对钩函数详解性质图像对比并举例说明I8

主要内容：本文通过对比分析，解析函数y=ax+eq\f(b,cx)当a，b，c的系数符号不同时，并举例以四个函数y₁=84x+eq\f(93,163x),y₂=84x-eq\f(93,163x),y₃=-84x+eq\f(93,163x),y4=-84x-eq\f(93,163x),说明系数符号变化与函数性质的关系，简要画出函数在同一个坐标系下的图像。☆.函数的定义域分析根据y₁=84x+eq\f(93,163x),y₂=84x-eq\f(93,163x),y₃=-84x+eq\f(93,163x),y4=-84x-eq\f(93,163x)函数特征，可知均含有分式，故要求分母不为0，所以4个函数的定义域相同，定义域均为：(-∞,0)∪(0,+∞)。☆.函数的单调性分析由于4个函数均是由一个正比例函数和一个反比例函数的和差函数，可以根据两个函数的单调性综合分析和差函数的单调性。1.对于函数y₂=84x-eq\f(93,163x),是由正比例增函数和反比例减函数的差，所以相当于两个增函数的和，故函数y2整体为增函数。2.对于函数y₃=-84x+eq\f(93,163x)，是由正比例减函数和反比例减函数的和，所以相当于两个减函数的和，故函数y3整体为减函数。3.对于函数y₁=84x+eq\f(93,163x)，y4=-84x-eq\f(93,163x)前后两个函数的单调性不一致，不能简单通过上述方法解析，但可以使用导数来分析单调性。☆.导数分析函数的单调性步骤1.函数y₁=84x+eq\f(93,163x),求函数的一阶导数，有：eq\f(dy,dx)=84-eq\f(93,163x²)=eq\f(84*163x²-93,163x²),令eq\f(dy,dx)=0，即：84*163x²-93=0,所以x=±eq\f(1,2282)eq\r(35371)≈±0.08,结合函数的定义域，并根据导数与函数单调性有：(1)当x∈(-∞,-eq\f(1,2282)eq\r(35371))∪(eq\f(1,2282)eq\r(35371)，+∞)时，eq\f(dy,dx)＞0，函数为增函数；(2)当x∈[-eq\f(1,2282)eq\r(35371),0)∪(0,eq\f(1,2282)eq\r(35371)]时，eq\f(dy,dx)＜0，函数为减函数。2.函数y4=-84x-eq\f(93,163x),是y1的相反函数，故单调性与之相反。同理，结合函数的定义域，并根据导数与函数单调性有：(1)当x∈(-∞,-eq\f(1,2282)eq\r(35371))∪(eq\f(1,2282)eq\r(35371)，+∞)时，eq\f(dy,dx)＜0，函数为减函数；(2)当x∈[-eq\f(1,2282)eq\r(35371),0)∪(0,eq\f(1,2282)eq\r(35371)]时，eq\f(dy,dx)＞0，为增函数。☆.函数的凸凹性1.函数y₁=84x+eq\f(93,163x)有：eq\f(dy,dx)=84-eq\f(93,163x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0+eq\f(2*93,163x³)=eq\f(2*93,163x³),可知与x的符号成正向关系，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数。2.函数y₂=84x-eq\f(93,163x)有：eq\f(dy,dx)=84+eq\f(93,163x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0-eq\f(2*93,163x³)=-eq\f(2*93,163x³)，可知与x的符号有关系且相反，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数。3.y₃=-84x+eq\f(93,163x)有：eq\f(dy,dx)=-84-eq\f(93,163x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0+eq\f(2*93,163x³)=eq\f(2*93,163x³),可知与x的符号成正向关系，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数。4.y4=-84x-eq\f(93,163x)有：eq\f(dy,dx)=-84+eq\f(93,163x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0-eq\f(2*93,163x³)=-eq\f(2*93,163x³)，可知与x的符号有关系且相反，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数。.