勾股定理及其应用课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

20.1勾股定理及其应用勾股定理的证明及简单应用1.如图，画一个Rt△ABC，使得a＝3，b＝4，

测得c＝

，

则a2＋b2＝

，

c2＝

，

所以a2＋b2

c2.

提出问题：以上结论对任意直角三角形都成立吗？52525＝2.（新教材P24赵爽弦图改编）如图，用4个全等的直角三

角形拼成一个大正方形，则：(1)大正方形的面积为

；(2)大正方形的面积还可以

表示为

；(3)于是得到等式

，

化简为

．(a＋b)2

c2＋2ab(a＋b)2＝c2＋2aba2＋b2＝c2勾股定理：直角三角形中两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．几何语言：如图,∵

,∴

．∠C＝90°a2＋b2＝c23.(新教材P25T1改编)如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,

BC＝5,AC＝12,求AB的长．解：在Rt△ABC中,∠C＝90°,∴AB＝

＝

＝13.4.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝6,AC＝8,求AB的长．

解：在Rt△ABC中,∠C＝90°,∴AB＝

＝

＝10.5.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,AB＝c.若

a＝2,b＝2,求c及△ABC的周长．解：在Rt△ABC中,∠C＝90°,∴c＝

＝

＝4.∴△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2＋4＝6＋2.6.(新教材P26T3改编)如图,在平面直角坐标系中有点

A(5,0),B(0,4),C(－4,0).(1)求A,B两点间的距离；(2)△BOC的周长＝

．解：(1)在Rt△AOB中,根据勾股定理,AB2＝OA2＋OB2＝42＋52＝41,∴AB＝.7.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝6,BC＝3,求AC的长

及△ABC的面积．解：在Rt△ABC中,∠C＝90°,∴AC＝

＝

＝3.∴S△ABC＝

AC·BC＝

×3×3＝.总结：(1)已知直角三角形任意两边,必可用勾股定理求出第三边．(2)若直角三角形的三边是正整数,则称这三个数为勾股数．(3)常见勾股数：①3,4,5；②6,8,10；③5,12,13.8.在Rt△ABC中,斜边BC＝,则BC2＋AB2＋AC2＝

．9.(新教材P26T3改编)在平面直角坐标系中,点P(－15,8)到

原点的距离是

．41710.(新教材P23探究改编)如图,每个小方格的面积均为1,

△ABC为直角三角形,∠ACB＝90°,三个正方形的面积分

别为S1,S2,S3.(1)S1＝

,S2＝

,S3＝

；(2)S1,S2,S3之间的数量关系为

．4913S1＋S2＝S311.(新教材P26T2改编)如图是一株美丽的勾股树,其中所有

的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形．

若正方形A,B,C,D的面积分别是3,5,2,3,则正方形E

的面积是

,正方形F的面积是

,正方形G的面积是

．851312.(新教材P29T2)如图,等边三角形ABC的边长为6,求：(1)高AD的长；(2)等边三角形ABC的面积．解：(1)∵△ABC是等边三角形,AD为高,∴BD＝CD＝

BC＝

×6＝3.在Rt△ABD中,AD＝

＝

＝3.(2)∵BC＝6,AD＝3,∴S△ABC＝

BC·AD＝9.13.(新教材P32阅读与思考改编)勾股定理的证明方法有400

多种,其中一种方法是：将两个全等的Rt△ABE和

Rt△DEC按如图所示的方式摆放,使点A,E,D在同一条

直线上,∠A＝∠D＝90°,则可借助图中几何图形的面积

关系来证明a2＋b2＝c2.请写出证明过程．证明：如图,连接BC.∵Rt△ABE≌Rt△DEC,∴∠AEB＝∠DCE,BE＝EC＝c.∵∠D＝90°,∴∠DCE＋∠DEC＝90°.∴∠AEB＋∠DEC＝90°.∴∠BEC＝90°.∴△BEC是等腰直角三角形．∵S梯形ABCD＝SRt△ABE＋SRt△CDE＋SRt△BEC,∴.∴.∴a2＋b2＝c2.

勾股定理的应用(1)1.(新教材P27T2改编)如图,长13m的梯子靠在墙上,梯

子的底部离墙角5m,求梯子的顶端离地面的距离AB的值．解：在Rt△ABC中,∠ABC＝90°,∴AB＝

＝

＝12(m).2.(新教材P30T2改编)如图,一棵树在离地面6米处(点B)折

断,树顶部(点A)落在离树底部(点C)8米处,则树折断前有

多高？解：在Rt△ABC中,∠C＝90°,∴AB＝=10(米).∴AB＋BC＝10＋6＝16(米).答：树折断前高16米．3.(新教材P26例2改编)一个门框的尺寸如图所示．(1)求AC的长．(2)一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？

为什么？(≈2.24)解：(1)在Rt△ABC中,根据勾股定理,AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5,∴AC＝≈2.24m.(2)∵2.24>2.2,∴一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能从门框内通过．4.(新教材P30T4改编)一个长方形零件的尺寸(单位：mm)

