第四讲 二次函数（典例精讲）（解析版）

2023年中考数学典型例题系列之函数篇第四讲二次函数（解析版）一、二次函数的定义。一般地，形如（QUOTEa，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数。注意：二次项系数，而QUOTEb，c可以为零。二、二次函数四种基本形式的图像性质。二次函数的基本表现形式：①；②；③；④；⑤.的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．第一种：二次函数的性质（最基础）。第二种：二次函数的性质。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．第三种：二次函数的性质。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值。向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．第四种：二次函数的性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．三、二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像和性质。函数二次函数（a、b、c为常数，a≠0）图象开口方向向上向下对称轴直线直线顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当时，y有最小值，抛物线有最高点，当时，y有最大值，四、二次函数的平移。步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h)²+k，顶点坐标为（h,k）；（2）从函数y=ax²平移方法如下：“左加右减，上加下减”。平移前平移方向（m＞0)平移后口诀y=a(x-h)²+k向左平移m个单位“左加右减”“上加下减”向右平移m个单位向上平移m个单位向下平移m个单位五、二次函数图像与系数a、b、c的关系。1.根据a、b、c的正负数判断二次函数图像。二次项系数a决定抛物线的开口方向及开口大小当时，抛物线开口向上当时，抛物线开口向下一次项系数b决定对称轴的位置在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴。（同左异右b为对称轴为y轴）常数项系数c决定抛物线与y轴的交点的位置当时，抛物线与轴的交点在轴上方当时，抛物线与轴的交点为坐标原点当时，抛物线与轴的交点在轴下方b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点；2.根据二次函数图像判断a、b、c关系式与0的关系。关系式实质2a+b实质式结合a的正负比较与1关系2a+b实质式结合a的正负比较与-1关系a+b+c实质是令x=1，看纵坐标正负a-b+c实质是令x=-1，看纵坐标正负4a+2b+c实质是令x=2，看纵坐标正负4a-2b+c实质是令x=-2，看纵坐标正负六、二次函数与一元二次方程的关系。二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况，图象与轴的交点个数：①当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根。②当时，图象与轴只有一个交点；③当时，图象与轴没有交点。A：当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；B：当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有七、待定系数法求二次函数的解析式。根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路：=1\*GB3①一般式：当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数解析式为y=ax2+bx+c；=2\*GB3②顶点式：当已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最大（小）值时，可设函数解析式为y=a(x−h)2+k；=3\*GB3③交点式：当已知抛物线与x轴的两个交点（x1，0），（x2，0）时，可设函数解析式为y=ax−x1(x−【考点一】二次函数的图像和性质。【典型例题1】（2022·湖南郴州·统考中考真题）关于二次函数，下列说法正确的是（

）A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是C．该函数有最大值，是大值是5 D．当时，y随x的增大而增大【答案】D【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可．【详解】解：对于y=（x-1）2+5，∵a=1>0，故抛物线开口向上，故A错误；顶点坐标为（1，5），故B错误；该函数有最小值，最小值是5，故C错误；当时，y随x的增大而增大，故D正确，故选：D．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．【对应练习1】（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）抛物线的顶点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次函数的顶点式可得顶点坐标为即可得到结果．【详解】∵二次函数解析式为，∴顶点坐标为；故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键．【对应练习2】（2022·新疆·统考中考真题）已知抛物线，下列结论错误的是（

）A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大【答案】D【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解．【详解】解：抛物线中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意；由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意；因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．【对应练习3】（2021·辽宁阜新·统考中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于A，两点，则下列说法正确的是（