函数的极限eq\s(lim,x→-∞)84x+eq\f(93,163x)=-∞，eq\s(lim,x→0-)84x+eq\f(93,163x)=-∞,eq\s(lim,x→0+)84x+eq\f(93,163x)=+∞,eq\s(lim,x→+∞)84x+eq\f(93,163x)=+∞。eq\s(lim,x→-∞)84x-eq\f(93,163x)=-∞，eq\s(lim,x→0-)84x-eq\f(93,163x)=+∞，eq\s(lim,x→0+)84x-eq\f(93,163x)=-∞，eq\s(lim,x→+∞)84x-eq\f(93,163x)=+∞，eq\s(lim,x→-∞)-84x+eq\f(93,163x)=+∞,eq\s(lim,x→0-)-84x+eq\f(93,163x)=-∞，eq\s(lim,x→0+)-84x+eq\f(93,163x)=+∞,eq\s(lim,x→+∞)-84x+eq\f(93,163x)=-∞。eq\s(lim,x→-∞)-84x-eq\f(93,163x)=+∞,eq\s(lim,x→0-)-84x-eq\f(93,163x)=-∞eq\s(lim,x→0+)-84x-eq\f(93,163x)=-∞,eq\s(lim,x→+∞)-84x-eq\f(93,163x)=+∞☆.函数的奇偶性按照奇偶性判断方法，可知四个函数y₁=84x+eq\f(93,163x),y₂=84x-eq\f(93,163x),y₃=-84x+eq\f(93,163x),y4=-84x-eq\f(93,163x),均为奇函数。所以，图像关于原点对称,本处以y₃介绍奇偶性判断步骤。∵f(x)=-84x+eq\f(93,163x)∴f(-x)=-84*(-x)+eq\f(93,163*(-x))=84x-eq\f(93,163x)=-[-84x+eq\f(93,163x)]=-f(x).即：f(-x)=-f(x)，所以函数为奇函数，关于原点对称。☆.函数的五点图x(＜0)-0.12-0.10-0.08-0.06-0.0384x+eq\f(93,163x)-14.83-14.11-13.85-14.55-21.5484x-eq\f(93,163x)-5.33-2.690.414.4716.50-84x+eq\f(93,163x)5.332.69-0.41-4.47-16.50-84x-eq\f(93,163x)14.8314.1113.8514.5521.54x(＞0)0.030.060.080.100.1284x+eq\f(93,163x)21.5414.5513.8514.1114.8384x-eq\f(93,163x)-16.50-4.47-0.412.695.33-84x+eq\f(93,163x)16.504.470.41-2.69-5.33-84x-eq\f(93,163x)-21.54-14.55-13.85-14.11-14.83☆.函数的图像示意图四个函数y₁=84x+eq\f(93,163x),y₂=84x-eq\f(93,163x),y₃=-84x+eq\f(93,163x),y4=-84x-eq\f(93,163x)在同一个坐标系下示意图如下所示。其中：红色曲线表示y₁=84x+eq\f(93,163x)图像；绿色曲线表示y₂=84x-eq\f(93,163x)图像；紫色曲线表示y₃=-84x+eq\f(93,163x)图像；黑色曲线表示y4=-84x-eq\f(93,163x)图像。yy4=-84x-eq\f(93,163x)y₁=84x+eq\f(93,163x)y₃=-84x+eq\f(93,163x)y₂=84x-eq\f(93,163x)y₃=-84x+eq\f(93,163x) xy₁=84x+eq\f(93,163x)y4=-84x-eq\f(93,163x)☆.主要特性归纳1.函数相反性：函数y₁=84x+eq\f(93,163x)和函数y4=-84x-eq\f(93,163x)在同一个x处的y值互为相反数；函数y₂=84x-eq\f(93,163x)和函数y₃=-84x+eq\f(93,163x)也在同一个x处的y值互为相反数。2.经过的象限：函数y₁=84x+eq\f(93,163x)经过第一和第三象限，函数y4=-84x-eq\f(93,163x)则经过第二、第三象限；函数y₂=84x-eq\f(93,163x)和函数y₃=-84x+eq\f(93,163x)四个象限均经过。3.曲线的交点：函数y₁=84x+eq\f(93,163x)和函数y4=-84x-eq\f(93,163x)分别同另外3条曲线均没有交点;曲线方程y₂=84x-eq\f(93,163x)和函数y₃=-84x+eq\f(93,163x)有公共交点，且有两个交点，交点在x轴上，并互为相反数。4.坐标轴交点：函数y₁=84x+eq\f(