2025届高三数学一轮总复习 第九章 第一讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理配套课件

第一讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理2025年高考一轮总复习第九章

计数原理、概率、随机变量及其分布1.分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.2.分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n

种不同的方法.项目分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种数不同点分类、相加分步、相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事，且互不重复每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)【常见结论】两个计数原理的区别与联系

考点一分类加法计数原理的应用1.(2023年太原市期中)现有1元、5元、10元、20元和50元的人民币各1张，用它们可以组成的不同币值的种数为()A.31B.32C.63D.64故共有5＋10＋10＋5＋1＝31(种)不同的币值.故选A.答案：A

2.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则称这样的三位数为“凸数”(如120，343，275等)，那么所有“凸数”的个数为(

) A.240 C.729

B.204D.920

解析：若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个.若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个).若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个).所以所有“凸数”有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个).故选A.答案：A

3.如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个.

解析：当有三个1时有2111，3111,4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141九种情况，当有三个2，3或4时有2221，3331，4441三种情况，根据分类加法计数原理可知，共有12种情况.答案：12

考点二分步乘法计数原理的应用

[例1](1)某学校的3个班级将要去甲、乙、丙、丁4个工厂参观学习，要求每个班只能去1个工厂参观学习，且甲工厂必须有班级参观学习，则不同的参观方案有()A.16种B.25种C.37种D.48种

解析：每个班级都可以从这4个工厂中选1个参观学习，各有4种选择，根据分步乘法计数原理，共有43＝64(种)参观方案，若甲工厂没有班级参观学习，此时每个班级都可以从其余3个工厂中选1个参观学习，各有3种选择，共有33＝27(种)参观方案，所以甲工厂必须有班级参观学习，不同的参观方案有64－27＝37(种).答案：C(2)(多选题)有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是()A.每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有34

种B.每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有43种C.每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种D.每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有33

种

解析：对于A，第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法，后面的2个同学也均有3种报法，根据分步乘法计数原理知共有34种报法，A正确，B错误；对于C，每个社团限报一个人，则第1个社团有4种选择，第2个社团有3种选择，第3个社团有2种选择，根据分步乘法计数原理知共有4×3×2＝24(种)结果，C正确，D错误.答案：AC【题后反思】利用分步乘法计数原理解题的策略(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的.(2)将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成.【变式训练】

1.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答).

解析：甲有7种站法，乙有7种站法，丙有7种站法，故不考虑限制共有7×7×7＝343(种)站法，其中三个人站在同一级台阶上有7种站法，故符合本题要求的不同站法有343－7＝336(种).答案：336

2.某次活动中，有30个人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________(用数字作答).

解析：最先选出的1个人有30种选法，则这个人所在的行和列不能再选人，还剩一个5行4列的队形，可知选第2个人有20种选法，则该人所在的行和列也不能再选人，还剩一个4行3列的队形，可知选第3个人有12种选法，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是30×20×12＝7200(种).答案：7200

考点三两个计数原理的综合应用

[例2](1)现有5种不同颜色的染料，要对如图9-1-1所示的四个不同区域进行涂色，要求相邻的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是(

)图9-1-1A.120B.140C.240D.260

解析：由题意，先涂A处共有5种涂法，再涂B处有4种涂法，然后涂C处，若C处与A处所涂颜色相同，则C处共有1种涂法，D处有4种涂法；若C处与A处所涂颜色不同，到C处有3种涂法，D处有3种涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(种).故选D.答案：D

(2)甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，0，2，1，5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为()A.5B.24C.32D.64

解析：5日至9日，即5，6，7，8，9，有3天奇数日，2天偶数日，第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有23＝8(种)；第二步安排偶数日出行，分两类：第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其他车，有2×2＝4(种)；第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有22＝4(种)，共计4＋4＝8(种).根据分步乘法计数原理，不同的用车方案种数为8×8＝64(种).答案：D【题后反思】利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么.(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类.(3)弄清分步、分类的标准是什么.(4)利用两个计数原理求解.【变式训练】1.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中成60°角的面对角线共有()A.24对B.30对C.48对D.60对

解析：如图D85，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与面对角线AC成60°角的面对角线有B1C，BC1，A1D，AD1，AB1，A1B，D1C，DC1，共8条，同理与DB成60°角的面对角线也有8条.图D85又因为每对被计算了2次，因此成60°角的面对角线有

×96＝

因此一个面上的2条面对角线与其相邻的4个面上的8条对角线共组成16对.又正方体共有6个面，所以共有16×6＝96(对).48(对).故选C.答案：C

2.在例2(2)中，若甲的车牌尾数为9，他的四位同事的车牌尾数分别为0，2，1，5，其他条件不变，则不同的用车方案有多少种？解：由题意，从5日至9日，有3天奇数日，2天偶数日，第一步，安排偶数日出行，每天都有2种选择，共有2×2＝4(种)不同的选择；

第二步，安排奇数日出行，可分为两类：(1)选1天安排甲的车，共有3×2×2＝12(种)不同的选择；(2)不安排甲的车，每天都有2种选择，共有2×2×2＝8(种)不同的选择，综上可得，不同的用车方案种数为4×(12＋8)＝80(种).

3.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4名同学中恰有1名女同学的不同选法共有()A.150种C.300种

B.180种D.345种解析：这名女同学可以在甲组选出也可以在乙组选出，故分两类计算.答案：D⊙两个计数原理的创新应用

[例3]若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位(例如：134＋3802＝3936)，则称(m，n)为“简单的有序对”，称m＋n为有序对(m，n)的值，那么值为1942的“简单的有序对”的个数是________.解析：第1步，1＝1＋0，1＝0＋1，共2种组合方式；第2步，9＝0＋9，9＝1＋8，9＝2＋7，9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；第3步，4＝0＋4，4＝1＋3，4＝2＋2，4＝3＋1，4＝4＋0，共5种组合方式；第4步，2＝0＋2，2＝1＋1，2＝2＋0，共3种组合方式.根据分步乘法计数原理，值为1942的“简单的有序对”的个数为2×10×5×3＝300.答案：300【反思感悟】解决两个计数原理的创新应用问题的关键是要抓住题中给的新定义信息分步或分类进行推理.

【高分训练】

1.定义集合A与B的运算A*B为A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为()A.4B.8C.12D.16

解析：根据新定义，从集合A中，任选一个数，再从集合B中任选一个数，组成一个有序数对，即有3×4＝12(个)，故集合A*B的元素个数为12个.故选C.答案：C

2.埃及金字塔充满了各种未解之谜，在埃及金字塔内有组神秘的数字142857，因为142857×2＝285714，142857×3＝428571，142857×4＝571428，…，所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现：142＋857＝999，428＋571＝999，285＋714＝999，…，若从这组神秘数字中任选3个数