）A． B．点A的坐标为C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线【答案】D【分析】根据二次函数的图象与性质即可依次判断．【详解】由图可得开口向上，故a＞0，A错误；∵解析式为，故对称轴为直线x=-2，D正确∵∴A点坐标为（-3，0），故B错误；由图可知当时，y随x的增大而减小，故C错误；故选D．【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．【典型例题2】（2022·湖北随州·中考真题）对于二次函数，下列结论错误的是（

）A．它的图像与轴有两个交点 B．方程的两根之积为C．它的图像的对称轴在轴的右侧 D．时，随的增大而减小【答案】C【分析】直接利用二次函数与轴交点个数、二次函数的性质以及二次函数与方程之间关系分别分析得出答案．【详解】解：A、∵，∴二次函数的图像与轴有两个交点，该选项结论正确，故此选项不符合题意；B、方程，即的两根之积=，该选项结论正确，故此选项不符合题意；C、∵的值不能确定，∴它的图像的对称轴位置无法确定，该选项结论错误，故此选项符合题意；D、∵，对称轴，∴时，随的增大而减小，该选项结论正确，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查抛物线与轴的交点以及二次函数的性质、根与系数的关系等知识．正确掌握二次函数的性质是解题关键．【对应练习】（2022·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断．【详解】解：∵∵开口向上，对称轴为x=1，∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大．故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质．【典型例题3】（2022·浙江衢州·统考中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（

）A．或4 B．或 C．或4 D．或4【答案】D【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．【详解】解：二次函数的对称轴为：直线，（1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大，当时，取得最小值，，；（2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小，当时，取得最小值，，．故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解题的关键．【典型例题4】（2022·湖北荆门·统考中考真题）抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是(

)A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对【答案】D【分析】根据二次函数图象及性质，即可判定．【详解】∵抛物线y＝x2+3开口向上，在其图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，∴|x1|＜|x2|，∴0≤x1＜x2，或x2＜x1≤0，或x2<x1≤0或0<-x1<x2或0<x1<-x2,故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握和运用二次函数的图象及性质是解决本题的关键．【对应练习1】（2022·浙江宁波·统考中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案．【详解】解：∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上，∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n，y2=（m-1）2+n，∵y1＜y2，∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n，∴（m-2）2-（m-1）2＜0，即-2m+3＜0，∴m＞，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．【对应练习2】（2023秋·天津东丽·九年级校考期中）若，，为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先计算抛物线的对称轴，在计算各点与对称轴的水平距离，根据抛物线开口向上，距离越大，函数值也越大比较即可．【详解】解：∵，∴对称轴为直线，且，∵，，，∴点A到对称轴直线的距离为，点B到对称轴直线的距离为，点C到对称轴直线的距离为，∵，∴，根据抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小，∴．故选：C．【点睛】本题考查了抛物线的增减性，熟练掌握抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小是解题的关键．【对应练习3】（2022秋·安徽芜湖·九年级芜湖市第二十九中学校考期中）若二次函数的图象经过，，三点.则关于，，大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出二次函数的对称轴，图象开口向上；再求出点A、B、C到对称轴的距离，然后根据二次函数增减性判断即可．【详解】解：∵∴二次函数对称轴为直线，图象开口向上∵，，∵，∴故选：A【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性以及增减性，确定出各点到对称轴的距离的大小是解题的关键．【考点二】二次函数图像与系数的关系综合。【典型例题】（2022·四川资阳·中考真题）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论的个数是(

