专题05 线段、角、对角线的计数模型（解析版）

专题05.线段、角、对角线的计数模型本专题主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。线段的条数、直线的交点数、角的个数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆。本专题就线段（角度）的计数、平面内直线相交所得交点与平面的计数、多边形的对角线条数和三角形个数的计数模型进行研究，以方便大家掌握。模型1.

线段与角度的计数模型1）线段的计数模型结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）；结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条）例1．（2023秋·四川遂宁·七年级校考期末）如图所示，点A，B，C，D在同一条直线上，则图中线段的条数有（

）A．3条 B．4条 C．5条 D．6条【答案】D【分析】根据线段的定义，写出所有线段后再计算条数．【详解】解：由图可得，线段有：线段AB、线段AC、线段AD、线段BC、线段BD、线段CD，共6条．故选：D．【点睛】本题主要考查线段的定义，注意解决计数问题时要做到不重不漏．例2．（2023春·安徽滁州·七年级校考开学考试）乘特快列车从济南西站出发，沿途经过泰安站、曲阜东站、滕州东站，最后到达枣庄站，那么从济南西站到枣庄站这段线路的火车票价格最多有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】C【分析】根据题意确定出数学模型，五点确定出线段的条数，计算即可得出答案．【详解】根据题意得：从济南西站到枣庄站这段线路的火车票价格最多有：种故选C．【点睛】本题考查了直线、射线、线段，从实际问题中抽象出数学模型是解题的关键．例3．（2023秋·江苏·七年级专题练习）石衡沧港城际铁路是京津冀城际铁路网“四纵四横一环”的重要组成部分，在沧州境内途径泊头、沧县、黄骅、渤海新区四个县（市），要保证每两个县（市）之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（

）A．20种 B．15种 C．12种 D．6种【答案】C【分析】先求出线段的条数，再计算车票的种数．【详解】解：需要印制不同的火车票的种数为（种）故选：C【点睛】本题考查了线段的运用，注意根据规律计算的同时，还要注意火车票需要考虑往返情况．例4．（2023秋·安徽滁州七年级月考）【观察思考】在表中空白处画出图形；线段上的点数包括，两点图例线段总条数______________________________【模型构建】如果线段上有个点包括线段的两个端点，那么该线段上共有多少条线段？【拓展应用】请将以下问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．（1）8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制即每两位同学之间都要进行一场比赛，那么一共要进行______场比赛；（2）某班名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握次手问好，则共握手______次；（3）海南环岛高铁是世界首创，其中某趟列车在东段的三亚站、陵水站、万宁站、琼海站、文昌站和海口东站个站之间运行，那么该趟列车需要安排不同的车票______种，票价______种．【答案】【观察思考】见解析；【模型构建】线段上有个点包括线段的两个端点，该线段上共有条线段；【拓展应用】（1）28；（2）900；（3）；．【分析】观察思考：根据题意画出图形即可；模型构建：根据表中的规律找到答案即可；拓展应用：（1）根据8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制即每两位同学之间都要进行一场比赛列式计算即可；（2）根据题意列式计算即可；（3）根据题意列式计算即可．【详解】解：【观察思考】

