专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型（原卷版）

专题05相似三角形中的基本模型之对角互补模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.对角互补模型（相似模型）【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似.【常见模型及结论】1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点，辅助线：过点O作OD⊥AC，垂足为D，过点O作OH⊥BC，垂足为H，结论：①△ODE∼△OHF；②（思路提示：）.2）对角互补相似 2条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.辅助线：作法1：如图1，过点C作CF⊥OA，垂足为F，过点C作CG⊥OB，垂足为G；结论：①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·.（思路提示：，CF=OG，在Rt△COG中，）辅助线：作法2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；结论：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·.（思路提示：，在Rt△OCF中，）3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°辅助线：过点D作DE⊥BA，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F；结论：①△DAE∼△DCF；②ABCD四点共圆。例1．（2023·成都市·九年级期中）如图所示，在中，，，在中，，点P在上，交于点E，交于点F．当时，的值为（）．A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2023·上海普陀·九年级校考期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合）且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O．(1)求证：△ADE∽△ACB；(2)如果CD＝CE，求证：CD2＝CO•CA．例3．（2023·广西河池·校联考一模）综合与实践【问题情境】在中，，，，在直角三角板中，，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，．【猜想证明】如图，在三角板旋转过程中，当为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由．【问题解决】如图，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长．

例4．（2022·江苏·九年级专题练习）如下图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交于点．另一边交的延长线于点．（1）观察猜想：线段与线段的数量关系是；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若、，求的值．例5．（2023·成都市·九年级专题练习）已知在中，，，点在上，且．

当点为线段的中点，点、分别在线段、上时（如图）．过点作于点，请探索与之间的数量关系，并说明理由；当，①点、分别在线段、上，如图时，请写出线段、之间的数量关系，并给予证明．②当点、分别在线段、的延长线上，如图时，请判断①中线段、之间的数量关系是否还存在．（直接写出答案，不用证明）例6．（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF；（2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长；（3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长．课后专项训练1．（2022·黑龙江·鸡西九年级期末）如图，在Rt中，，，，在Rt中，，点在上，交于点，交于点，当时，的长为（

）A．4 B．6 C． D．2．（2023广东九年级期中）如图，中，，平分，，连接，并延长分别交，于点和点，若，，则的长为（）A．10 B．12 C．15 D．163．（2023·山西临汾·统考二模）在菱形中，，对角线交于点，分别是边上的点，且与交于点，则的值为．

4．（2023·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC是等边三角形,D是AC的中点,F为AB边上一点,且AF=2BF,E为射线BC上一点,∠EDF=120°,则=.5．（2023·安徽·九年级专题练习）点是内一点，平分，延长交于点，延长交于点．(1)如图，若，证明：；(2)如图，若，证明：；(3)如图，若，，，，求的值．

6．（2023秋·山西忻州·九年级校考期末）综合与实践问题情境：在学习了三角形的相似后，同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究．猜想推理：（1）如图1，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，，，，则______．问题解决：（2）如图2，是等边三角形，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求证：．（3）如图3，，，，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求的值．

7．（2023广东深圳三模试题）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点，在正方形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．证明：；

（2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点，且，．在矩形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．若，求的长；（3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形．在绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．

8．（2023辽宁九年级月考）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，把一个三角板的直角顶点放在点D处，将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F.（1）如图1，观察旋转过程，猜想线段AF与BE的数量关系并证明你的结论；（2）如图2，若连接EF，试探索线段BE、EF、FC之间的数量关系，直接写出你的结论（不需证明）；（3）如图3，若将“AB=AC，点D是BC的中点”改为：“∠B=30°，AD⊥BC于点D”，其余条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF、BE的比值.9．（2023浙江九年级月考）如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90∘,AB=6,AC=8,点D为边BC的中点,点P为射线AB上的一动点,点Q为边AC上的一动点,且∠PDQ=90∘.(1)当DP⊥AB时，求CQ的长；(2)当BP=2，求CQ的长；(3)连结AD，若AD平分∠PDQ，求DP：DQ.10．（2023·山东德州·统考二模）如图1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是对角线BD的中点，直角∠GEF的两直角边EF、EG分别交CD、BC于点F、G．（1）若点F是边CD的中点，求EG的长．（2）当直角∠GEF绕直角顶点E旋转，旋转过程中与边CD、BC交于点F、G．∠EFG的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠EFG的值．（3）当直角∠GEF绕顶点E旋转，旋转过程中与边CD、BC所在的直线交于点F、G．在图2中画出图形，并判断∠EFG的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请直接写出tan∠EFG的值．（4）如图3，连接CE交FG于点H，若，请求出CF的长．11．（2023秋·河南商丘·九年级校联考期末）综合与实践问题情境：在中，．直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边分别与边交于点M，N，猜想证明：(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；问题解决：(2)如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长；12．（2023·广西钦州·校考模拟预测）综合与探究问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板ABC中，，，D为的中点，用两根小木棒构建直角，将项点放置于点D上，得到，将绕点D旋转，射线分别与边交于E，F两点，如图1所示．

(1)操作发现：如图1，当E、F分别是的中点时，试猜想线段与的数量关系是_____．(2)类比探究：由图1抽象出图2，当E、F不是的中点，但满足时，求证：是等腰直角三角形．(3)拓展应用：如图3，将两根小木棒构建的直角，放置于边长为2的正方形纸板上，顶点和正方形对角线的中点O重合，射线分别与交于E，F两点，请求出四边形的面积．13．（2023·北京延庆·九年级期中）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，已知：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，点E为边AB上一点，连结DE，过点D作DE的垂线与直线AC交于点F，连结EF．求证：AF=BE．探究过程：经过分析小明发现，△ADF≌△BED，然后根据全三角形的性质：全等三角形的对应边相等，可以得到AF=BE．请你根据小明的探究过程解决以下问题：(1)探索发现：如图2，若点E为边AB延长线上一点，其他条件不变，AF与BE还相等吗？请说明理由．(2)类比迁移：如图3，在等边△ABC中，点D是BC的中点，点E为边AB上一点，连结DE，以DE为一边作∠EDF=60°，交直线AC于点F，且AE=2AF．请你依据题意补全图形，若AB=4，求AF的长．14．（2023·四川成都·统考中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在中，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．

【初步感知】(1)如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程．【深入探究】(2)①如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）【拓展运用】(3)如图3，连接，设的中点为M．若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．15．（2023·广东九年级期中）在△ABC中，，AC=4，BC=3，点D是斜