)A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】①：根据二次函数的对称轴，，即可判断出；②：结合图象发现，当时，函数值大于1，代入即可判断；③：结合图象发现，当时，函数值小于0，代入即可判断；④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．【详解】解：∵二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，∴，，∴，∴，故①正确；从图中可以看出，当时，函数值大于1，因此将代入得，，即，故②正确；∵，∴，从图中可以看出，当时，函数值小于0，∴，∴，故③正确；∵二次函数的顶点坐标为，∴设二次函数的解析式为，将代入得，，解得，∴二次函数的解析式为，∴当时，；∴根据二次函数的对称性，得到，故④正确；综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，故选A．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键．【对应练习1】（2022·四川广安·统考中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc>0；②2c﹣3b<0；③5a+b+2c=0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是抛物线上的三点，则y1<y2<y3．其中正确结论的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据二次函数的图象与性质一一判断即可．【详解】解：由图象可知，开口向上，图象与y轴负半轴有交点，则，，对称轴为直线，则，∴，故①正确；当时，，∵，∴，即∴，故②错误；∵对称轴为直线，∴抛物线与x轴负半轴的交点为（，0），∴，∵，两式相加，则，∴，故③错误；∵，，，∴，∴根据开口向上，离对称轴越近其对应的函数值越小，则有，故④正确；∴正确的结论有2个，故选：B【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象及性质，能够通过函数图象提取信息是解题的关键．【对应练习2】（2022·四川内江·统考中考真题）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1．下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根据函数图象可得出a，b，c的符号即可判断①，当x＝1时，y＜0即可判断②；根据对称轴为，a＞0可判断③；y1＝ax2+bx+c，数形结合即可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，∴a＞0，b＜0，c＞0，∴abc＜0，∴①正确．∵当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②错误．∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1，∴，∴，当时，，当时，，，，∴2a﹣c＞0，∴③正确；如图：设y1＝ax2+bx+c，，由图值，y1＞y2时，x＜0或x＞x1，故④错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问题是解题的关键．【对应练习3】（2022·四川雅安·统考中考真题）抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（）①当x＝2时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y1），（4，y2）在其图象上，则y2＞y1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）2﹣5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6．A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④【答案】B【分析】由二次函数的开口向上，函数有最小值，可判断①，由二次函数的增减性可判断②，由二次函数图象的平移可判断③，由二次函数与x轴的交点坐标可判断④，从而可得答案．【详解】解：y＝（x﹣2）2﹣9，图象的开口向上，∴当x＝2时，y取得最小值﹣9；故①符合题意；y＝（x﹣2）2﹣9的对称轴为，而故②符合题意；将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x+1）2﹣5，故③不符合题意；当时，则解得：而故④符合题意；故选B【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点问题，掌握“二次函数的图象与性质”是解本题的关键．【考点三】二次函数图像的平移。【典型例题】（2022秋·天津河北·九年级统考期末）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后抛物线的顶点坐标是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先将抛物线转化成顶点式，然后利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，即可得出顶点坐标．【详解】解：，∴先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为，∴顶点坐标为．故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，解题的关键是掌握平移的规律“左加右减，上加下减”．【对应练习1】（2022·黑龙江哈尔滨·校考二模）把抛物线的图像向左平移1个单位，则平移后的抛物线是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据二次函数图像“左加右减”的平移规律进行解答即可．【详解】解：将抛物线向左平移1个单位，平移后的解析式为：故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图像的平移；掌握二次函数图像的平移规律是解题的关键．【对应练习2】（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是______．【答案】（3，5）【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．【详解】解：抛物线的顶点坐标为（1，2），∵将抛物线y=（x-1）2+2再向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，5）．故答案为：（3，5）．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．【考点四】一次函数、反比例函数与二次函数图像综合。