；

；

；

；

；【模型构建】解：，所以该线上共有条线段，答：线段上有个点包括线段的两个端点，该线段上共有条线段；【拓展应用】（1）因为，所以位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制即每两位同学之间都要进行一场比赛，那么一共要进行场比赛；故答案为：；（2）因为，所以某班名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握次手问好，则共握手次；故答案为：；（3）因为，，所以海南环岛高铁是世界首创，其中某趟列车在东段的三亚站、陵水站、万宁站、琼海站、文昌站和海口东站个站之间运行，那么该趟列车需要安排不同的车票种，票价种．故答案为：；．【点睛】此题考查了直线上线段条数的变化规律及其应用，得到“线段上有个点包括线段的两个端点，该线段上共有条线段”是解题的关键．例5．（2023秋·山西七年级月考）主题式学习：数形规律探究学习(1)发现规律，猜想说理．．．．．．．．．．．．．以此类推，我们发现的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关．如果，我们设则我们可以看出此等式的右边是若干个的和，∴_________．则_______．(2)运用规律，计算表达．①求_____________．②某校为庆祝2023年元旦，活跃学生文化生活，举行歌咏比赛．七年级（9）班获得第一名，该班学生列队以“单击掌”形式（每两个学生击掌一次）祝贺获奖；活动结束后该班同学又互赠“元旦祝福语”．如果该班有名同学，则共击掌_____________次，共赠送祝福语___________条．(3)迁移规律，解决问题．①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，那么这条航线上一共需要开通_____架航班．②如图，在的方格中，横线和竖线上的线段共有___________条．③2022年足球世界杯在卡塔尔举行（如图是足球世界杯奖杯“大力神杯”和卡塔尔世界杯会徽、吉祥物），共有32支国家足球队参赛．比赛分小组赛、1/8决赛、1/4决赛、半决赛、三四名决赛、决赛六个阶段进行．32支球队平均分成8个进行小组循环赛（小组内每两支球队举行一场比赛）；每小组前两名球队进入1/8决赛，然后实行淘汰赛，胜者进入1/4决赛．．．．．．请你计算2022年足球世界杯共进行多少场比赛？【答案】(1)，(2)①5047；②，(3)①90；②135；③【分析】（1）根据题目中的规律即可求解；（2）①根据（1）中的规律即可求解；②根据规律即可求解；（3）①10个城市每两个城市都要互通航班，据此即可求解；②分别计算横向和竖向的线段条数，即可求解；③利用分类的方法可求得2022年足球世界杯共进行多少场比赛．【详解】（1）解：．则．故答案为：，；（2）解：①．②如果该班有名同学，则共击掌次，共赠送祝福语条．故答案为：①5047；②100；③，；（3）解：①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，10个城市一共需要开通架航班；②横线上的线段有条，竖线上的线段有条，则横线和竖线上的线段共有条；③32支比赛分为8个小组，每个小组4支球队，共有场比赛，16强分成8组对阵，共有8场比赛，8强分成4组对阵，共有4场比赛，4强分成2组对阵，共有2场比赛，决赛有2场比赛，故共有场比赛．故答案为：①90；②135；③64．【点睛】本题考查了探索规律，线段的计数，线段的计数时应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复，利用规律解决问题．2）角度的计数模型结论：线段数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）；结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）例1．（2023秋·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，则图中共有个角．【答案】【分析】根据题意可知图中有两条射线，进而可得图中角的数量为个．【详解】解：∵图中有两条射线，∴图中角的数量为个，故答案为：．【点睛】本题考查了根据角中射线的数量求角的个数，根据图形找出规律是解题的关键．例2．（2023·山东青岛·七年级校考期末）在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…照此规律，画10条不同射线，可得锐角个．【答案】66【分析】分别找出各图形中锐角的个数，找出规律解题．【详解】解：∵在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得1+2=3个锐角；在锐角∠AOB内部，画2条射线，可得1+2+3=6个锐角；在锐角∠AOB内部，画3条射线，可得1+2+3+4=10个锐角；…∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是1+2+3+…+（n+1）=×（n+1）×（n+2），∴画10条不同射线，可得锐角×（10+1）×（10+2）=66．故答案为：66．例3．（2023秋·浙江·七年级专题练习）（1）数一数图①中共有个角，图②中共有个角；图③中共有个角．（2）从（1）中你能找到一种数图④中角的个数的规律吗？【答案】（1）3，6，10；（2）第n个图形共有角的个数：【分析】（1）根据图形直接数出角的个数即可；（2）根据（1）中所求得出数字变化规律，进而求出即可．【详解】解：（1）∵，则图①中共有3个角，，则图②中共有6个角，，则图③中共有10个角．（2）∵，，，∴第n个图形共有：．【点睛】此题主要考查了数字变化规律，图形的变化规律，根据已知得出数字是连续整数的和是解题关键．例4．（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角）(1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角；②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角；③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）；(2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？【答案】(1)①3；②6；③(2)【分析】（1）①②根据角的概念求出即可；③根据①②分析得出的规律求解即可；（2）将代入求解即可．【详解】（1）①由题意可得，从点分别引三条射线，图中的角有，，∴图中得到3个角；②由题意可得，从点分别引四条射线，图中的角有，，∴图中得到6个角；③由①②可得，当从点分别引条射线，，∴得到个角；（2）根据题意可得，当时，．∴全部赛完共需120场比赛．【点睛】本题考查了角的定义及其应用，掌握角的定义以及归纳规律是解题的关键．3）平面内直线相交所得交点与平面的计数模型直线的条数最多交点个数平面最多分成部分数102214337.........n例1．（2023春·上海徐汇·七年级校考期中）同一平面内画9条直线，最多能画出个交点．【答案】36【分析】从简单情形考虑：分别求出2条、3条、4条、5条、6条直线相交时最多的交点个数，找出规律即可解答．【详解】2条直线相交最多有1个交点；3条直线相交最多有个交点；4条直线相交最多有个交点；5条直线相交最多有个交点；6条直线相交最多有个交点；…所以n条直线相交最多有个交点；当时，．故答案：36．【点睛】本题考查相交线和图形的变化规律，解答此题的关键是找出其中的规律，利用规律解决问题．例2．（2023春·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习）若平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了（