如图所示,求两孔中心A和B的距离．解：依题意,得AC＝150－60＝90(mm),BC＝180－60＝120(mm).在Rt△ABC中,根据勾股定理,AB2＝AC2＋BC2＝902＋1202＝1502.∴AB＝150mm.∴两孔中心A和B的距离为150mm.5.如图,一架长25m的梯子AB斜靠在竖直的墙上,梯子

底端离墙7m.(1)此时梯子顶端离地面多少米？(2)若梯子顶端下滑4m,则梯子底端将向

左滑动多少米？解：(1)依题意,得AB＝25m,BE＝7m.在Rt△ABE中,∠E＝90°,答：此时梯子顶端离地面24m.∴AE＝

＝24(m).(2)依题意,得CD＝25m,CE＝24－4＝20(m).在Rt△CDE中,∠E＝90°,∴DE＝

＝15(m).∴BD＝DE－BE＝15－7＝8(m).答：梯子底端将向左滑动8m．6.(新教材P26例3改编)如图,一架长5m的梯子AB斜靠在一

竖直的墙上,这时AO的距离为4m．如果梯子的顶端A沿

墙下滑1m,那么梯子底端B外移多少米？解：∵AB＝5m,AO＝4m,∠AOB＝90°,∴BO＝

＝3(m).∵OC＝AO－AC＝4－1＝3(m),CD＝5m,∠COD＝90°,∴OD＝

＝4(m).∴BD＝OD－OB＝1(m).答：梯子底端B外移1m．7.(新教材P28引例改编)如图,O为数轴原点,首先在数轴上

找出表示3的点A,则OA＝3,然后过点A作直线l垂直于OA,

在l上取点B,使AB＝2.最后以原点O为圆心,OB长为半径

作弧,则弧与数轴正半轴的交点C表示的实数为

．8.(2025·海珠区期末改编)如图,在数轴上,以原点O为圆心、

OB为半径画弧交数轴于点A.若点A所表示的数为x,则x

的值为()A．B．－C．2

D．－1B9.如图,根据图形中的已知条件,可求得阴影部分(半圆)的

面积是

cm2.8π10.如图,有一块长方形花圃,有少数人为了避开拐角走“捷

径”,在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了

m

的路,却踩伤了花草．411.如图,在边长为1的小正方形网格中,线段AB的端点都在

格点上(小正方形的顶点叫格点).(1)【实践与操作】在网格内以AB为边作正方形ABCD；

(点C,D在格点上)(2)【应用与计算】线段AB的长为

,正方形ABCD的面

积为

．解：(1)如图,正方形ABCD即为所求．2012.如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝,BC＝2.(1)AB＝

；(2)已知D是AB上一点,连接CD,当CD的长度最短时,AD

＝

．5113.(新教材P28思考改编)在八年级上册中,我们曾经通过探

究得出结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三

角形全等,学习了勾股定理后,你能证明这一结论吗？

先画出图形,再写出已知、求证如下：

已知：如图,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C＝∠C′＝90°,AB＝A′B′,AC＝A′C′.求证：

．证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C＝∠C′＝90°,根据勾股定理,BC＝,B′C′＝

．又∵AB＝A′B′,AC＝A′C′,∴

．∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).△ABC≌△A′B′C′BC＝B′C′勾股定理的应用(2)

直角三角形中,已知任意两边求第三边1.如图,在Rt△ABC中,BC＝5,AB＝13,则AC＝

.2.一直角三角形的两边长分别为1,2,则第三边的长为

．12

勾股定理与方程思想3.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,已知BC＝5,AB＝AC

＋1,求AC的长．解：在Rt△ABC中,∠C＝90°,∴AC2＝AB2－BC2＝(AC＋1)2－25,解得AC＝12.4.(新教材P44T7改编)如图,大风把一棵树刮断,已知被刮断前树高8m,AC＝4m,求树折断处与地面的距离(即BC的长).解：在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝8－BC,∴(8－BC)2＝BC2＋16,解得BC＝3.答：树折断处与地面的距离为3m．

勾股定理与折叠5.(新教材P31T11改编)如图,在Rt△ABC中,∠B＝90°,

AB＝3,AC＝5.将△ABC折叠,使点C与点A重合,折痕为

DE,求BE的长．解：在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC＝＝＝4.由折叠知AE＝EC,∴AE＋BE＝4.在Rt△ABE中,∠B＝90°,∴AE2＝AB2＋BE2.∴(4－BE)2＝32＋BE2,解得BE＝.6.如图,在Rt△ABC中,∠B＝90°,AB＝6,BC＝8.将△ABC折叠,使点B恰好落在斜边AC上,与点B′重合,AE为折痕,求EB′的长．解：设EB′＝x.∵∠B＝90°,AB＝6,BC＝8,∴AC＝＝10.由折叠的性质可知,BE＝EB′＝x,AB′＝AB＝6,∠EB′A＝∠B＝90°,∴CB′＝AC－AB′＝4,EC＝BC－BE＝8－x.在Rt△EB′C中,由勾股定理,得EB′2＋CB′2＝EC2,即x2＋42＝(8－x)2,解得x＝3.∴EB′＝3.总结：①由折叠区域全等,得对应边、对应角相等；②在“非折叠区域(一般是直角三角形)”,设x列方程求解．7.在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝6,BC＝8,则斜边上的高是()A．10B．2.4C．4.8D．5C8.在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC∶AC＝3∶4,AB＝25cm,则BC＝