【典型例题】（2023秋·河北秦皇岛·九年级校联考期末）一次函数和反比例函数在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出、、，由此可以得出二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴的负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【详解】解：观察一次函数和反比例函数的图象可知：、、，二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴的负半轴，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，找出、、是解题的关键．【对应练习1】（2022·山东临沂·九年级校考阶段练习）一次函数与二次函数在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．【详解】解：A、一次函数与轴交点应为，二次函数与轴交点也应为，图象不符合，故本选项不合题意；B、由直线可知，，由抛物线可知，，且抛物线与直线与轴的交点相同，故本选项符合题意．C、由直线可知，，由抛物线可知，，的取值矛盾，故本选项不合题意；D、由直线可知，，由抛物线可知，，的取值矛盾，故本选项不合题意；故选：B．【点睛】本题考查抛物线和直线的图象与系数的关系，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．【对应练习2】（2019·内蒙古赤峰·校联考中考模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．反之也可．【详解】解：A、由一次函数的图象可知、，由二次函数的图象可知，两者相矛盾，故此选项不符合题意；B、由一次函数的图象可知、，由二次函数的图象可知，两者相吻合，故此选项符合题意；C、由一次函数的图象可知、，由二次函数的图象可知，两者相矛盾，故此选项不符合题意；D、由一次函数的图象可知、，由二次函数的图象可知，两者相矛盾，故此选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查一次函数和二次函数的图象，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．【对应练习3】（2022·河南南阳·模拟预测）若，则函数和在同一坐标系中的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据，可知，或，，然后进行分类讨论函数的图象所在的位置，即可解答本题．【详解】解：，，或，，当，时，的函数图象的开口向上，顶点在原点，的图象经过第一、三、四象限，故选项A、C错误；当，时，的函数图象的开口向下，顶点在原点，的图象经过第一、二、四象限，故选项B正确，选项D错误；故选B．【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题．【考点五】二次函数与一元二次方程。【典型例题1】（2022·福建福州·校考一模）如图是二次函数的部分图象，则关于的一元二次方程的解是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】观察图象得：该函数的对称轴是直线，与轴的一个交点是，可得该函数与轴的另一个交点是，从而得到当时，，，即可求解．【详解】解：由图象可知，该函数的对称轴是直线，与轴的一个交点是，则该函数与轴的另一个交点是，∴当，即时，，，∴关于的一元二次方程的解为，，故选：C．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数(a，b，c是常数，)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．【对应练习1】（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）如果抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点的坐标是，那么它与x轴的一个交点的坐标是（

）A．（﹣6，0） B．（﹣4，0） C．（﹣2，0） D．（4，0）【答案】C【分析】根据抛物线的对称性解答即可．【详解】解：抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，抛物线与x轴另一交点的横坐标为，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，故选：C【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点坐标，正确理解抛物线的对称性是解题的关键．【对应练习2】（2022·黑龙江哈尔滨·校考二模）二次函数的图象与轴交点坐标是________．【答案】【分析】令，求出的值，即可得解．【详解】对于，令，则，∴该二次函数图象与轴交点坐标是．故答案为：．【点睛】本题考查求二次函数图象与轴的交点坐标．熟练掌握y轴上点的坐标特征是解题的关键．【典型例题2】（2022秋·山东东营·九年级校联考期末）已知二次函数的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为___________．【答案】【分析】由二次函数和根的判别式得且，解不等式即可求解．【详解】解：由题意得且解得所以k的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，熟悉掌握根的判别式的意义是解题关键．【对应练习1】（2022·四川泸州·泸县五中校考一模）二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为__________．【答案】【分析】利用根的判别式的意义得到，然后解方程即可．【详解】∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．【对应练习2】（2022春·九年级课时练习）若二次函数，当______时，与x轴有唯一的交点．【答案】##0.5【分析】由二次函数与x轴有唯一的交点，可得，再解方程即可．【详解】解：∵二次函数与x轴有唯一的交点，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查的是二次函数与轴的交点问题，掌握“当时，二次函数与轴有一个交点”是解本题的关键．