）个部分．A．或 B． C．或 D．【答案】C【分析】根据题意画出图形即可．【详解】如图，

所以，平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了或个部分，故选：．【点睛】此题考查了相交线，关键是根据直线交点个数的问题，找出规律，解决问题．例3．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有个交点，n条直线相交最多有个交点．【答案】6【分析】四条直线相交最多的交点个数可通过画图得出交点个数，通过继续增加直线的条数可以找出规律即可解答；【详解】解：如图，两条直线相交最多有1个交点，即；三条直线相交最多有3个交点，即；四条直线相交最多有6个交点，即，五条直线相交最多有10个交点，即，……∴n条直线两两相交，最多有个交点（n为正整数，且n≥2）．故答案为6；．【点睛】本题考查了图形的变化，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．例4．（2023春·江苏年级期中）同一平面内条直线把平面分成两个部分（或区域）；条直线最多可将平面分成几个部分？条直线最多可将平面分成几个部分？条直线最多可将平面分成几个部分？请分别画出图来．由此可知条直线最多可将平面分成几个部分？【答案】条直线最多可将平面分成个部分；条直线最多可将平面分成个部分；条直线最多可将平面分成个部分；分别画出图见解析．由此可知条直线最多可将平面分成个部分【分析】根据题意，画图分类讨论，由此即可求解．【详解】解：条直线最多可将平面分成个部分，如图：；条直线最多可将平面分成个部分，如图：；条直线最多可将平面分成个部分，如图：，∴条直线最多分成可将平面分成个部分．【点睛】本题主要考查平面内直线的位置关系的规律，掌握画图分类讨论，直线的位置关系的规律是解题的关键．例5．（2023春·江苏·七年级专题练习）【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）；【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？【答案】[观察发现]6，；[实践应用]120场【分析】[观察发现]根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=n(n−1)个交点；[实践应用]把每个班作为一个点,进行一场比赛就是用线把两个点连接,用此方法即可.【详解】[观察发现]解：①两条直线相交最多有1个交点：1=；②三条直线相交最多有3个交点：3=；③四条直线相交最多有6个交点：6=；…n条直线相交最多有个交点．故答案为：6，．[实践应用]该类问题符合上述规律，所以可将n＝16代入．∴这一轮共要进行120场比赛．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解决本题的关键是要找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．4）多边形的对角线条数和三角形个数的计数模型结论：从n边形一个顶点出发可引出（n-3）条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形；n边形共有对角线。例1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）五边形经过一个顶点可以引（

）条对角线．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据从一个边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是，进行计算即可．【详解】解∶，∴五边形经过一个顶点可以引2条对角线．故选∶C．【点睛】此题主要考查了多边形的对角线，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是．例2．（2023春·江苏·七年级专题练习）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可画2014条对角线，则它是（）边形．A．2017 B．2016 C．2015 D．2014【答案】A【分析】边形一个顶点可以画条对角线，代入数据计算即可．【详解】解：设这个多边形是n边形．依题意，得，∴．故这个多边形是2017边形，故选：A．【点睛】本题考查了多边形的对角线条数，熟记公式是解题关键．例3．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）从边形的一个顶点引出的对角线把它最多划分为个三角形，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】经过边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式即可求边数．【详解】解：依题意有，解得：．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的对角线，解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解．例4．（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）五边形的对角线一共有（

）A．5条 B．6条 C．7条 D．8条【答案】A【分析】利用n边形从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线．从n个顶点出发引出(n−3)条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n(n−3)（n≥3，且n为整数）计算．【详解】解：五边形的对角线共有5×(5−3)=5，故选A．【点睛】本题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握多边形的对角线的算法．例5．（2023春·江苏南京·七年级统考期末）连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．如图，边形有条对角线．

【答案】【分析】找出过每个顶点可画的对角线的条数，除去重复的即可得出结果．【详解】解：如图，过顶点可以画条对角线，过顶点可以画条对角线，过顶点可以画条对角线；…，过顶点可以画条对角线；∴n边形的对角线条数的为，故答案为：．【点睛】此题考查了多边形的对角线的知识，属于基础题，关键是熟练掌握一些基本知识．例6．（2023秋·山东·七年级专题练习）夏夏和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中，请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：多边形的顶点数45678……从一个顶点出发的对角线的条数12345……①多边形对角线的总条数2591420……②(1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①________；②________.(2)拓展应用：有一个76人的代表团，由于任务需要每两人之间通1次电话（且只通1次电话），他们一共通了多少次电话?【答案】(1)①，②(2)他们一共通了2850次电话【分析】（1）根据前面5个图形归纳类推出一般规律，由此即可得出答案；（2）将问题转化为一个多边形的顶点数为76个，求这个多边形对角线的总条数与边数之和，再结合（1）的结论即可得．【详解】（1）解：多边形的顶点数为4时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，多边形的顶点数为5时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，多边形的顶点数为6时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，多边形的顶点数为7时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，多边形的顶点数为8时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，归纳类推得：当多边形的顶点数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为（其中，且n为整数），故答案为：，．（2）解：由题意，将问题转化为一个多边形的顶点数为76个，求这个多边形对角线的总条数与边数之和，则，答：他们一共通了2850次电话．【点睛】本题考查了多边形的对角线条数问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．课后专项训练1．（2023秋·安徽七年级月考）如图，线段上有两点，则图中共有线段（）条A． B． C． D．【答案】D【分析】根据线段有两个端点，写出所有线段后计算个数．【详解】解：由图得，图中的线段有AC，AD，AB，CD，CB，DB，共6条．故选：D．【点睛】本题考查线段的定义，找出线段时要注意按顺序做到不重不漏．2．（2023秋·山东临沂·七年级统考期末）由郑州到北京的某一班次列车，运行途中停靠的车站依次是：鹤壁-安阳-邯郸-邢台-石家庄-保定-北京，那么要为这次列车制作的火车票有（

