2025届高三数学一轮总复习 第九章 第四讲 随机事件与概率配套课件

第四讲随机事件与概率2025年高考一轮总复习第九章

计数原理、概率、随机变量及其分布1.频率与概率

(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称

(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加会逐渐稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).内容定义符号表示包含关系若事件A发生，事件B一定发生，则称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等A＝B2.事件的关系与运算内容定义符号表示

并事件(和事件)事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，则称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)

交事件(积事件)事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，则称这样的事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)(续表)内容定义符号表示互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅且A∪B＝Ω(续表)3.概率的基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(Ω)＝1.(3)不可能事件的概率P(∅)＝0.(4)互斥事件的概率如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).(6)如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).(7)设A，B是一个随机试验中的两个事件，则有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).【名师点睛】概率加法公式的推广

当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).【常用结论】

(1)当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥.两事件互斥是对立的必要不充分条件. (2)随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率.

考点一随机事件与样本空间1.在5张电话卡中，有3张A卡和2张B卡，从中任取2张，()A.至多有一张A卡C.都不是A卡

B.恰有一张A卡D.至少有一张A卡解析：由题意知“2张全是A卡”的对立事件是“至多有一选A.答案：A2.(多选题)袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小)球，从中取出两个，下列事件是基本事件的是( A.取出的两球标号为3和7 B.取出的两球标号的和为4 C.取出的两球的标号都大于3 D.取出的两球的标号的和为8

解析：基本事件即只含有一个样本点的事件，选项A，B，C都只含有一个样本点，是基本事件；D中包含取出标号为1和7，3和5两个样本点，所以D不是基本事件.答案：ABC

3.(一题两空)从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________________________，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为________.

解析：任选一个数，共有10种不同选法，故样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其中偶数共有5个，故“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为5.答案：Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}

5【题后反思】(1)判断事件类型要看事件的发生是否具有随机性，搞清事件发生的条件.(2)确定样本空间的方法①必须明确事件发生的条件；

②根据题意，按一定的次序列出样本空间.特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.

考点二事件的关系与运算

1.盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件E＝{3个红球}，那么事件C与A，B，E的运算关系是()A.C＝(A∩B)∪EC.C＝(A∪B)∩E

B.C＝A∪B∪ED.C＝A∩B∩E

解析：事件C要求抽出的3个球中至少有1个红球，共有3种情况，即抽出了1个、2个或者3个红球.而上述三种情况又分别对应事件A、事件B和事件E，因此C＝A∪B∪E.故选B.答案：B2.(多选题)从有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是()A.“至少一个红球”和“都是红球”是互斥事件B.“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件C.“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件D.“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件

解析：“至少一个红球”和“都是红球”的交事件为“都是红球”，因此“至少一个红球”和“都是红球”不互斥，故A错误.“恰有一个黑球”和“都是黑球”不能同时发生，两者互斥，故B正确.“至少一个黑球”的对立事件是“没抽出黑球”，即“都是红球”，因此“至少一个黑球”和“都是红球”互为对立事件，故C正确.除了“恰有一个红球”或“都是红球”以外，还有可能是“没抽出红球”，因此“恰有一个红球”和“都是红球”不互为对立事件，故D错误.故选BC.答案：BC

3.(一题两空)对气球连续射击两次，每次发射一枚弓箭，设A＝{两次都击中气球}，B＝{两次都没击中气球}，C＝{恰有一次击中气球}，D＝{至少有一次击中气球}，其中彼此互斥的事件是________________________，互为对立事件的是________.

解析：A∩B＝A∩C＝B∩C＝B∩D＝∅，因此AB，AC，BC，BD均为互斥事件.对于BD而言，除了B或D以外没有其他可能的情况，BD互为对立事件.答案：AB，AC，BC，BD

BD【题后反思】(1)判断互斥、对立事件的两种方法

①定义法：不可能同时发生的两个事件为互斥事件；若两个事件中有且仅有一个发生，则称这两个事件互为对立事件； ②集合法：由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥；事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.

(2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系和运算用Venn图分析事件.电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1考点三随机事件的频率与概率[例1]电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

(2)随机选取1部电影，求这部电影没有获得好评的概率； (3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化.那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50.(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.频率本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率值也可能会不同概率本身是一个在[0，1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变【题后反思】频率与概率的区别【变式训练】

某河流上有一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(毫米)有关.据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.降雨量70110140160200220频率(1)完成下面的近20年六月份降雨量频率分布表.

(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率.解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，

故近20年六月份降雨量频率分布表如下.考点四互斥事件、对立事件的概率

[例2](1)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C.求：①P(A)，P(B)，P(C)；②1张奖券的中奖概率；③1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.次品)中，任意抽取2个，下列事件发生概率为的是((2)(2021年河南省模拟)从5个同类产品(其中3个正品，2个)A.2个都是正品B.恰有1个是正品C.至少有1个正品D.至多有1个正品答案：C1－P(A)，即运用逆向思维“正难则反”.特别是“至多”“至少”【题后反思】求复杂的互斥事件的概率的方法(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算.(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝－型题目，用间接求法更为简便.

提醒：(1)应用互斥事件概率的加法公式，一定要先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和(或差).间接法体现了“正难则反”的思想方法.(2)应用概率加法公式解决问题的关键在于理解两个事件A，B的交事件A∩B的含义，准确求出其概率.

【变式训练】

1.(2021年抚州市月考)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝“抽到一等品”，事件B＝“抽到二等品”，事件C＝“抽到三等品”，且已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.15，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为(

)A.0.35B.0.65C.0.7D.0.3解析：事件“抽到的不是一等品”与事件“抽到一等品”互A为对立事件，所以事件“抽到的不是一等品”的概率P(

)＝1－P(A)＝1－0.7＝0.3.故选D.答案：D－＝0.3，P(B)＝0.6，P(C)＝0.2，则P(A∪B∪C)＝________.2.(2021年黄山市期末)已知三个事件A，B，C两两互斥且P(A)－B解析：三个事件A，B，C两两互斥，因为P(

)＝0.6，所以P(B)＝1－0.6＝0.4，则P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.3＋0.4＋0.2＝0.9.答案：0.9－⊙用“正难则反”的思想求对立事件的概率

[例3](1)(2021年湖州市期末改编)现有5个不同编号的小球，其中黑色球2个，白色球2个，红色球1个，若将其随机排成一列，则相同颜色的球不都相邻的概率是________.排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04(2)(2021年洛阳市模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：①至多2人排队等候的概率是多少？②至少3人排队等候的概率是多少？

解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥.

①记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. ②记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.

【反思感悟】“正难则反”的思想是一种常见的数学思想，如反证法、补集的思想都是“正难则反”思想的体现.在解决问题时，如果从问题的正面入手比较复杂或不易解决，那么尝试采用“正难则反”思想往往