【对应练习3】（2022·山东青岛·山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）函数（a为常数）的图象与坐标轴只有两个交点，则______．【答案】0或或【分析】当时，可知满足条件，当时，分当函数图象过原点时和不过原点，当过原点时，可知满足条件，当不过原点时，可知二次函数图象与轴只有一个交点，令，得到一个关于的一元二次方程，可知该方程有两个相等的实数根，由一元二次方程根的判别式等于0可求得的值．【详解】解：当时，函数为，与坐标轴只有两个交点，满足条件；当时，分两种情况：①当函数图象过原点时，则有，解得，此时满足条件；②当函数图象不过原点时，令可得，因其与轴有一个交点，所以该方程有两个相等的实数根，，即，整理可得，解得，综上可知的值为0或或．故答案为：0或或．【考点六】二次函数与不等式。【典型例题】（2022·四川泸州·泸县五中校考一模）二次函数．若，则自变量x的取值范围是（）A．或 B．或 C． D．【答案】A【分析】令，求出抛物线与直线的交点横坐标，再在坐标系中画出抛物线与直线的图象，不等式的含义表示抛物线的图象在直线上方部分自变量的取值范围，结合图象即可作答．【详解】令，整理，得：，解得，，，在坐标轴中画出出抛物线与直线的图象，如图，不等式的含义表示抛物线的图象在直线上方部分自变量的取值范围，即不等式的解集为：或．故选：A．【点睛】本题主要考查了利用二次函数的图象求解不等式解集的知识，注重数形结合是解答本题的关键．【对应练习1】（2022·江苏徐州·校考二模）二次函数的图像如图所示，则函数值时，x的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】写出函数图象在x轴上方部分的x的取值范围即可．【详解】解：由图可知，当或时，．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是关键．【对应练习2】（2022春·九年级课时练习）二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是______．【答案】【分析】首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的取值范围即可．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，∴与x轴的另一个交点坐标为，∴时，x的取值范围为：，故答案为：．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标，难度不大．【对应练习3】（2022·四川成都·模拟预测）已知函数，当时，，则m的取值范围是_______．【答案】-3≤m≤-1【分析】先确定抛物线的对称轴，计算y=2时，自变量的值；当y=-2时，自变量的值，根据函数的增减性建立不等式计算即可．【详解】∵函数，∴对称轴为直线x=-1；当y=2时，，解得；当y=-2时，，解得，∵时，，∴，解得-3≤m≤-1，故答案为：-3≤m≤-1．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，增减性，不等式组的解集，熟练掌握抛物线的性质，灵活转化为不等式组求解是解题的关键．【考点七】待定系数法求二次函数的解析式。【典型例题】（2022·甘肃兰州·兰州市外国语学校校考模拟预测）已知抛物线经过，，三点．(1)求抛物线的表达式和顶点坐标．(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在点处，并写出平移后抛物线的表达式．【答案】(1)，(2)把抛物线向左平移1个单位，向上平移个单位平移后抛物线的顶点落在点处；【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标；（2）根据顶点坐标和的坐标即可得出把抛物线向左平移一个单位，向上平移个单位平移后抛物线的顶点落在点处，进而得到平移后抛物线的表达式为【详解】（1）解：抛物线经过，，三点，而、两点的纵坐标相同，抛物线的对称轴为直线，，即，把的坐标代入得，解得，抛物线的表达式为，，顶点坐标为；（2）解：抛物线的顶点为，，把抛物线向左平移1个单位，向上平移个单位平移后抛物线的顶点落在点处，∴平移后抛物线的表达式为．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确记忆二次函数平移规律是解题关键．【对应练习1】（2023秋·山东济南·九年级期末）已知一个抛物线经过点，和．(1)求这个二次函数的解析式；(2)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；【答案】(1)(2)顶点坐标为；对称轴为直线【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）根据顶点坐标公式求解即可．【详解】（1）设将代入，则∴（2）∵，∴顶点坐标为；对称轴为直线．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），其对称轴是直线，其顶点坐标是．【对应练习2】（2022·福建福州·校考一模）已知二次函数的图像经过点，．(1)求，的值；(2)若点，在二次函数图像上，其中，当时，求的取值的范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）将点，代入函数解析式即可求出，的值；（2）由题意可知，两点关于对称轴对称，则得，再结合的范围即可求出的范围．【详解】（1）解：函数的图像经过点，，，；（2）解：，，，函数的对称轴为直线，点，在二次函数图像上，点与点关于对称轴对称，，，，，．【点睛】此题考查了用待定系数法、二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答此题的关键．【对应练习3】（2022·内蒙古赤峰·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线（其中a、c为常数，且）与x轴的一个交点为，与y轴交于点B，此抛物线顶点C的纵坐标为4．(1)求抛物线的解析式；(2)求的正切值；【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得点C的坐标，设抛物线的解析式为，将点代入可求得a的值，即可得到抛物线的解析式；（2）先求得点B的坐标，根据勾股定理求得，，，根据勾股定理的逆定理可得，即可求得正切值．