）A．72种 B．56种 C．36种 D．28种【答案】D【分析】每两站点都要设火车票，且是单程票，每两个站点之间是一条线段，后求线段数量即可得出答案．【详解】解：每两站点都要设火车票，所以从一个城市出发到其他7个城市有7种车票，已知由郑州到北京的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：鹤壁-安阳-邯郸-邢台-石家庄-保定-北京，是单程车票，所以要为这次列车制作的火车票有7+6+5+4+3+2+1=28（种）．故选D．【点睛】本题考查了线段的数量，关键是要理解由一地到另一地的车票的数即为线段数量．3．（2023秋·江苏·七年级专题练习）假定有一排蜂房,形状如图,一只蜜蜂在左下角的蜂房中,由于受伤,只能爬,不能飞,而且只能永远向右方(包括右上、右下)爬行,从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去.则从最初位置爬到4号蜂房中,不同的爬法有(

)A．4种B．6种C．8种D．10种【答案】C【分析】解本题需要罗列符合条件的全部情况，列举时要按一定的顺序，做到不重不漏．【详解】根据题意，结合图形，依次罗列符合条件的情况，即可得答案．解：根据题意，符合题意要求的路线为134，124，1234，0134，0124，01234，024，0234共8条；故选C．【点睛】本题考查了列举法求方案，列举出所有可能是解题的关键．4．（2023秋·江苏·七年级专题练习）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A、B、C、D、E五个点，点P沿直线从右往左移动，当出现点P与A、B、C、D、E五个点中，至少有两个点距离相等的时候，就会发出警报，则直线上会发出警报的位置最多有（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】点P与A、B、C、D、E五个点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点．而图中共有线段十条，所以出现报警次数最多10次．【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报，∵图中共有十条线段ED、EC、EB、EA、DC、DB、DA、CB、CA、BA，∴发出警报的可能最多有10个．故选：C．【点睛】本题考查了直线与线段的相关内容，利用整体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类．5．（2023秋·江苏·七年级期末）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，则平面内不重合的7个点最多可以确定的直线条数是（

）．A．42 B．35 C．30 D．21【答案】D【分析】根据每两点之间有一条直线，可得n个点最多有条直线.【详解】解：若平面内有不重合的7个点最多可以确定条直线.故答案选D.【点睛】本题考查了直线，熟记n个点最多有条直线，是解题的关键.6．（2023秋·安徽蚌埠·七年级校联考阶段练习）有蚌埠到无锡往返的某一次列车,运行途中停靠的车站依次是：蚌埠南京常州无锡,那么要为这次列车制作的火车票有()A．3种 B．4种 C．6种 D．12种【答案】D【分析】从蚌埠到无锡要有3站，所以需要制作3种车票，从南京到无锡有2站，需要制作2种车票，常州到无锡有1站，需要制作1种车票，根据上述结论，再根据往返得出答案.【详解】由分析可知从蚌埠到无锡需要制作3+2+1=6种车票，往返则需要6×2=12种车票，故选D.【点睛】本题由实际问题抽象出线段模型，车票的种类即为线段的数量，需要注意单程还是往返.7．（2023·湖北·七年级阶段练习）平面内10条直线把平面分成的部分个数最多是（）A．46个 B．55个 C．56个 D．67个【答案】C【分析】根据表中数据，总结出规律，再根据规律解题．【详解】设直线条数有n条，分成的平面最多有m个．有以下规律：n

m1

1+12

1+1+23

1+1+2+3⋯n

m＝1+1+2+3+…+n＝+1，∴根据表中规律，当直线为10条时，把平面最多分成56部分，为1+1+2+3+…+10＝56；故选C．【点睛】本题考查了过平面上两点有且只有一条直线，体现了数形结合的思想．8．（2023秋·广东惠州·七年级统考期中）平面内条直线，每两条直线都相交，问最多有（

）个交点？A． B． C． D．【答案】D【分析】分别求出2条、3条、4条、5条、6条...直线相交时最多的交点个数，找出规律即可解答．【详解】2条直线相交最多有1个交点；3条直线相交最多有个交点；4条直线相交最多有个交点；5条直线相交最多有个交点；6条直线相交最多有个交点；条直线相交最多有个交点；故选：D．【点睛】本题考查了图形的变化规律，从简单情形入手，找出数字运算的规律，利用规律解决问题．9．（2023秋·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图①，若在的内部以为端点做一条射线，得到个角；如图②，若在的内部以为端点做两条射线和，得到个角……，以此类推，如果在的内部以为端点做条射线，则图③中角的个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形，根据图，图得出规律，即可．【详解】解：图：有条射线，组成个角；图：有条射线，组成个角；∴当有条射线，组成个角；∵图有条射线，即，∴组成个角．故选：B．【点睛】本题考查角的定义，解题的关键是理解角的定义，观察上述图形，找出规律．10．（2023秋·重庆七年级课时练习）如图所示，图中共有多少个小于平角的角（

