MN，\s\up6（→))＋eq\o(NA,\s\up6（→）)＝0，即b＋eq\f（1，4）a＋eq\o(MN，\s\up6(→）)＋（－eq\f（1,2)a)＝0，∴eq\o(MN,\s\up6(→）)＝eq\f（1,4）a－b。20．A设a＝λb，即xe1＋2e2＝λ（3e1＋ye2)．又e1、e2不共线，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3λ，,2＝λy，))消去λ得xy＝6.21．－eq\f(2，5)22．解：设存在λ、μ使得d与c共线，并设m(2e1－9e2)＝λ（2e1－3e2）＋μ（2e1＋3e2)，则m＝λ＋μ且m＝eq\f（λ－μ，3)，解得λ＝－2μ,即存在实数λ、μ,使得d＝λa＋μb与c共线．23．解:如下图,设E′是线段BA上的点,且BE′＝eq\f（1，4)BA，只要证E、E′重合即可，设eq\o（OA，\s\up6（→)）＝a，eq\o(OB,\s\up6（→))＝b,则eq\o（BD，\s\up6(→））＝eq\f(1，3)a，eq\o（OD，\s\up6(→）)＝b＋eq\f（1,3)a。又∵eq\o(BE′,\s\up6（→)）＝eq\o（OE′，\s\up6(→）)－b，eq\o(E′A,\s\up6(→）)＝a－eq\o（OE′，\s\up6(→))，3eq\o(BE′，\s\up6(→））＝eq\o(E′A，\s\up6(→)),∴3(eq\o（OE′，\s\up6(→))－b)＝a－eq\o（OE′,\s\up6（→)).∴eq\o（OE′，\s\up6(→）)＝eq\f（1，4)(a＋3b)＝eq\f(3,4）（b＋eq\f（1，3）a）．∴eq\o（OE′,\s\up6（→）)＝eq\f（3,4）eq\o（OD，\s\up6(→）)，∴O、E′、D三点共线,即E、E′重合．∴BE＝eq\f(1，4）BA.拓展探究24．解：(1)∵C、D是AB的三等分点，∴eq\o（AC，\s\up6（→）)＝eq\o(CD，\s\up6（→））＝eq\o（DB,\s\up6(→))＝eq\f(1，3)eq\o（AB，\s\up6(→)）＝eq\f（1,3)（eq