数学学案：等差数列

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精数学人教B必修5第二章2。2.1等差数列1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用．3．理解等差数列的性质，并掌握等差数列的性质及其应用．1．等差数列的概念一般地，如果一个数列从______起，每一项与它的前一项的差都等于__________,那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的______,通常用字母______表示．定义法判断或证明数列｛an｝是等差数列的步骤：(1）作差an＋1－an,将差变形；（2)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列｛an}是等差数列;当an＋1－an不是常数，而是与n有关的代数式时，数列｛an}不是等差数列．【做一做1】如果一个数列的前3项分别为1，2,3，下列结论中正确的是（）．A．它一定是等差数列B．它一定是递增数列C．它一定是有穷数列D．以上结论都不一定正确2．等差数列的通项公式如果一个等差数列{an｝的首项为a1，公差为d，则通项公式为____________．（1）等差数列通项公式的其他形式．①an＝am＋（n－m)d；②an＝an＋b（a，b是常数）．（2）等差数列的判断方法．①定义法：an－an－1＝d（n≥2）或an＋1－an＝d⇔数列｛an｝是等差数列;②等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2）⇔数列{an}为等差数列；③通项公式法：an＝an＋b⇔数列｛an｝是以a1＝a＋b为首项，以a为公差的等差数列．【做一做2－1】已知数列｛an｝的通项公式为an＝2（n＋1）＋3,则此数列(）．A．是公差为2的等差数列B．是公差为3的等差数列C．是公差为5的等差数列D．不是等差数列【做一做2－2】等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是(）．A．92B．47C．46D．453．等差中项如果三个数x，A,y组成等差数列,那么A叫做x和y的________．x,A，y是等差数列的充要条件是________．（1)a，A，b成等差数列的充要条件是：2A＝a＋b.当三个数成等差数列时，一般设为a－d，a,a＋d;四个数成等差数列时，一般设为a－3d，a－d,a＋d，a＋3d。(2）在等差数列{an｝中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，表示为an＋1＝eq\f(an＋an＋2，2)，等价于an＋an＋2＝2an＋1,an＋1－an＝an＋2－an＋1.【做一做3】在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则∠B等于()．A．30°B．60°C．90°D．120°一、解读等差数列的概念剖析：(1)在等差数列的定义中，要注意两点,“从第2项起”及“同一个常数”．因为数列的第1项没有前一项,因此强调从第2项起，如果一个数列，不从第2项起，而是从第3项或从第4项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是一个等差数列．(2)一个数列，从第2项起,每一项与它的前一项的差,尽管等于常数，这个数列可不一定是等差数列，因为这个常数可以不同，要注意“差是常数”和“差是同一个常数"的含义的不同，如数列2,4,5，9，从第2项起，每一项与它前一项的差都是常数，但常数是不相同的,当常数不同时，就不是等差数列，因此定义中“同一个常数”，这个“同一个"十分重要，切记不可丢掉．二、等差数列的性质剖析：若数列{an｝是公差为d的等差数列，（1)d＝0时，数列为常数列；d＞0时，数列为递增数列；d＜0时，数列为递减数列．(2）d＝eq\f（an－a1，n－1）＝eq\f(am－ak,m－k）(m,n,k∈N＋)．（3)an＝am＋(n－m）d（n，m∈N＋）．(4）若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq。(5)若eq\f(m＋n，2）＝k，则am＋an＝2ak。(6)若数列｛an｝是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋1＋an－i＝…。(7）数列{λan＋b｝(λ，b是常数）是公差为λd的等差数列．（8)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m,…(k，m∈N＋）组成公差为md的等差数列．（9)若数列{bn}也为等差数列，则{an±bn｝，{kan＋b}(k,b为非零常数）也成等差数列．（10）若｛an}是等差数列,则a1，a3，a5，…仍成等差数列．(11)若｛an｝是等差数列，则a1＋a2＋a3,a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…仍成等差数列．用性质(4)时要注意，序号的和相等,但项数不同，此结论不一定正确,如a8＝a2＋a6，a1＋a3＋a4＝a2＋a6，就不一定正确．三、教材中的“?"(1）通项公式为an＝an－b（a，b是常数）的数列都是等差数列吗?剖析：通项公式为an＝an－b(a，b为常数)的数列都是等差数列,其公差为a。（2)怎么证明A＝eq\f(x＋y，2)？剖析：∵x，A，y成等差数列,∴A－x＝y－A，即2A＝x＋y.∴A＝eq\f（x＋y,2).（3)要确定一个等差数列的通项公式,需要知道几个独立的条件?剖析：因为等差数列的通项公式中涉及首项a1与公差d,所以要确定一个等差数列的通项公式，需要知道两个独立的条件．题型一等差数列定义的应用【例1】判断下列数列是否为等差数列．（1)an＝3n＋2;（2）an＝n2＋n.分析：利用等差数列的定义，即判断an＋1－an（n∈N＋）是否为同一个常数．反思：利用定义法判断等差数列时，关键是看an＋1－an得到的结果是否是一个与n无关的常数，若是，即为等差数列，若不是,则不是等差数列．题型二等差数列的通项公式【例2】（1)求等差数列10，7，4，…的第20项．(2）－201是不是等差数列－5,－9，－13，…的项？若是，应是第几项？分析：通过题目中给出的数列，可以确定数列的首项和公差，便可求解．反思：求等差数列的通项公式、项、项数的问题是等差数列最基本的问题,利用已知条件求等差数列的首项和公差是常用方法,应牢记等差数列的通项公式．题型三等差数列性质的应用【例3】数列｛an}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列｛an｝的通项公式．分析：已知数列中某些项与项之间的关系，求其通项,可利用a1,d建立方程组来求解．但是,注意到a2，a5，a8及a3，a5，a7的各项序号之间的关系，也可考虑利用等差数列的性质来求解，此法运算量较小．反思:在有关等差数列的问题中,若已知的项的序号成等差数列,则解决问题的过程中,均可考虑利用等差数列的性质．题型四构造等差数列求通项公式【例4】（1）数列{an｝的各项均为正数,且满足an＋1＝an＋2eq\r(an）＋1，a1＝1,求an；(2)在数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，求an。分析：利用题中所给关系的结构特征，构造等差数列，利用所构造的等差数列求an.反思：应熟记几种辅助数列构造方法及其对应数列的结构形式．构造等差数列的方法一般有：平方法、开平方法、倒数法等．题型五易错辨析【例5】已知b是a，c的等差中项，且lg（a＋1），lg（b－1），lg（c－1）成等差数列，同时a＋b＋c＝15，求a，b，c的值．错解：因为b是a,c的等差中项，所以2b＝a＋c。又因为a＋b＋c＝15,所以3b＝15,所以b＝5。设a，b，c的公差为d,则a＝5－d,c＝5＋d。由题可知2lg（b－1）＝lg(a＋1)＋lg（c－1),所以2lg4＝lg（5－d＋1)＋lg(5＋d－1)．所以16＝25－(d－1）2.所以（d－1）2＝9，即d－1＝3。所以d＝4,所以a,b,c分别为1,5,9.错因分析:解方程（d－1）2＝9时，d－1应取±3两个．而错解只取d－1＝3,漏掉了d－1＝－3的情况．【例6】已知两个数列{an}：5,8，11,…与｛bn｝：3,7，11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项?