专题07 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型（解析版）

专题07特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。【模型解读】结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）【模型证明】以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。【最值原理】两点之间，线段最短。例1．（2023·成都实外九年级阶段练习）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M，N分别为AB、BC上的动点，且始终保持BM＝CN．连接MN，以MN为斜边在矩形内作等腰Rt△MNQ，若在正方形内还存在一点P，则点P到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为．解：设BM＝x，则BN＝6﹣x，∵MN2＝BM2+BN2，∴MN2＝x2+（6﹣x）2＝2（x﹣3）2+18，∴当x＝3时，MN最小，此时Q点离AD最近，∵BM＝BN＝3，∴Q点是AC和BD的交点，∴AQ＝DQ＝AD＝3，过点Q作QM′⊥AD于点M′，在△ADQ内部过A、D分别作∠M′DP＝∠M′AP＝30°，则∠APD＝∠APQ＝∠DPQ＝120°，点P就是费马点，此时PA+PD+PQ最小，在等腰Rt△AQD中，AQ＝DQ＝3，QM′⊥AD，∴AM＝QM′＝AQ＝3，故cos30°＝，解得：PA＝2，则PM′＝，故QP＝3﹣，同法可得PD＝2，则PA+PD+PQ＝2×+3﹣＝3+3，∴点P到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为3+3，故答案为3+3．例2．（2023·陕西榆林·九年级校考期中）如图，点P是边长为4的菱形的对角线上一动点，若，则的最小值为．

【答案】【分析】将逆时针旋转得到，根据题意证明出是等边三角形，得到，进而得到，证明出当点，，，四点共线时，的值最小，即为的长度，然后利用勾股定理求解即可．【详解】如图所示，将逆时针旋转得到，

∴，，∴是等边三角形∴∴∴当点，，，四点共线时，的值最小，即为的长度，∵菱形的边长为4∴∵，∴∴∴的最小值为．故答案为：．【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，旋转的性质，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是将逆时针旋转得到．例3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______．【答案】解：将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD＝M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，∴AM＝MM’，∴MA+MD+ME＝D’M+MM’+ME，∴D′M、MM′、ME共线时最短，由于点E也为动点，∴当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E＝DG+GE＝4+3，∴MA+MD+ME的最小值为4+3．例4．（2024·广东·九年级培优训练）如图，在正方形中，点为对角线上一点，为等边三角形．(1)当点在何处时，的值最小，说明理由；(2)当正方形的边长为8时，求的最小值是多少？【答案】(1)为与的交点．证明见解析(2)的最小值为：．【分析】（1）如图，将线段顺时针旋转得线段，连接，，证明，可得当，，，四点共线时，如图，此时最小，可得为与的交点．（2）如图，过作交的延长线于，证明，可得，，再利用勾股定理可得最小值．【详解】（1）解：如图，将线段顺时针旋转得线段，连接，，∴，，∴为等边三角形，∴，∵为等边三角形．∴，，∴，∴，∴，∴，当，，，四点共线时，如图，此时最小，∴为与的交点．（2）如图，过作交的延长线于，∵正方形，等边三角形，，∴，，，∴，∴，，∴，∴的最小值为：．【点睛】本题考查的是旋转的性质，等边三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，作出合适的辅助线是解本题的关键．例5．（2023·广东广州·校考二模）平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连．(1)如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度；(2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：；(3)如图3，已知，若，直接写出的最小值．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）根据“直角三角形的中线等于斜边长一半”，可以得到，再在直角中，利用勾股定理求出，则，即可求解；（2）由题意可得，是的角平分线，且，故延长交于点M，可证，要证，而，即证明即可，延长交于N，过E作于P，先证明，可以得到，再证明四边形是正方形，得到，接着证明即可解决；（3）如图3，分别以和为边构造等边三角形，构造“手拉手”模型，即可得到，所以，则，当B，F，M，N四点共线时，所求线段和的值最小，利用，解即可解决．【详解】（1）解：∵，如图1，∴，E为的中点，，∴，∵，∴，在中，，∴；（2）证明：如图2，设射线与射线交于点M，由题可设，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，延长交于N，∴，过E作于P，则，在与中，

