2024-2025学年新教材高中数学第6章平面向量及其应用6.2.4向量的数量积巩固练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE6.2.4向量的数量积课后训练巩固提升一、A组1.已知|a|=6,|b|=2,a与b的夹角为60°,则a·b等于()A.6+3 B.6-3 C.6 D.7解析:a·b=|a||b|cos60°=6×2×cos60°=6.答案:C2.若向量a与b的夹角为60°,则向量-a与-b的夹角是()A.60° B.120° C.30° D.150°解析:平移向量a,b使它们有公共起点O,如图所示,则由对顶角相等可得向量-a与-b的夹角也是60°.答案:A3.已知向量m,n的夹角为π6,且|m|=3,|n|=1,则|m-n|=(A.4 B.3 C.2 D.1解析:∵|m-n|2=m2-2m·n+n2=3-2×3×1×32+1=∴|m-n|=1.答案:D4.已知|b|=3,向量a在向量b上的投影向量为32b,则a·b=(A.3 B.92 C.32 D解析:设向量a,b的夹角为θ.∵a在b上的投影向量为|a|cosθb|b∴|a|cosθ|b|=32∴a·b=|a||b|cosθ=3×92答案:D5.设a,b,c是随意三个非零向量且互不共线,下列各式正确的个数是()①(a·b)2=a2·b2;②a·③(a·b)·c-(a·c)·b=0;④|a·b|=|a|·|b|.A.0 B.1 C.2 D.4解析:①中错误地迁移了实数的乘方运算,事实上,由a·b=|a||b|cosθ得(a·b)2=(|a||b|cosθ)2=|a|2|b|2cos2θ=a2b2cos2θ,其中θ=<a,b>,只有当cos2θ=1,即a∥b时(a·b)2=a2·b2才成立,而当cos2θ≠1时,a2·b2cos2θ<a2·b2,即(a·b)2<a2·b2,故①错;②中运用了实数中的约分,而向量ba是没有意义的,故②错;③错用了实数乘法中的结合律,由于b与c是不共线的向量,故③错;④运用了实数中肯定值的意义,导致错误,由a与b的数量积两边加肯定值,得|a·b|=|a||b||cosθ|,只有当θ=0或θ=π时,|a·b|=|a|·|b|才成立,故④错答案:A6.已知|a|=8,e为单位向量,a与e的夹角为150°,则a在e上的投影向量为.

解析:a在e上的投影向量为|a|cos150°e=8×-32e=-43答案:-43e7.若向量a,b满意|a|=2,|b|=1,a·(a+b)=1,则向量a,b的夹角的大小为.

解析:∵|a|=2,a·(a+b)=1,∴a2+a·b=2+a·b=1.∴a·b=-1.设a,b的夹角为θ,则cosθ=a·b|又θ∈[0,π],∴θ=3π答案:38.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=.

解析:b·c=b·[ta+(1-t)b]=t·a·b+(1-t)b2=12t+1-t=1-12t=0,解得t=答案:29.已知向量a,b的长度|a|=4,|b|=2.(1)若a,b的夹角为120°,求|3a-4b|;(2)若|a+b|=23,求a与b的夹角θ.解:(1)a·b=|a||b|cos120°=4×2×-12=-又|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=9×42-24×(-4)+16×22=304,∴|3a-4b|=419.(2)∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=42+2a·b+22=(23)2,∴a·b=-4,∴cosθ=a·b|又θ∈[0,π],∴θ=2π10.已知向量a,b不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证:(a+b)⊥(a-b).证明:∵|2a+b|=|a+2b|,∴(2a+b)2=(a+2b)2,∴4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2,∴a2=b2,∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.又a与b不共线,∴a+b≠0,a-b≠0,∴(a+b)⊥(a-b).二、B组1.若非零向量a与b的夹角为2π3,|b|=4,(a+2b)·(a-b)=-32,则向量a的模为(A.2 B.4 C.6 D.12解析:(a+2b)·(a-b)=a2+2a·b-a·b-2b2=a2+a·b-2b2=-32,∵a·b=|a||b|cos2π3=|a|×4×-12=-2∴|a|2-2|a|-2×42=-32.∴|a|=2(|a|=0不合题意,舍去).答案:A2.若非零向量a,b满意|a|=|b|,(2a+b)⊥b,则a与b的夹角为()A.30° B.60° C.120° D.150°解析:设向量a与b的夹角为θ,∵(2a+b)·b=0,∴2a·b+b2=0.∴2|a||b|cosθ+|b|2=0.∵|a|=|b|,∴cosθ=-12∴θ=120°.答案:C3.已知向量a,b满意|a|=3,|b|=23,且a⊥(a+b),则b在a上的投影向量为()A.3a B.-a C.-3a D.a解析:由a⊥(a+b),得a·(a+b)=0,即|a|2+a·b=0,于是a·b=-9,因此b在a上的投影向量为|b|cosθa|a|=答案:B4.已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是()A.0,π6C.π3,2解析:因为Δ=a2-4|a|·|b|cosθ(θ为向量a与b夹角),若方程有实根,则有Δ≥0即a2-4|a|·|b|cosθ≥0,又因为|a|=2|b|,所以4|b|2-8|b|2cosθ≥0,所以cosθ≤12又因为0≤θ≤π,所以π3≤θ≤π答案:B5.设向量a,b满意|a|=1,|b|=1,且|ka+b|=3|a-kb|(k>0).若a与b的夹角为60°,则k=.

解析:由|ka+b|=3|a-kb|,得k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2,即(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0.∵|a|=1,|b|=1,a·b=1×1×cos60°=12∴k2-2k+1=0,∴k=1.答案:16.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若AC·BE=1,则AB的长为解析:因为BE=所以AC·BE=(AB+AD)·AD-12AB=AD2+12AD·AB-所以14|AB|-12|AB|2=0,答案:17.已知|a|=1,a·b=12,(a-b)·(a+b)=12,(1)a与b的夹角;(2)a-b与a+b的夹角的余弦值.解:(1)∵(a-b)·(a+b)=12∴|a|2-|b|2=12∵|a|=1,∴|b|=|a设a与b的夹角为θ,则cosθ=a·∵0°≤θ≤180°,∴θ=45°.(2)∵(a-b)2=a2-2a·b+b2=12∴|a-b|=22∵(a+b)2=a2+2a·b+b2=52,∴|a+b|=10设a-b与a+b的夹角为α,则cosα=(a8.已知a+b+c=0,|a|=3,|b|=5,|c|=7.是否存在实数μ,使μa+b与a-2b垂直?解:若(