）

A．10个 B．9个 C．8个 D．4个【答案】A【分析】根据图形依次数出角的个数即可．【详解】，，，，，，，，，.一共有10个角．故选：A．【点睛】本题主要考查了角的识别，按照顺序依次数是解题的关键，不要漏解．11．（2023·江苏扬州·七年级阶段练习）平面内任意画三条直线两两相交，交点的个数为

（

）个.A．1 B．2 C．3 D．1或3【答案】D【详解】试题解析：如图，在同一平面内，两两相交的三条直线的只有这两种情况，所以交点有1或3个．故选D.12．（2023春·湖北武汉·七年级统考期末）有8条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这8条直线的交点个数最多有（）A．21个 B．22个 C．23个 D．24个【答案】C【分析】首先可得、、、、、这6条直线最多有个交点，最多与前6条直线有6个交点，最多与前7条直线有7个交点，然后可得答案．【详解】解：如图，∵，、、交于同一点，

∴这6条直线最多有个交点，∵最多与前6条直线有6个交点，最多与前7条直线有7个交点，∴这8条直线的交点个数最多为（个），故选：C．【点睛】本题考查直线之间的交点个数，直线之间的交点个数最多的情况为后出现的直线与前面的直线均有不同交点．有位置前提的情况下，需要了解直线本身具有什么位置关系特点，先理清楚条件再按照交点个数最多的策略画图．理解直线之间的交点个数最多的情况是解题的关键．13．（2023秋·河南周口·七年级校考期末）平面上不重合的两点确定1条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上9条直线任两条相交，交点最多有a个，最少有b个，则（

）A．36 B．37 C．38 D．39【答案】B【分析】n条直线任意两条都相交，交点最多时，根据公式，把直线条数代入公式求解，n条直线相交于同一个点时最少，是1个交点，据此进行求解即可．【详解】解：平面上有9条直线相交，则这9条直线最多有个交点，相交于同一个点时，最少有1个交点，，，，故选：B．【点睛】本题主要考查了相交线的应用，代数式求值问题，解题的关键是熟练掌握相交线的计算方法．14．（2023秋·贵州毕节·七年级校联考期末）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可画7条对角线，则它是（

）边形．A．七 B．八 C．九 D．十【答案】D【分析】根据多边形的边数与对角线的数量关系列方程求解即可．【详解】设多边形有n条边，则，解得：，故多边形的边数为10，即它是十边形，故选：D．【点睛】此题考查了多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有条，熟练掌握是解题的关键．15．（2023秋·山东枣庄·七年级校考阶段练习）经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成9个三角形，这个多边形经过这一顶点的对角线条数是（）A．7条 B．8条 C．9条 D．10条【答案】B【分析】根据从多边形的一个顶点出发引出的所有对角线将多边形分成的三角形的个数确定这个多边形是几边形，从而确定一个顶点出发引出的对角线的条数．【详解】解：∵从n边形的一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，并把这个多边形分成了（n﹣2）个三角形，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成9个三角形，∴这个多边形是11边形，从这多边形的一个顶点出发引出了8条对角线．故选：B．【点睛】本题主要考查多边形的对角线，熟练掌握从多边形的一个顶点出发引出的对角线的条数以及对角线将多边形分成的三角形的个数是解决本题的关键．16．（2023秋·湖北七年级课时练习）为了丰富同学们的课余生活，东辰学校初二年级计划举行一次篮球比赛，从3个分部中选出15支队伍参加比赛，比赛采用单循环制（即每个队与其他各队比赛一场），则这次联赛共有（

）场比赛．A．30 B．45 C．105 D．210【答案】C【分析】根据多边形对角线的计算方式可得出，m支球队举行比赛，若每个球队与其他队比赛（m-1）场，则两队之间比赛两场，由于是单循环比赛，则共比赛m（m-1）．【详解】解：15支球队举行单循环比赛，比赛的总场数为：×15×（15-1）=105．故选：C．【点睛】本题考查多边形的对角线的知识，解题的关键是读懂题意，明确单循环赛制的含义，利用多边形的对角线条数的知识进行解答．17．（2023春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，则这个多边形的边数是条【答案】8【分析】根据n边形过一个顶点的所有对角线分得三角形的个数为个，即可求解．【详解】解：这个多边形的边数是条．故答案为：8【点睛】本题考查了多边形的边数，熟练掌握n边形过一个顶点的所有对角线分得三角形的个数为个是解题的关键．18．（2023秋·重庆七年级课时练习）【真实问题情境】由郑州开往北京西的G562次列车，运行途中停靠的车站依次是：鹤壁—邢台—石家庄—保定，那么要为这次单车制作车票种．【答案】15【分析】将每个车站视为一个点，合计六个点，两点确定一条线段，计算能够组成的线段的条数．【详解】解：视六个车站分别为六个点，六个点可组成线段，故答案为：15【点睛】本题考查两点确定一条线段，理解平面内多个能够组成的线段的条数是解题的关键．19．（2023春·湖南衡阳·七年级校考期中）若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等，则代数式．【答案】500【分析】若过边形的一个顶点有7条对角线，则；边形没有对角线，只有三角形没有对角线，因而；边形有条对角线，即得到方程，解得；正边形的内角和与外角和相等，内角和与外角和相等的只有四边形，因而．代入解析式就可以求出代数式的值．【详解】解：边形从一个顶点发出的对角线有条，，，，；则．故答案为：500【点睛】本题考查了多边形的性质，解题的关键是掌握边形从一个顶点发出的对角线有条，共有对角线条．20．（2023秋·广东深圳·七年级联考期末）边长为整数的正多边形的周长17，则过该正多边形的一个顶点可以画条对角线．【答案】14【分析】设正多边形的边数为（），边长为，根据边长为整数的正多边形的周长17，求出的值，根据过多边形的一个顶点的对角线的条数为，即可得解．【详解】解：设正多边形的边数为（），边长为，由题意，得：，∴，∵为整数，∴；∴过该正多边形的一个顶点可以画：条对角线；故答案为：【点睛】本题考查多边形的对角线条数．熟练掌握从多边形的一个顶点出发，可以引条对角线，是解题的关键．21．（2023秋·广东七年级月考）观察图，完成下列问题：