，∴，∴，过E作于Q，∴，∴四边形为矩形，∵，∴，∴，∴矩形为正方形，∴，∴，在与中，，

∴，∴，∵，∴；（3）解：如图3，把绕点A逆时针旋转得到，得到等边，同理以为边构造等边，∴，，∴，∴，在与中，，∴，∴，∴，当B，F，M，N四点共线时，最小，即为线段BN的长度，如图4，过N作交其延长线于T，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∴的最小值为．【点睛】本题是一道四边形综合题，考查了线段的“截长补短”在证明三角形全等中的应用，同时要注意基本辅助线构造方法，比如第（2）问中的线段既是角平分线，又是垂线段，延长相交构等腰就是本题的突破口，再结合线段的截长补短来构造全等，还考查了多条线段和的最值问题，利用旋转变换来转化线段是解决此问的关键．例6．（2023·重庆·九年级专题练习）【问题提出】（1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________．（2）如图2，在中，，，求的最小值．【问题解决】（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积．【答案】（1）等边三角形；（2）BC的最小值为；（3）平行四边形公园ABCD的面积为（平方米）．【分析】（1）由旋转得BN=BM，∠MBN=60°，可判断出△BMN是等边三角形即可；（2）设AB=a，则AC=10-a，进而根据勾股定理得出即可得出结论；（3）先判断出点A'，E'，E，C在同一条线上，设BF=x，进而依次得出AB=2x，BC=6-2x，CF=6-x，再利用勾股定理得出，得出x=是A'C最小，进而求出A'F，BC，利用平行四边形面积公式计算即可．【详解】（1）证明：的形状是等边三角形，理由如下;由旋转知，BN=BM，∠MBN=60°∴△BMN为等边三角形故答案为：等边三角形；（2）解：设AB=a，∵AB+AC=10，∴AC=10-AB=，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，，∵，∴，即，∴，即BC的最小值为；（3）解：如图3，将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE'，∴△ABE≌△A'BE'，∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°，∴△EBE'为等边三角形，∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE，∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE，要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C，过点A'作A'F⊥CB，交CB的延长线于F，在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°，设BF=x，则A'B=2x，根据勾股定理得，A'F=，∵AB=A'B，∴AB=2x，∵AB+BC=6，∴BC=6-AB=6-2x，∴CF=BF+BC=6-x，在Rt△A'FC中，根据勾股定理得，，∴当x=，即AB=2x=3时，最小，此时，BC=6-3=3，A'F=，∴平行四边形公园ABCD的面积为（平方千米）．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，用代数式表示线段，利用配方法确定极值问题，判断出AB=BC时，AE+BE+CE最小是解本题的关键．例7．（2024上·河北沧州·九年级统考期末）如图，设是边长为1的正方形内的两个点，则的最小值为．【答案】/【分析】将绕点A顺时针旋转至，将绕点D逆时针旋转至，则和是正三角形，进而可证当六点共线时的值最小．连接，则和是等边三角形，然后分别求出的值即可．【详解】解：将绕点A顺时针旋转至；将绕点D逆时针旋转至，∴，，，，∴和都是等边三角形，∴，，，∴，∴当六点共线时的值最小．连接，∵，，∴是等边三角形，∴，∴在的垂直平分线上，同理可证，∴在的垂直平分线上，∵四边形是正方形，∴，∴垂直平分，∴，四边形是矩形，∴，，∴，同理可求，∴，即的值最小为．故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．例8．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图①，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，点为中点，四边形和四边形都是正方形．(1)求的长；(2)如图②，连接，，过点作于点，延长交于点，求证：；(3)如图③，，点在边上，且，为的中点，点为正方形内部一点，连接，，，请直接写出的最小值．【答案】(1)(2)见详解(3)【分析】（1）由直线解析式可求出的长，然后根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即可求出答案；（2）过点作交延长线于点，过点作，垂足为，先证明，，再证明，即可得出结论；（3）将绕点逆时针旋转得到，连接，通过旋转构造的最小值为的长，即可解答．【详解】（1）解：对于直线，当时，，即，当时，，即，∴，，∴，∵点是的中点，，∴；（2）证明：过点作交延长线于点，过点作，垂足为，∵四边形为正方形，∴，，，∵，，∴，∴，∴，∴，同理，∴，∴，∵，，∴，又∵，，∴，∴；（3）解：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，∴，，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∴当共线时，有最小值，最小值为的长，在正方形中，，，为的中点，∴，，∴，在中，，∴的最小值为．【点睛】本题主要考查了坐标与图形、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、一次函数的性质等知识，熟练掌握相关性质并作出辅助线是解题关键．课后专项训练1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（）A． B． C． D．【答案】D【分析】据“两点之间线段最短”，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长．【详解】解：如图，∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∴△BFG是等边三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根据“两点之间线段最短”，∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，∵BC=4，∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=CE=，故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键．2．（2022·广东广州·一模）如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，正方形的边长为_______．解：以A为旋转中心，将△ABE顺时针旋转60°得到△AMN，连NE，MB，过M作MP⊥BC交BC的延长线于P点，如图，∴MN＝BE，AN＝AE，∠NAE＝60°，∴△ANE为等边三角形，∴AE＝NE，∴AE+EB+EC＝MN+NE+EC，当AE+EB+EC取最小值时，折线MNEC成为线段，则MC＝，∵AB＝AM，∠BAM＝60°，∴△ABM为等边三角形，∴∠MBC＝150°，则∠PBM＝30°，在Rt△PMC中，设BC＝x，PM＝所以所以x＝2，∴BC＝2，即正方形的边长为2．3．（2024上·陕西汉中·九年级统考期末）如图，正方形的边长为2．为与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为、，则的最小值为．【答案】【分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，勾股定理，连接、、，证可得，当、、、四点共线时，即得最小值；【详解】解：如图，连接、、，∵∴在和中，∵∴∴∴当时，最小，∴的最小值为，故答案为：．4．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（

