专题02平行线中的拐点模型之铅笔头模型（原卷版）2

专题02平行线中的拐点模型之铅笔头模型平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。模型2：铅笔头模型图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ，∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D，∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．例1．（2023·江苏南通·校考二模）如图，已知，，，则的度数是（

）A．80°B．120°C．100°D．140°例2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若，，则的度数为（）

A． B． C． D．例3．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，AB//ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（

）A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α例4．（2023下·广西南宁·七年级校考期末）如图，如果，那么（）

A． B． C． D．例5．（2023下·湖北武汉·七年级期末）如图，，，，已知，则的度数为．

例6．（2023下·江苏南通·七年级统考期末）如图，直线，点E，F分别是直线上的两点，点P在直线和之间，连接和的平分线交于点Q，下列等式正确的是（）

A． B． C． D．例7．（2023下·江苏南京·七年级统考期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，探索问题的解．

(1)如图1，，点E为、之间的一点．求证：．(2)如图2，，点E、F、G、H为、之间的四点．则______．(3)如图3，，则______．例8．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图中②，都有，，设镜子与的夹角．(1)如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由．(2)如图②，若，入射光线与反射光线的夹角，探索与的数量关系，并说明理由．(3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过为正整数，且次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数可用含有的代数式表示．

例9．（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）已知直线，点P在直线之间，连接．(1)如图1，若，直接写出的大小；(2)如图2，点Q在之间，，试探究和的数量关系，并说明理由；(3)如图3，的角平分线交CD于点M，且，点N在直线之间，连接，，直接写出的值（用含n的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）．课后专项训练1．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）如图，在五边形中，，则（

）

A． B． C． D．2．（2023上·四川绵阳·八年级统考开学考试）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，当时，的度数为（）

A．55° B．70° C．60° D．35°3．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，直线，，则（

）A．150° B．180° C．210° D．240°4．（2023下·河北邯郸·七年级校联考阶段练习）如图，将直线m按箭头所指方向平移至直线n，若，则的度数为（）

A． B． C． D．5．（2023·安徽安庆·八年级统考期中）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若，则（

）

A． B． C． D．6．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，则的度数为（

）

A． B． C． D．7．（2023下·广东中山·七年级校联考期中）如图，已知：，则（

）

A． B． C． D．8．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）如图，在五边形中，,，则的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．70°9．（2023下·黑龙江绥化·七年级校考期末）如图，已知，则．

10．（2022上·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，已知，平分，平分，，，则的度数为．（用含n的式子表示）11．（2023下·吉林·七年级统考阶段练习）如图，，平分，若，，则．

12．（2023下·江苏镇江·七年级统考期末）如图是某小区大门的道闸栏杆示意图，立柱垂直于地面于点A，当栏杆达到最高高度时，横栏，此时则，．

13．（2023上·四川绵阳·八年级统考开学考试）如图，已知，若，，则α与β之间的数量关系为．

14．（2023下·贵州安顺·七年级校考阶段练习）如图，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4=540°，根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n=°．15．（2023下·湖北襄阳·七年级统考期中）如图，，平分，平分，若，则度．16．（2023下·江西南昌·七年级南昌二中校考期中）如图已知：，，平分，，有以下结论：①；②；③；④，其中，正确的结论有．（填序号）17．（2023下·江苏南京·七年级校考阶段练习）如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，∠A=140，∠C=165．（1）求∠B的度数；（2）当∠D=°时，AB∥DE？为什么？18．（2023下·江苏南京·七年级校联考期末）珠江某河段两岸安置了两座可旋转探照灯A，B．如图1，2所示，假如河道两岸是平行的，，且，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，且灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．(1)填空：°；(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若两灯发出的射线与交于点C，过C作交PQ于点D，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系，并说明理由．

19．（2023下·七年级课时练习）已知．

(1)如图①，点C是夹在和之间的一点，当时，垂足为C，你知道是多少度吗？(2)如图②，点，是夹在和之间的两点，请想一想：的度数为；(3)如图③，随着与之间点的增加，那么的度数为．（不必说明理由）20．（2023下·江苏·七年级专题练习）已知，连接A，C两点．(1)如图1，与的平分线交于点E，则等于度；(2)如图2，点M在射线反向延长线上，点N在射线上．与的平分线交于点E．若，求的度数；(3)如图3，图4，M，N分别为射线，射线上的点，与的平分线交于点E．设，请直接写出图中的度数（用含α，β的式子表示）．21．（2022下·江苏常州·七年级统考期中）问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上．(1)猜想：若，，试猜想______°；(2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论；(3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数．22．（2023下·安徽滁州·七年级统考期末）如图1，，过点作，可得．利用平行线的性质，可得：与，之间的数量关系是________________．利用上面的发现，解决下列问题：（1）如图2，，点是和平分线的交点，，求的度数；（2）如图3，，平分，，平分，若比大，则的度数是________．

23．（2023下·江苏宿迁·七年级统考期末）已知：，点E、F分别在直线、上，点O在直线、之间，且．(1)如图1，若，求的度数．(2)如图2，射线平分，连接，若，与相等吗？若相等，请证明你的结论；若不相等，请说明理由．(3)如图3，在内，，在内，，点M、N分别为射线、上的动点，且点M、N在直线、之间，其中，，若，求n的取值范围．

24．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）已知，