(1)如图①，内部有一条射线，则图中有个角；(2)如图②，内部有两条射线，，则图中有______个角；(3)如果内部有10条射线，那么图中有_______个角．【答案】(1)3(2)6(3)66【分析】（1）根据图①直接数出即可；（2）根据图②直接数出即可；（3）在图②的基础上看增加的角的个数即得画3条射线时角的个数；依此规律可得在∠AOB内部画n条射线时角的个数．【详解】（1）解：图①中有，，共3个，故答案为：3．（2）解：在内部画2条射线，，则图中有、、、、、，共个不同的角；故答案为：6．（3）解：按逆时针方向，以射线为角的始边，则题图①中分别以射线为角的终边共有两个角：，；以射线为始边，射线为终边有一个角：，所以题图①中角的个数是；同理，题图②中角的个数是；经过观察，可以发现角内部射线的条数总比第一个加数小1，∴当内部有10条射线时，角的个数是：．【点睛】本题考查了射线、线段和角的基本知识以及规律探求问题，注重类比、找到解题的规律和方法是解答的关键．22．（2023秋·江苏七年级课时练习）阅读并填空：问题：在一条直线上有，，，四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？要解决这个问题，我们可以这样考虑，以为端点的线段有，，共3条，同样以为端点，以为端点，以为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即4×3＝12（条），但和是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有条线段；若在一条直线上有个点，则这条直线上共有条线段．知识迁移：若在一个锐角内部画2条射线，，则这个图形中总共有个角；若在内部画条射线，则总共有个角．学以致用：一段铁路上共有5个火车站，若一列火车往返过程中，必须停靠每个车站，则铁路局需为这段线路准备种不同的车票．【答案】610620【分析】问题：根据线段的定义以及阅读部分提供的思路解答；知识迁移：结合问题部分的解题思路，再根据角的定义解答；学以致用：先计算出线段的条数，再根据两站之间需要两种车票解答．【详解】解：问题：根据题意，则；；；知识迁移：在内部画2条射线，则图中有个不同的角，在内部画n条射线，则图中有个不同的角；学以致用：5个火车站代表的所有线段的条数，，需要车票的种数：（种）．故答案为：6，10，，6，，20；【点睛】此题主要考查了线段的计数问题，角的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意．23．（2023秋·成都市七年级课时练习）如图：已知，，图中以O为顶点的所有角之和为_______．【答案】【分析】先找出所有以O为顶点的角，然后根据∠AOC+∠COB=∠AOB=60°，∠AOD+∠BOD=∠AOB=60°，∠AOE+∠EOB=∠AOB=60°，∠COD+∠DOE=∠COE=30°，求解即可得到答案．【详解】解：如图所示，以O为顶点的角有：∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠AOB，∠COD，∠COE，∠COB，∠DOE，∠DOB，∠EOB，∵∠AOC+∠COB=∠AOB=60°，∠AOD+∠BOD=∠AOB=60°，∠AOE+∠EOB=∠AOB=60°，∠COD+∠DOE=∠COE=30°∴∠AOC+∠AOD+∠AOE+∠AOB+∠COD+∠COE+∠COB+∠DOE+∠DOB+∠EOB=4∠AOB+2∠COE=300°故答案为：300°．【点睛】本题主要考查了角的定义和角的计算，解题的关键在于能够准确找出以O为顶点的角．24．（2023秋·北京市七年级月考）如图所示，能用一个字母表示的角有个，图中所有小于平角的角有个．【答案】27【分析】根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案．【详解】能用一个字母表示的角有个：，；小于平角的角有个：，，，，，，．故答案为：；【点睛】本题考查了角的概念：从一点引出两条射线组成的图形就叫做角．角的表示方法一般有以下几种：1．角个大写英文字母；2．角个大写英文字母；3．角小写希腊字母；4．角阿拉伯数字．25．（2023秋·江苏七年级课时练习）归纳与猜想：（1）观察上图填空：图中有个角；图中有个角；图中有个角；（2）根据（1）题猜想：在一个角内引条射线可组成个角．