）A． B．36 C． D．【答案】A【分析】分别以、为边在下方构造等边三角形、，分别取、中点，连接，先证得，可得，由中位线可得，由等边三角形性质可得，当三点共线时即可求得的最小值，最终求出的最小值．【详解】分别以、为边在下方构造等边三角形、，分别取、中点，连接，如图所示，∵取、中点，∴，∵等边三角形，∴，∵等边三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴当三点共线时最小，∵∴，∵，∴，∴，∴，∴的最小值为，故选：A．【点睛】本题考查等边三角形的性质、中位线的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是利用手拉手模型构造辅助线．5．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，点P是矩形对角线上的一个动点，已知，则的最小值是__．【答案】【分析】将绕点C逆时针旋转，得到，连接，则是等边三角形，是等边三角形，由，得出，当共线时，得到值最小，然后根据等边三角形的性质和勾股定理求得的最小值．【详解】解：将绕点C逆时针旋转，得到，连接，则是等边三角形，是等边三角形，∴，∴，∴当共线时，值最小，即的值最小，连接，作，延长使得，连接，则四边形是矩形，∴，∵是等边三角形，∴，，∴，，∴，∴的最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，正确作出辅助线是解题的关键．6．（2023·广东梅州·九年级校考阶段练习）定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”．【基础巩固】（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为BC边上的高，已知AD上一点E满足∠DEC＝60°，AC＝，求AE+BE+CE＝；【尝试应用】（2）如图2，等边三角形ABC边长为，E为高线AD上的点，将三角形AEC绕点A逆时针旋转60°得到三角形AFG，连接EF，请你在此基础上继续探究求出等边三角形ABC的“最近值”；【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，过AB的中点E作AB垂线交CD的延长线于点F，连接AC、DB，已知∠BDA＝75°，AB＝6，求三角形AFB“最近值”的平方．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AC＝，∴BD＝CD＝AD＝，∵∠DEC＝60°，∴DE＝＝4，∴AE＝AD﹣DE＝，CE＝BE＝2DE＝8，∴AE+BE+CE＝+8×2＝12+；故答案为：12+；（2）由题意可得：AE＝AF，∠EAF＝60°，∴△EAF为等边三角形，∴AE＝EF＝AF，∴AE+BE+CE＝EF+BE+GF，∵B、G两点均为定点，∴当B、E、F、G四点共线时，EF+BE+GF最小，∴∠AEB＝120°，∠AEC＝∠AFG＝120°，∴∠BEC＝120°，∴此时E点为等边△ABC的中心，∴AE+BE+CE＝3AE＝＝12，故等边三角形ABC的“最近值”为12；（3）如图，过点D作DM⊥AB于点M，∵∠BDA＝75°，AB＝AD，∴∠DAB＝30°，∴2DM＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴EF＝DM，∴2EF＝AB，∴AE＝BE＝EF＝3，∴△AEF与△BEF均为等腰直角三角形，∴△ABF为等腰直角三角形，设P为EF上一点，由（2）得：∠APF＝∠BPF＝∠APB＝120°时，PA+PB+PF最小，此时：EP＝＝，∴AP＝BP＝2EP＝，FP＝EF﹣EP＝3﹣，∴AP+BP+FP＝＝3+，∴（AP+BP+FP）2＝＝，∴三角形AFB“最近值”的平方为．7．（2023·广东·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．(1)求证：；(2)①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；(3)当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长．【答案】(1)见解析(2)①BD的中点，②BD与CE的交点处，见解析(3)【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出∠BMA=∠NBE，然后即可证明，（2）①根据两点之间线段最短可知当M点落在BD的中点时，根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM=EC最短，②连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，（3）过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F,设正方形的边长为x，，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，得出BF=x，EF=，在Rt△EFC中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．