2025届沧州市重点中学高二上数学期末监测模拟试题含解析

2025届沧州市重点中学高二上数学期末监测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过点作圆的切线，则切线的方程为（）A. B.C.或 D.或2．已知三维数组，，且，则实数（）A.-2 B.-9C. D.23．如图，双曲线，是圆的一条直径，若双曲线过，两点，且离心率为，则直线的方程为（）A. B.C. D.4．已知函数，则等于（）A.0 B.2C. D.5．如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为（）A.2 B.C. D.86．已知点在抛物线的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（）A. B.C. D.7．在平行六面体中，，，，则（）A. B.5C. D.38．已知一个圆锥体积为，任取该圆锥的两条母线a，b，若a，b所成角的最大值为，则该圆锥的侧面积为（）A. B.C. D.9．下列命题错误的是()A.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B.命题“若，则”的否命题为“若，则”C.若命题p：或；命题q：或，则是的必要不充分条件D.“”是“”的充分不必要条件10．已知等比数列满足，，则（）A.21 B.42C.63 D.8411．设是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件的点构成的图形是（）A.圆 B.直线C.平面 D.线段12．已知等差数列且，则数列的前13项之和为（）A.26 B.39C.104 D.52二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知等差数列的公差不为零，若，，成等比数列，则______.14．等比数列的各项均为正数，且，则__________.15．若，则___16．已知圆锥的高为，体积为，则以该圆锥的母线为半径的球的表面积为______________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值18．（12分）已知数列的前项和为，已知，且当，时，（1）证明数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和19．（12分）在平面直角坐标系中，设椭圆（）的离心率是e，定义直线为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为，长轴长为8.（1）求椭圆C的标准方程；（2）O为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，直线l交椭圆C于E，F两不同点（点E，F与点A不重合），且满足，若点P满足，求直线的斜率的取值范围.20．（12分）“双十一”已经成为网民们的网购狂欢节，某电子商务平台对某市的网民在今年“双十一”的网购情况进行摸底调查，用随机抽样的方法抽取了100人，其消费金额（百元）的频率分布直方图如图1所示：（1）利用图1，求网民消费金额的平均值和中位数；（2）把下表中空格里的数填上，能否有的把握认为网购消费与性别有关.男女合计30合计45附表：P(χ2≥k0)0.100.050.012.7063.8416.635参考公式：χ2＝.21．（12分）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点的直线与抛物线只有一个公共点.（1）求抛物线的方程；（2）求直线的方程.22．（10分）已知某学校的初中、高中年级的在校学生人数之比为9：11，该校为了解学生的课下做作业时间，用分层抽样的方法在初中、高中年级的在校学生中共抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：（1）在抽取的100名学生中，初中、高中年级各抽取的人数是多少？（2）根据频率分布直方图，估计学生做作业时间的中位数和平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）另据调查，这100人中做作业时间超过4小时的人中2人来自初中年级，3人来自高中年级，从中任选2人，恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级的概率是多少

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】设切线的方程为，然后利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解即可.【详解】圆的圆心为原点，半径为1，当切线的斜率不存在时，即直线的方程为，不与圆相切，当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即所以，解得或所以切线的方程为或故选：C2、D【解析】由空间向量的数量积运算即可求解【详解】∵，，，，，，且，∴，解得故选：D3、D【解析】由离心率求得，设出两点坐标代入双曲线方程相减求得直线斜率与的关系得结论【详解】由题意，则，即，由圆方程知，设，，则，，又，两式相减得，所以，直线方程为，即故选：D4、D【解析】先通过诱导公式将函数化简，进而求出导函数，然后算出答案.【详解】由题意，，故选：D.5、C【解析】由斜二测还原图形计算即可求得结果.【详解】在斜二测直观图中，由为等腰直角三角形，，可得，.还原原图形如图：则，则.故选：C6、C【解析】首先表示出抛物线的准线，根据点在抛物线的准线上，即可求出参数，即可求出抛物线的焦点.【详解】解：抛物线的准线为因为在抛物线的准线上故其焦点为故选：【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题.7、B【解析】由，则结合已知条件及模长公式即可求解.【详解】解：，所以，所以，故选：B.8、B【解析】设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，根据体积公式计算可得，利用扇形的面积公式计算即可求得结果.