【答案】【分析】根据角的定义，固定一条射线，剩余射线的条数即为可以与这条固定射线组成的角的个数．【详解】

如图所示，射线可以与射线，组成个角，射线可以与射线组成个角，所以图中共有个角．如图所示，射线可以与射线，，组成个角，射线可以与射线，组成个角，射线可以与射线组成个角，所以图中共有个角．如图所示，射线可以与射线，，，组成个角，射线可以与射线，，组成个角，射线可以与射线，组成个角，射线可以与射线组成个角，所以图中共有个角．在一个角内引条射线，则共有条射线，可以组成的角的个．故答案为：，，，．【点睛】本题考查角的定义，牢记角的定义（有公共端点的两条射线组成的图形叫做角）是解题的关键．26．（2023秋·安徽蚌埠·七年级校考期中）在同一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点，那么4条直线两两相交，最多有个交点，8条直线两两相交，最多有个交点．【答案】628【详解】解：可先画出三条、四条、五条直线相交，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=n(n−1)个交点．当时，n(n−1)故答案为：6，2827．（2023秋·山东七年级月考）如图，以点为端点引条射线时，共有个角；以点为端点引条射线时，共有个角以点为端点引条射线时，共有个角用含的代数式表示．

【答案】36【分析】有公共顶点的n条射线，可构成个角，依据规律解答即可．【详解】解：以点为端点引条射线时，共有个角；；以点为端点引条射线时，共有6个角；；以点为端点引5条射线时，共有个10角；；……以点为端点引条射线时，共有个角；故答案为：3，6，．【点睛】本题考查的是角的概念，掌握其规律是解题的关键：有公共顶点的n条射线，可构成个角．28．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）如图，已知C，D是线段AB上的两点，，．(1)图中以点A，B，C，D中任意两点为端点的线段共有条；(2)设，求的长．【答案】(1)6(2)【分析】（1）直接列出所有的线段即可作答；（2）由，可得，即有，根据，可得，，即可求出，则问题随之得解．【详解】（1）线段有：，，，，，共6条，故答案为：6．（2）∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即．故答案为：．【点睛】本题考查了线段的知识；解题的关键是熟练掌握线段中点、线段和差运算的性质，从而完成求解．29．（2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）基本事实：已知过两点可以画一条直线，我们得到了一个基本事实，若平面内有不在同一直线上的个点，过其中任意两点，一共可以画条直线；类比：如图，已知，在AOB的内部画射线，则图中共有个角；图1实践应用：年月日，沪苏通铁路正式通车，加快了长三角交通一体化建设，沪苏通铁路衔接南通和上海，并在沿途增设张家港、常熟、太仓三个停靠站，如图．若一动车往返于上海与南通之间，已知各站之间的路程均不相等．则共有____种不同的票价．(不考虑座位等级等其它因素)图2【答案】基本事实：两点确定一条直线，3；类比：6；实践应用：10【分析】基本事实：根据两点确定一条直线，过两点的直线有1条，过不在同一直线上的三点的直线有3条，类比：根据角的概念，表示出所有的角；实践应用：先求出线段的条数，从而确定票价的种数．【详解】解：基本事实：已知过两点可以画一条直线，我们得到了一个基本事实两点确定一条直线，若平面内有不在同一直线上的个点，过其中任意两点，一共可以画3条直线；故答案为：两点确定一条直线，3；类比：图中的角有：∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB共6个，故答案为：6实践应用：根据线段的定义：可知图中共有线段有AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10条，∴有10种不同的票价；故答案为：10【点睛】本题考查了两点确定一条直线，线段的数量及角的数量，运用数学知识解决生活中的问题．解题的关键是需要掌握正确数线段及角的方法．30．（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）连接多边形不相邻的两个顶点的线段是多边形的对角线，如图是四边形的对角线，请仔细观察下面的图形和表格，并确定二十三边形．．．．．共有条对角线．