（1）解：∵△ABE是等边三角形，∴BA=BE，∠ABE=60°．∵∠MBN=60°，∴．即∠BMA=∠NBE．又∵MB=NB，∴（SAS）（2）①∵，∴当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小理由如下：连接MN．由（1）知，，∴AM=EN．∵∠MBN=60°，MB=NB，∴△BMN是等边三角形．∴BM=MN．∴AM＋BM＋CM=EN＋MN＋CM根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM=EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长（3）过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴．设正方形的边长为x，则BF=x，EF=．在Rt△EFC中，∵，∴，解得，（舍去负值）．∴正方形的边长为，【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键．8．（2023·福建九年级月考）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、.设点的坐标为.（1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段上，点，.且（），则点的坐标为，点的坐标为；请直接写出点纵坐标的取值范围是；（2）若正方形的边长为2，求的长，以及的最小值.(提示：连接:，)【答案】（1），，；（2），.【分析】（1）如图1，以直线BD为x轴，直线AC为y轴，建立平面直角坐标系，根据正方形的性质得到OA=OB=OC=OD，由点B（-1，0），A（0，1），于是得到D（1，0），C（0，-1）；过N作NH⊥BD于h，根据旋转的性质得到∠NBH=60°，BM=BN，求得NH=BN=t，于是得到结论；（2）如图所示，连接MN，过E作EH⊥BC，交CB的延长线于H，由旋转的性质得到BM=BN，∠NBM=60°，求得△BMN是等边三角形，求得MN=BM，根据等边三角形的性质得到BE=BA，∠ABE=60°，求得∠ABM=∠EBN，根据全等三角形的性质得到AM=EN，求得AM+BM+CM=EN+MN+CM，当E，N，M，C在同一直线上时，AM+BM+CN的最小值是CE的长，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）如图1，以直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，∵四边形是正方形∴∵点，∴，过作于∴∵将绕点逆时针旋转得到，∴∴∵∴点纵坐标的取值范围是故答案为：，，（2）如图所示，连接，过作，交的延长线于，由旋转可得，，，∴是等边三角形，∴∵是等边三角形∴∴∴≌（）∴∴∴当，，，在同一直线上时，的最小值是的长，又∵，∴∴中，∴∴∴中，∴的最小值为【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质、旋转以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是根据两点之间线段最短，得出结论．9．（2023·陕西西安·八年级校考阶段练习）问题探究将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，为内部一点，连接，求的最小值．方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段(星型线)转化为两定点之间的折线(化星为折)，再利用“两点之间线段最短”求最小值(化折为直)．问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接、，记与交于点，易知，．由，，可知为正三角形，有．故．因此，当共线时，有最小值是．学以致用：(1)如图3，在中，，，为内部一点，连接、，则的最小值是__________．(2)如图4，在中，，，为内部一点，连接、，求的最小值．(3)如图5，是边长为2的正方形内一点，为边上一点，连接、，求的最小值．【答案】（1）5；（2）；（3）.【分析】（1）将绕点逆时针旋转得到，易知是等边三角形，，转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．（2）将绕点逆时针旋转得到，易知是等腰直角三角形，，作交的延长线于．转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．（3）如图5中，将绕点逆时针旋转得到，则易知是等边三角形，转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“垂线段最短”求最小值．【详解】解：（1）如图3中，将绕点逆时针旋转得到，∴≌，∠CAE=PAF=60°，∴AE=AC=3，AF=AP，∴是等边三角形，∵∠BAC=30°，∴，在中，，，，的最小值为5．故答案为5．（2）如图4中，将绕点逆时针旋转得到，∴AF=AP，∠FAP=90°，∴是等腰直角三角形，∴FP=，∵∠BAC=45°，∴，，作交的延长线于．在中，，，，在中，，，的最小值为．（3）如图5中，将绕点逆时针旋转得到，则易知是等边三角形，作于，交于．