.15cm9.(新教材P31T9改编)如图,一处台阶的高h＝20cm,为了行走方便,准备在台阶处修建一个水泥坡道．如果所修坡道的坡度为,那么所修坡道的长度l为多少？(结果保留根号)解：∵h＝20cm,＝,∴d＝200cm.由勾股定理,得l2＝h2＋d2＝40400.∴l＝＝20(cm).答：所修坡道的长度l为20cm.10.(新教材P31T10改编)如图,池底是一个正方形,边长为10尺,在水池的正中央有一根芦苇,它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面,求这根芦苇的长度．解：设这根芦苇的长度为x尺．依题意,得(x－1)2＋(10÷2)2＝x2,解得x＝13.答：这根芦苇的长度为13尺．11.【重要模型】如图,在平面直角坐标系中,将长方形

AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上),折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为(10,8),求点E的坐标．解：依题意,设点E的坐标为(10,m).由折叠可知,EF＝DE＝8－m,AF＝AD＝10.又∵AO＝CD＝8,∴在Rt△AOF中,根据勾股定理,可得OF＝＝6.∴CF＝OC－OF＝10－6＝4.在Rt△CEF中,根据勾股定理,可得CE2＋CF2＝EF2,即m2＋42＝(8－m)2,解得m＝3.∴点E的坐标为(10,3).12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AB＝5cm,AC＝3cm.动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动,设运动的时间为ts．(1)求边BC的长；(2)当△ABP为直角三角形时,求t的值．解：(1)在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC＝＝＝4(cm)．(2)依题意,得BP＝tcm.①当∠APB为直角时,如答图1,点P与点C重合,BP＝BC＝4cm,∴t＝4；②当∠BAP为直角时,如答图2,BP＝tcm,CP＝(t－4)cm,AC＝3cm.在Rt△ACP中,AP2＝AC2＋CP2＝32＋(t－4)2.在Rt△BAP中,AP2＝BP2－AB2＝t2－52.∴32＋(t－4)2＝t2－52,解得t＝.综上所述,当△ABP为直角三角形时,t的值为4或.勾股定理的应用(3)——特殊直角三角形

勾股定理与等腰直角三角形1.如图所示,求下列三角形中未知的两条边长．解：①∵∠C＝90°,∠A＝45°,∴BC＝AC＝2.∴AB＝＝2.②∵∠C＝90°,∠A＝45°,∴AC＝BC,AC2＋BC2＝AB2＝4.∴AC＝BC＝.2.(新教材P30T7(2)改编)如图,在△ABC中,∠C＝90°,∠A＝45°,AB＝10,求BC,AC的长．解：∵∠C＝90°,∠A＝45°,AB＝10,∴BC＝AC,BC2＋AC2＝AB2＝100.∴BC＝AC＝5.勾股定理与含30°角的直角三角形3.根据图中信息解答下列问题．(1)图1中,AB＝

,BC＝

；(2)图2中,AC＝

,BC＝

；41(3)图3中,求AC的长．解：(3)设AC＝x,则AB＝2x.在Rt△ABC中,由勾股定理,得(2x)2＝x2＋22,解得x＝.∴AC＝.4.(新教材P30T7(1)改编)如图,在△ABC中,∠C＝90°,∠A＝30°.(1)若BC＝3,则AB＝

,AC＝

；(2)若AC＝3,求AB和BC的长．6解：(2)设BC＝x,则AB＝2x.在Rt△ABC中,由勾股定理,得(2x)2＝x2＋32,解得x＝,∴AB＝2,BC＝.总结：①等腰直角三角形的三边长之比为1∶1∶；②含30°角的直角三角形的三边长之比为1∶2∶；③含30°或45°角的直角三角形中,已知任一边可求另外两边．5.如图,在△ABC中,BC＝2,∠A＝45°,∠B＝60°,求AC的长．解：如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D.∵∠B＝60°,∠BDC＝90°,BC＝2,∴BD＝BC＝1.∴CD＝＝.∵∠A＝45°,∠ADC＝90°,∴AC＝CD＝.6.如图,在△ABC中,∠B＝30°,∠C＝45°,AC＝,求

BC的长．解：如图,过点A作AD⊥BC于点D.∵∠C＝45°,∠ADC＝90°,AC＝,∴AD＝CD＝＝＝1.∵∠B＝30°,∠ADB＝90°,∴BD＝AD＝.∴BC＝BD＋CD＝＋1.【方法技巧】在含“30°,45°”或“60°,45°”的三角形中,常通过作高得到两个共边的特殊直角三角形求解．7.如图,一建筑物AB的高为6m,当太阳光与地面的夹角为60°时,求其影子AC的长度．解：由题意,得∠ACB＝60°,AB⊥AC,∴∠ABC＝90°－∠ACB＝30°.∴AC＝＝＝2