多边形的顶点数456…从一个顶点出发的对角线的条数123…多边形对角线的总条数259…【答案】230【分析】根据多边形对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，结合表格中的数据得出规律，即可求得答案．【详解】解：由题意可得：多边形的顶点数为4时，从一个顶点出发的对角线有条，共有条，多边形的顶点数为5时，从一个顶点出发的对角线有条，共有条，多边形的顶点数为6时，从一个顶点出发的对角线有条，共有条，∴多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线有条，共有条，∴二十三边形．．．．．共有条对角线．故答案为：230．【点睛】本题考查对角线的条数，结合已知条件求得从n边形的任意一个顶点可作条对角线是解题的关键．31．（2023春·广东七年级期中）四边形有几条对角线？五边形、六边形呢？试猜想，边形有多少条对角线？运用你的猜想解决下列问题．(1)十二边形有多少条对角线？(2)一个多边形有条对角线，这个多边形是几边形？(3)小明经计算得出一个多边形有条对角线，他的计算正确吗？(4)有条对角线的多边形的内角和是多少度？(5)你能说明你的猜想吗？相信你能行，别忘了求助你的同学和老师．【答案】(1)十二边形有54条对角线(2)一个多边形有条对角线，这个多边形是十边形(3)错误(4)有条对角线的多边形的内角和是(5)猜想n边形有条对角线【分析】（1）根据四边形、五边形、六边形对角线条数，总结规律，得出十二边形对角线的条数即可；（2）根据n边形对角线有条，列出方程，求出n的值即可；（3）根据多边形有条对角线求出边数，然后作出判断即可；（4）求出有条对角线的多边形的边数，然后求出内角和即可；（5）根据四边形、五边形、六边形对角线条数，得出n边形对角线条数即可．【详解】（1）解：四边形有条对角线；五边形有条对角线；六边形有条对角线；则十二边形有条对角线．（2）解：∵，∴一个多边形有条对角线，这个多边形为十边形．（3）解：∵，，又∵，∴多边形不可能有171条对角线，∴小明的计算错误．（4）解：∵，∴有条对角线的多边形为八边形，八边形的内角和为，∴有条对角线的多边形的内角和是．（5）解：四边形有条对角线；五边形有条对角线；六边形有条对角线；……猜想n边形有条对角线．【点睛】本题主要考查了多边形对角线问题，多边形内角和公式，解题的关键是根据四边形、五边形、六边形的对角线条数寻找规律，得出n边形有条对角线．32．（2023·北京·统考一模）阅读下列材料并填空．平面上有n个点（n≥2）且任意三个点不在同一条直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线？（1）分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线……（2）归纳：考察点的个数和可连成直线的条数Sn发现：如下表点的个数可作出直线条数21=33=46=510=…………n(3)推理：平面上有n个点，两点确定一条直线．取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n－1）种取法，所以一共可连成n(n-1)条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2；即（4）结论：试探究以下几个问题：平面上有n个点（n≥3），任意三个点不在同一条直线上，过任意三个点作三角形，一共能作出多少不同的三角形？（1）分析：当仅有3个点时，可作出个三角形；当仅有4个点时，可作出个三角形；当仅有5个点时，可作出个三角形；……（2）归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数Sn，发现：（填下表）点的个数可连成三角形个数345……n(3)推理：

（4）结论：【答案】（1）1，4，10（2）点的个数可构成三角形个数31=44=510=n（3）见解析（4）结论：Sn=．【分析】（1）根据给的点数一一查出三角形即可；（2）根据引例学习，仿照引例解法，先定点，再定形的方法，3个点先取第一个点，三点任意一个有3种，第二个点从剩下的两点任取一个有2种，第三个点只有1种，三角形有3×2×1个，会出现重复现象△ABC，△ACB，△BAC，△BCA，△CAB，△CBA，都是同一种三角形，由此得出，根据此法可得出4、5、…、n个点的结论；（3）平面上有n个点，过不在同一条直线上的三个点可以确定一个三角形，取第一个点有n种方法，取第二个点有（n-1）种取法，取第三个点（n-2）种取法，所以一共可以作n（n-1）（n-2）个三角形，但同一个三角形重复6次，再除以6即可；（4）根据（3）即可得出结论．【详解】解：（1）当仅有3个点时，三点分别为A、B、C、可作1个三角形△ABC；当有4个点时，四点分别为A、B、C、D可作4个三角形△ABC，△ABD，△ACD，△BCD；当有5个点时五点分别为A、B、C、D、E，可作10个三角形△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，△BCD，△BCE；△BDE，△CDE．故答案为1,4,10．（2）填表如下：点的个数可构成三角形个数31=44=510=n（3）推理：平面上有n个点，过不在同一条直线上的三个点可以确定一个三角形，取第一个点有n种方法，取第二个点有（n-1）种取法，取第三个点（n-2）种取法，所以一共可以作n（n-1）（n-2）个三角形，但同一个三角形重复6次，故应除以6，即Sn=．（4）结论：Sn=．【点睛】本题考查图形规律探索，阅读理解，仔细阅读，抓住点与线的规律，拓展点与三角形的规律，是学习的质的飞跃，本题难度不大，是培养逻辑思维的好题．33．（2023春·海南·七年级校联考阶段练习）观察图形，寻找对顶角（不含平角）．

(1)两条直线相交于一点，如图①，共有___________对对顶角；(2)三条直线相交于一点，如图②，共有___________对对顶角；(3)四条直线相交于一点，如图③，共有___________对对顶角；(4)根据探究：当n条直线相交于一点时，共有___________对顶角．【答案】(1)2(2)6(3)12(4)【分析】（1）两条直线相交于一点，形成2对对顶角；（2）三条直线相交于一点，形成6对对顶角，（3）4条直线相交于一点，形成12对对顶角；（4）依次可找出规律，若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角．【详解】（1）解：对图形进行点标注，图①中对顶角有与，与，共2对；故答案为：2；

（2）图②中对顶角有与，与，与，与，与，与，共6对；故答案为：6；（3）图③中对顶角有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，共12对；故答案为：12；（4），，，则可以推理得到条直线相交于一点共有对对顶角