，易知，，，，的最小值为．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，两点之间线段最短时的位置的确定以及解直角三角形，解本题的关键是确定取最小值时的位置．10．（2023春·广东·八年级专题练习）如图1，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一动点，连接BE交对角线AC于点F，点M为线段BF上一点，连接AM．(1)如图1，若对角线AC⊥AB，点M是BF的中点，，，求BC的长；(2)如图2，若，，AC的垂直平分线交BE的延长线于点G，连接AG，CG，AM平分∠BAC交BE于点M，求证：；(3)如图3，当点E在运动过程中满足BCE为等边三角形时，若；在BCE内部是否存在一点P使有最小值，若存在，直接写出的最小值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)见解析(3)存在，【分析】（1）由已知条件根据勾股定理求出AB，由求出AC，由勾股定理求出BC的长；（2）连接并延长MC，过点C作CQ⊥BC交BE于点Q，分别过点G作GH⊥MC于点H，作GP⊥AM于点P．证明△ABM≌△ACM（SAS），推出，∠MCQ＝∠BCQ－∠BCM＝60°．∠MQC＝∠MCQ＝∠CMQ＝60°．得到．证明△AGP≌OCGH（HL）推出，∠ACM＝∠GCQ．证明△ACM≌△GCQ（SAS），推出，由此得到结论；（3）取任意点P，连接PB、PC、PE，以BP为边作等边三角形BPP1，作点E关于BC的对称点C1，连接BC1，CC1，当点E、P、P1、C1四点共线时，有最小值，连接BP、CC1相交于点Q，连接EQ，由轴对称的性质求出C1Q=2BC1=2BC=8，根据等边三角形的性质得到∠EQB=∠CQB=30°，证得∠PCQ=90°，同理∠PEQ=90°，推出BQ=PB+PC+PE，由勾股定理求出BQ即可．【详解】（1）解：∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°；∵点M为BF的中点，∴，∴BF=6，∴∵，∴∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°∴（2）解：连接并延长MC，过点C作CQ⊥BC交BE于点Q，分别过点G作GH⊥MC于点H，作GP⊥AM于点P．∵，AM平分∠BAC，∴△ABM≌△ACM（SAS）；∴，∠AMB＝∠AMC，∵∠CBE＝30°，BM＝MC，∴∠BCM＝∠CBE＝30°，∴∠CMQ＝∠BCM＋∠CBE＝60°，∠BMC＝120°，∴∠AMB＝∠AMC＝120°，∴∠AMG＝∠CMG＝60°．∵CQ⊥BC，∠MCB＝30°，∴∠MCQ＝∠BCQ－∠BCM＝60°．∴∠MQC＝∠MCQ＝∠CMQ＝60°．∴．∴．∵GH⊥MC，GP⊥AM，∠AMG＝∠CMG．∴∠MPG＝∠MHG＝90°，．∴，∵点G在AC的垂直平分线上，∴．在Rt△AGP与Rt△CGH中，，∴△AGP≌OCGH（HL）∴∠AGP＝∠CGH，∴∠AGC＝∠PGH＝60°，∴△AGC为等边三角形，∴，∠ACM＝∠GCQ．在△ACM与△GCQ中，，∴△ACM≌△GCQ（SAS），∴．∵，∴．（3）解：存在，的最小值为．取任意点P，连接PB、PC、PE，以BP为边作等边三角形BPP1，作点E关于BC的对称点C1，连接BC1，CC1，当点E、P、P1、C1四点共线时，有最小值，连接BP、CC1相交于点Q，连接EQ，∵△BPP1是等边三角形，∴∠PBP1=60°，由轴对称可得∠EBP=∠C1BP1=30°，∠BC1C=60°，△BCC1是等边三角形，∴∠C1BQ=90°，∠BQC=30°，∴C1Q=2BC1=2BC=8，∴CQ=BC=4=CE，∵∠ECQ=60°，∴△ECQ是等边三角形，∴∠EQB=∠CQB=30°，∵点E、P、P1、C1四点共线，∴C1E垂直平分BC，∴∠ECP=∠EBP==30°，∴∠PCQ=90°，同理∠PEQ=90°，∴PQ=2PC=2PE，∴PQ=PC+PE，∴BQ=PB+PC+PE，∵，∴的最小值为．【点睛】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定及性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，这是一道图形类的综合题，正确掌握各知识点并综合应用是解题的关键．11．（2023上·广东汕头·九年级统考期末）如图，菱形中，，.点E为对角线（不含A，C点）上任意一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接；(1)证明：；(2)设，请直接写出y的最小值.【答案】(1)详见解析(2)【分析】本题主要考查勾股定理、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握勾股定理、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质与判定及菱形的性质是解题的关键；（1）由题意易得，然后问题可求证；（2）连接，由题意易得是等边三角形，然后可得，则当F、G、E、B四点共线时，y的值最小，进而可根据等腰直角三角形的性质进行求解．【详解】（1）证明：由旋转性质得，，在菱形中，，，