错解：由已知两等差数列的前3项，容易求得它们的通项公式分别为an＝3n＋2，bn＝4n－1(1≤n≤100）．令an＝bn，得3n＋2＝4n－1，即n＝3。所以两数列只有1个数值相同的项，即第3项．错因分析:本题中所说的数值相同的项，它们的项的序号并不一定相同．例如23在数列｛an｝中是第7项，而在数列{bn}中是第6项，我们也说它是两个数列中数值相同的项，也就是说，在这里我们只看这个数在两个数列中有没有出现过，而并不关心它是这两个数列中的第几项．1已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（）．A．2B．3C．6D．92在等差数列{an｝中，a3＋3a8＋a13＝120，则a3＋a13－a8＝()．A．24B．22C．20D．－83若数列{an｝的通项公式为an＝6n＋7，则这个数列________(填“是”或“不是”)等差数列．4在等差数列{an｝中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________。答案：基础知识·梳理1．第2项同一个常数公差d【做一做1】D2．an＝a1＋(n－1）d【做一做2－1】A已知a1＝7,an－an－1＝2(n≥2),故这是一个以2为公差的等差数列．【做一做2－2】C由已知，得a1＝1，d＝（－1)－1＝－2，∴an＝1＋(n－1)×（－2）＝－2n＋3。令－2n＋3＝－89,得n＝46。3．等差中项2A＝x＋y【做一做3】B典型例题·领悟【例1】解:（1）an＋1－an＝3(n＋1）＋2－(3n＋2）＝3(n∈N＋)．由n的任意性知，这个数列为等差数列．(2）an＋1－an＝（n＋1）2＋（n＋1)－（n2＋n）＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．【例2】解：(1）由a1＝10，d＝7－10＝－3，n＝20，得a20＝10＋(20－1）×(－3）＝－47。（2）由a1＝－5,d＝－9－（－5)＝－4，得数列的通项公式为an＝－5＋（n－1)×（－4）＝－4n－1.设－4n－1＝－201成立，解得n＝50。所以－201是这个等差数列的第50项．【例3】解：∵a2＋a8＝2a5，∴a2＋a5＋a8＝3a5＝9.∴a5＝3.∴a2＋a8＝a3＋a7＝6.①又a3a5a7＝－21，∴a3a7＝－7。②由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1.∴a3＝－1，d＝2或a3＝7，d＝－2.由通项公式的变形公式an＝a3＋(n－3)d，得an＝2n－7或an＝－2n＋13.【例4】解：（1）由an＋1＝an＋2eq\r（an)＋1，可得an＋1＝(eq\r（an)＋1）2。∵an＞0，∴eq\r(an＋1）＝eq\r（an）＋1,即eq\r(an＋1）－eq\r(an）＝1.∴{eq\r(an）｝是首项为eq\r(a1）＝1，公差为1的等差数列．∴eq\r(an）＝1＋(n－1)＝n.∴an＝n2.（2)由an＋1＝eq\f（2an,an＋2），可得eq\f（1，an＋1）＝eq\f（1,an)＋eq\f(1，2），∴｛eq\f（1,an)}是首项为eq\f(1,a1)＝1，公差为eq\f（1,2)的等差数列．∴eq\f（1,an）＝1＋eq\f(1,2）(n－1)＝eq\f（n＋1，2)。∴an＝eq\f(2,n＋1）。【例5】正解：因为b是a，c的等差中项，所以2b＝a＋c。又因为a＋b＋c＝15，所以3b＝15。所以b＝5.设a，b，c的公差为d,则a＝5－d，c＝5＋d.由题可知2lg(b－1)＝lg（a＋1）＋lg（c－1)，所以2lg4＝lg(5－d＋1)＋lg(5＋d－1)．所以16＝25－（d－1)2,即（d－1)2＝9。所以d－1＝±3，即d＝4或d＝－2。所以a,b，c三个数分别为1,5,9或7，5，3。【例6】正解：∵an＝3n＋2（n∈N＋），bk＝4k－1(k∈N＋)，两数列的共同项可由3n＋2＝4k－1求得．∴n＝eq\f（4,3）k－1，而n∈N＋，k∈N＋，∴设k＝3r(r∈N＋）,得n＝4r－1.由已知且r∈N＋,可得1≤r≤