【详解】如图，设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，所以，圆锥的体积，解得，所以该圆锥的侧面积为.故选：B9、C【解析】根据逆否命题的定义可判断A；根据否命题的定义可判断B；求出、，根据充分条件和必要条件的概念可以判断C；解出不等式，根据充分条件和必要条件的概念可判断D.【详解】命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故A正确；命题“若，则”的否命题为“若，则”，故B正确；若命题p：或；命题q：或，则：－1≤x≤1是：－2≤x≤1的充分不必要条件，故C错误；或x＜1，故“”是“”的充分不必要条件，故D正确.故选：C.10、D【解析】设等比数列公比为q，根据给定条件求出即可计算作答.【详解】等比数列公比为q，由得：，即，而，解得，所以.故选：D11、C【解析】根据法向量的定义可判断出点所构成的图形.【详解】是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件，所以，构成的图形是经过点，且以为法向量的平面.故选：C.【点睛】本题考查空间中动点的轨迹，考查了法向量定义的理解，属于基础题.12、A【解析】根据等差数列的性质化简已知条件可得的值，再由等差数列前项和及等差数列的性质即可求解.【详解】由等差数列的性质可得：，，所以由可得：，解得：，所以数列的前13项之和为，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、0【解析】设等差数列的公差为，，根据，，成等比数列，得到，再根据等差数列的通项公式可得结果.【详解】设等差数列的公差为，，因为，，成等比数列，所以，所以，整理得，因为，所以，所以.故答案为：0.【点睛】本题考查了等比中项，考查了等差数列通项公式基本量运算，属于基础题.14、10【解析】由等比数列的性质可得，再利用对数的性质可得结果【详解】解：因为等比数列的各项均为正数，且，所以，所以故答案为：1015、##0.5【解析】导数的定义公式的变形应用，要求分子分母的变化量相同.【详解】故答案为：.16、【解析】利用圆锥体积公式可求得圆锥底面半径，利用勾股定理可得母线长；根据球的表面积公式可求得结果.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥体积，，，以为半径的球的表面积.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）利用空间向量求出空间直线的向量积，即可证明两直线垂直.（2）利用空间向量求直线与平面所成空间角的正弦就是就出平面的法向量与直线的方向向量之间夹角的余弦即可.【小问1详解】如图，以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，因为，，所以，即；【小问2详解】设平面的法向量为因为，由，得，令，则所以平面的一个法向量为，又所以故直线与平面所成角的正弦值为18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）消去，只保留数列的递推关系，根据题干提示来证明，注意证明首项不是零；（2）利用裂项求和来解决.【小问1详解】证明：由题意，当时，即，，整理，得，，，，数列是以2为首项，2为公比的等比数列【小问2详解】解：由（1）知，，则，，，，，各项相加，可得，当n=1成立，故19、（1）；（2）.【解析】（1）由题意列关于，，的方程，联立方程组求得，，，则椭圆方程可求；（2）分直线轴与直线l不垂直于x轴两种情况讨论，当直线l不垂直于x轴时，设，，直线l：（，），联立直线方程与椭圆方程，消元由，得到，再列出韦达定理，由则，解得，再由，求出的坐标，则，再利用基本不等式求出取值范围；【详解】解：（1）由题意得：，，又，联立以上可得：，，，椭圆C的方程为.（2）由（1）得，当直线轴时，又，联立得，解得或，所以，此时，直线的斜率为0.当直线l不垂直于x轴时，设，，直线l：（，），联立，整理得，依题意，即（*）且，.又，，，即，且t满足（*），，，故直线的斜率，当时，，当且仅当，即时取等号，此时；当时，，当且仅当，即时取等号，此时；综上，直线的斜率的取值范围为.【点睛】本题考查利用待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于难题.20、（1），（2）列联表见解析，没有【解析】（1）根据平均数的定义求平均数，由于前2组的频率和恰好为，从而可求出中位数，（2）根据频率分布表结合已知的数据计算完成列联表，然后计算χ2公式计算χ2，再根据临界值表比较可得结论【小问1详解】以每组的中间值代表本组的消费金额，则网民消费金额的平均值为0.频率直方图中第一组、第二组的频率之和为，中位数；【小问2详解】把下表中空格里的数填上，得列联表如下；男女合计252550203050合计4555100计算，所以没有的把握认为网购消费与性别有关.21、（1）；（2）或或.【解析】(1)根据给定条件结合p的几何意义，直接求出p写出方程作答.(2)直线l的斜率存在设出其方程，再与抛物线C的方程联立，再讨论计算，l斜率不存在时验证作答.【小问1详解】因抛物线的焦点到准线的距离为，于是得，所以抛物线的方程为.【小问2详解】当直线的斜率存在时，设直线为，由消去y并整理得：，当时，，点是直线与抛物线唯一公共点，因此，，直线方程为，当时，，此时直线与抛物线相切，直线方程为，当直线的斜率不存在时，y轴与抛物线有唯一公共点，直线方程为，所以直线方程为为或或.22、（1）初中、高中年级所抽取人数分别为45、55（2）2.375小时，2.4小时（3）【解析】（1）依据分层抽样的原则列方程即可解决；（2）依据频率分布直方图计算学生做作业时间的中位数和平均时长即可；（3）依据古典概型即可求得恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级的概率.【小问1详解】设初中、高中年级所抽