∵，∴，∴∴；（2）解：连接，由旋转可知，，，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴当F、G、E、B四点共线时，y的值最小，如图所示：∴，，∵，∴，∵在菱形中，，∴，∴，∴y的最小值是．12．（2023·河南周口·三模）【问题背景】数学活动小组在学习《确定圆的条件》时，曾遇到这样一个问题：如图1，草原上有三个放牧点，要修建一个牧民定居点，使得定居点到三个放牧点的距离相等，那么如何确定定居点的位置？（1）请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出定居点O的位置，使点O到点A，B，C的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）

【问题探索】聪明的小智在解决这个问题之后，继续提出新的问题，如图3，在平面内是否存在一点P，使点P到△ABC三个顶点的距离之和最小？通过不断探究，小智发现可以借助旋转的思想解决这个问题，如图4，把绕点A逆时针旋转，得到，连接，可知为等边三角形，因此，由两点之间，线段最短，可知的最小值即为点B，P，，C共线时线段的长．

（2）【类比探究】如图5，在中，，点P为内一点，连接，求的最小值．（3）【实际应用】如图6，现要在矩形公园ABCD内，选择一点P，从点P铺设三条输水管道，要求．若，请直接写出输水管道长度的最小值．【答案】（1）见解析；（2）的最小值为；（3）的最小值为．【分析】（1）作边和的垂直平分线，交点O即可为所作；（2）将绕点B顺时针旋转至处，连接，证是等边三角形，得，再证四点共线，然后证，即可解决问题；（3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，，在同一直线上时，，当时，的最小值为的长，据此即可求解．【详解】解：（1）点O的位置如图所示，

（2）将绕点B顺时针旋转至处，连接，如图所示：则，，，，，，∴是等边三角形，∴，由【问题探索】知点的最小值即为点共线时线段的长，∴，∴，∵，∴四点共线，∵，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∵，∴，在中，由勾股定理得：，∴的最小值为；（3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，，

∴、是等边三角形，∴，，∴在同一直线上时，，当时，的最小值为的长，记与交于点H，则，∴，∴，∴，∴的最小值为．【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含角直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．13．（2023下·湖北鄂州·八年级统考期末）直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，D是内一点，将绕点B顺时针旋转得到，连接，，分别取，，的中点M，N，P，连接，PN．(1)直接写出点A，B，E，P的坐标：A（______），B（______），E（______），P（______）；(2)当点D在内移动时，求的最小值；(3)若，求的长．

【答案】(1)；；；(2)最小为(3)【分析】（1）令，求出y，即可求出A的坐标，令，求出x，即可求出B的坐标，根据勾股定理求出，在y轴负半轴上截取，证明是等边三角形，则可求，利用旋转的性质，可求，，即可求出E的坐标，最后利用中点坐标公式可求P的坐标；（2）由旋转可知为等边三角形，所以，．当O、D、F、E四点共线时，最小为；（3）连接，过点N作于M，延长交于点G，先证是顶角为的等腰三角形，然后利用等腰三角形三线合一的性质、含的直角三角形的性质以及勾股定理可求，利用两点间距离公式可求，结合即可求解．【详解】（1）解：当时，，∴，∴，当时，，解得，∴，∴，∴在y轴负半轴上截取，则，