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为：，∵，∴抛物线开口向下，∵C点纵坐标为4，∴抛物线的顶点坐标，设抛物线的解析式为，将点代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）将代入抛物线解析式得：，∴，∵，∴，，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、勾股定理及逆定理和求角的正切值，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．【考点八】二次函数的实际应用。【典型例题1】建系。（2022·四川南充·中考真题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点．【答案】8【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0；喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y=ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①，喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②，联立可求出，，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，∴此时的解析式为，将（4，0）代入可得，解得h=8．故答案为：8．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．【对应练习1】35．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考一模）如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．(1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；(2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变继续向此桥行驶时，水面宽是多少？它能否安全通过此桥？【答案】(1)(2)水面宽是，它能安全通过此桥【分析】（1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据设函数解析式为，由待定系数法求出其解即可；（2）计算出船行驶到桥下的时间，由这个时间按计算水位上升的高度，从而得出此时水面宽度，再比较就可以求出结论．【详解】（1）解：设抛物线的解析式为不等于，桥拱最高点到水面的距离为米．则，，解得，抛物线的解析式为；（2）解：由题意，得船行驶到桥下的时间为：小时，水位上升的高度为：米．设此时水面宽为，，由（1）知：，∴F纵坐标为，把代入，得，解得：，，∴，．船的速度不变，它能安全通过此桥．答：该船的速度不变继续向此桥行驶时，水面宽是，它能安全通过此桥．【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，有理数大小的比较的运用，解答时求出函数的解析式是关键．【对应练习2】（2022·四川攀枝花·统考中考真题）第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奥会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角的跳台A点以速度沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆，，且．忽略空气阻力，请回答下列问题：(1)求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？(2)以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；(3)若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？【答案】(1)该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m(2)(3)他飞行2s后，垂直下降了22.5m【分析】（1）以A为原点，建立平面直角坐标系．过点B作轴于点D．在中，利用求出即可；（2）利用勾股定理求出，得到点B坐标，即可求出抛物线的解析式；（3）将代入（2）的解析式求出y值即可．【详解】（1）解：如图，以A为原点，建立平面直角坐标系．过点B作轴于点D．在中，，答：该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m；（2）解：在中，，，由题意抛物线顶点为，经过．设抛物线的解析式为，则有，，抛物线的解析式为．（3）解：当时，，他飞行2s后，垂直下降了22.5m．【点睛】此题考查了抛物线的实际应用，待定系数法求抛物线的解析式，锐角三角函数的应用，已知自变量求函数值，正确理解题意得到对应的数量关系是解题的关键．【典型例题2】销售问题。（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）某景点投入40辆同型号电动代步车，准备成立代步车租赁公司，市运管所规定每辆代步车的日租金按10元的整数倍收取，但不得超过250元．经市场调研发现：当每辆代步车的日租金不超过150元时，40辆代步车可以全部租赁出去；当每辆代步车的日租金超过150元时，每增加10元，租赁出去的代步车数量将减少2辆．已知租赁出去的代步车每辆一天各项支出共需20元，没有租赁出去的代步车每辆一天各项支出共需10元，另外公司每天还需支出其他各项费用共1800元．(1)若40辆代步车能全部租出，当每天总租金不低于总支出时，每辆代步车的日租金至少是多少元？(2)求该代步车租赁公司一天的总利润最多是多少元？【答案】(1)至少是90元(2)该代步车租赁公司一天的总利润最多是3580元【分析】（1）设每辆代步车的日租金为x元，根据“40辆代步车能全部租出，且每天总租金不低于总支出”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为10的整数倍即可得出结论；（2）设每辆代步车的日租金为m元，该代步车租赁公司一天总利润为w元，分及两种情况考虑，当时，利用总利润＝总租金﹣总支出，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可找出w的最大值；当m＞150时，每天可租出辆，利用总利润＝总租金﹣总支出，即可得出w关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质即可找出w的最大值．