，

，∵，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∵绕点B顺时针旋转得到，∴，，∴，∴，又点P是中点，∴，即；（2）解：∵绕点B顺时针旋转得到，∴，，，∴是等边三角形，∴，∴，∴当O、D、F、E四点共线时，最小，也最小，最小值为；（3）解：连接，过点N作于M，延长交于点G，∵M，N，P是，，的中点，∴，，，，又，∴，∵，∴轴，∴，，∵，，∴，，又绕点B顺时针旋转得到，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了一次函数，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．14．（2023·重庆綦江·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF．(1)如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF＝5，求DF的长；(2)如图2，若BE＝BF，G为DE的中点，连接AF、AG、FG，求证：AG⊥FG；(3)如图3，若AB＝7，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、BP及CP，请直接写出当PA＋PB＋PC值最小时PB的长．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）法一：如图1，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于G，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，，在中，，E为AB的中点，AF⊥BC，BF＝EF＝BC，CG＝CD，DG＝CG，FG＝CF+CG，在中，DF＝，进而求出DF；法二：四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，，，AF⊥BC则∠AFB＝90°，在中，，，是的中点，，是等边三角形，可知EF＝BE＝AB，，AF＝5，在中，DF＝，进而求出DF；（2）法一：如图2，延长AG交CD于H，连接AC，FH；由四边形ABCD为菱形知AB＝BC＝CD，∠ABC=∠ADC＝60°，AB∥CD，∠AEG＝∠HDG，G为DE的中点有EG＝DG，得△AEG≌△HDG，AG＝HG，AE＝DH，BE＝BF，∠ABC＝60°，△BEF为等边三角形，有FC＝DH，AC＝AD，，知△AFC≌△AHD，AH＝AF，同理△ABF≌△ACH，∠BAF＝∠CAH，∠FAH＝∠FAC+∠CAH＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝60°，△AFH是等边三角形，AG＝HG，进而说明AG⊥FG．法二：如图4，延长AG交CD于H，连接FH，四边形ABCD是菱形，有AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝60°，∠BCD=120°知∠EAG＝∠DHG，∠AEG＝∠HDG，点G是DE中点，EG＝DG，由，知△AEG≌△HDG，AG＝HG，AE＝DH，BE＝CH，BE＝BF，∠ABC＝60°知△BEF是等边三角形，有∠BEF＝60°，EF＝BE，∠AEF=120°，∠AEF＝∠FCH，EF＝CH，由，得△AEF≌△FCH，有AF＝HF，AG＝HG，进而说明FG⊥AG；（3）解：如图a，在△ABC中，P为其中任意一点．连接AP，BP，得到△ABP．以点B为旋转中心，将△ABP逆时针旋转60°，得到△EBD，BD＝BP，△DBP为一个等边三角形，有PB＝PD，当E、D、P、C四点共线时，PA+PB+PC最小；如图3，当B、P、G、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD．将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DGC，知△APC≌△DGC，CP＝CG，∠PCG＝60°，△PCG是等边三角形，PG＝CG＝CP，∠GPC＝∠CGP＝60°；菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°，∠PCB＝∠GPC﹣∠CBP＝60°﹣30°＝30°，∠PCB＝∠CBP＝30°，BP＝CP，同理DG＝CG，BP＝PG＝GD，连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD，在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝7，得OC、BO的值，BD＝2BO，BP＝BD，可求得BP的值．【详解】（1）解：法一：如图1，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于G，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°∴，∴∵AF⊥BC∴∠AFB＝90°，∴∴△BEF为等边三角形∴BF＝EF＝BC∴CF＝EF＝5在中，∴CG＝CD＝5，DG＝CG＝5∵FG＝CF+CG＝10∴DF＝＝5法二：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°∴，∵AF⊥BC∴∠AFB＝90°在中，∵是的中点∴∵∴是等边三角形∵EF＝5，EF＝BE＝AB∴∴AF＝5在中，DF＝＝5∴的值为．（2）证明：法一：如图2，延长AG交CD于H，连接AC，FH，∵四边形ABCD为菱形∴AB∥CD，AB＝BC＝CD，∠ABC=∠ADC∴∠AEG＝∠HDG，∵G为DE的中点，∴EG＝DG，在△AEG和△HDG中，，∴△AEG≌△HDG，∴AG＝HG，AE＝DH，∵BE＝BF，∠ABC＝60°∴△BEF为等边三角形∴BE＝BF=EF，∴FC＝DH，AC＝AD在△AFC和△AHD中，，∴△AFC≌△AHD∴AH＝AF同理：△ABF≌△ACH∴∠BAF＝∠CAH∴∠FAH＝∠FAC+∠CAH＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝60°，∴△AFH是等边三角形∵AG＝HG∴AG⊥FG．法二：如图4延长AG交CD于H，连接FH，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵∠ABC＝60°∴∠BCD=120°∴∠E