专题08 向量的运算（上海中考特色题型）30题（解析版）

专题08向量的运算（上海中考特色题型）30题（解析版）题目精选自：2023、2024年上海名校及一二模真题，包含实数与向量相乘、向量的线性运算30题。一、单选题1．（2024上·上海青浦·九年级统考期末）下列说法中，正确的是（

）A． B．如果是单位向量，那么C．如果，那么 D．如果非零向量，且，那么【答案】D【分析】本题考查向量的相关概念，根据向量的概念和性质逐项判断即可．【详解】解：A、，所以A错误，不符合题意．B、如果是单位向量，那么，所以B错误，不符合题意．C、如果，那么，这两个向量方向不一定相同，所以C错误，不符合题意．D、如果非零向量，且，那么，D正确，符合题意．故选：D．2．（2023上·上海闵行·九年级统考期中）已知是非零向量，如果与同方向的单位向量记作，那么下列式子中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据实数与向量相乘，对各选项进行判断作答即可．【详解】解：由题意知，，A错误，故不符合要求；，B错误，故不符合要求；，C正确，故符合要求；，D错误，故不符合要求；故选：C．【点睛】本题考查了实数与向量相乘．解题的关键在于熟练掌握实数与向量相乘结果是向量．二、填空题3．（2024上·上海静安·九年级统考期末）如图，正方形被5条横线与5条纵线划分成16个全等的小正方形，、是其中两个小正方形的顶点，设，，那么向量.（用向量、的式子表示）【答案】【分析】本题考查了平面向量的知识，根据题意得：，，，，从而得出，，再根据即可得出答案，熟练掌握三角形法则与数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：如图，，根据题意得：，，，，，，，故答案为：．4．（2024上·上海松江·九年级统考期末）如图，梯形中，，且，若，．请用，来表示．【答案】【分析】此题考查了平面向量，根据平行四边形法则得到，即可用、表示．【详解】∵，，，∴，∴，故答案为：．5．（2023上·上海闵行·九年级统考期中）如图，经过的重心，设，，那么可以用向量，表示为：．

【答案】【分析】先求出，再根据重心是三角形三条中线的交点得到，由此可由求出答案．【详解】解：∵，，∴，∵经过的重心，∴是的中线，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，重心的定义，正确表示出是解题的关键．6．（2023·上海虹口·统考一模）如图，已知，，，，那么用表示．【答案】【分析】本题考查了向量的运算、相似三角形的判定与性质，连接，交于点G，先根据求得，，，根据相似三角形的性质可得，，即可得出，由此即可得．【详解】解：连接，交于点G，∵，，∴，，，，，∴，，，∴∴，故答案为：．7．（2023上·上海浦东新·九年级校考阶段练习）如图，梯形中，，、分别是、上的点，且，，若，，则向量可用、表示为．【答案】【分析】过点A作交EF于点G，交BC于H，可得AD=GF=CH，然后用BH表示出CH，再求出，根据相似三角形对应边成比例可得，再用BH表示出EG、EF，根据向量的三角形法则求出BH，即可得解．【详解】解：如图，过点A作交EF于点G，交BC于H四边形ADFG、GFCH、ADCH均为平行四边形，若，则故答案为：．【点睛】本题考查了平面向量、梯形、平行四边形与相似三角形相结合，关键在于作平行线表示出BH，熟记向量的平行四边形法则和三角形法则是解题的关键．8．（2023·上海·一模）如图，、分别是的两条中线，设，那么向量用向量，表示为．

【答案】/【分析】根据、分别是的两条中线得出，，再根据平面向量的减法运算法则即可求解．【详解】解：如图，连接∵、分别是的两条中线，∴，是的中位线∴，∴∴∴∴，∵，，∴，，∴，故答案为：．

【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平面向量的的减法运算法则，熟练掌握三角形重心的性质，平面向量的的减法运算法则是解题的关键．三、解答题9．（2024上·上海徐汇·九年级统考期末）如图，在梯形中，，平分，，．(1)求的长；(2)设，，求向量（用向量、表示）．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键．（1）根据题意，证明，得到，由此得到答案．（2）过点作，求出，再根据平行四边形法则求出．【详解】（1）解：根据题意得：，，平分，，，，，，，，，，，．（2）如图，过点作，则四边形是平行四边形，，，，，．10．（2024上·上海黄浦·九年级统考期末）如图，在四边形中，，对角线交于点．(1)设，试用的线性组合表示向量．(2)如果，求四边形的面积．【答案】(1)(2)【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题．（1）根据题意可得，然后利用平行四边形法则得到即可；（2）过点D作交的延长线于点F，则有，得到，求出长，然后利用勾股定理得到长计算面积即可【详解】（1）解：∵，∴，∴；（2）过点D作交的延长线于点F，∵，∴为平行四边形，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，即，解得：或（舍去）∴，∴．11．（2024上·上海青浦·九年级统考期末）如图，在梯形中，，对角线、相交于点O，，．(1)求的长；(2)如果，，试用表示向量．【答案】(1)3(2)【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平面向量，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．（1）根据，得出，则，进而得出，最后根据即可求解；（2）先得出，则，进而得出，由（1）可得，则，进而得出，即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得：，∴；（2）解：∵，，，∴，∴，∵，∴，由（1）可得，∴，∴．12．（2023上·上海杨浦·九年级统考期中）如图，已知在平行四边形中，点是边的中点，和交于点，设，．

(1)用向量、表示向量，即___________；(2)在图中分别作出向量在、方向上的分向量（不要求写做法，但要指出所作图中表示结论的向量）．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）先根据平行四边形的法则得到，，进而求得，再根据三角形法则求得，证明，利用相似三角形的性质得到，进而可求解；（2）过F作，，分别交、于N、M，则、分别为在、方向上的分向量．【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，∴，，，，∴，，∵点是边的中点，∴，则，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴，∴，故答案为：；（2）解：如图，过F作，，分别交、于N、M，则、分别为向量在、方向上的分向量．

【点睛】本题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．13．（2024上·上海金山·九年级统考期末）已知：如图，是的中线，点是重心，点、分别在边和上，四边形是平行四边形．(1)求证：；(2)设，，用向量，表示．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（）由三角形重心的性质得到，由平行四边形的性质得到，，推出，得到，而，得到，由，推出得到，因此，而，推出，得到，即可证明，（）由平面向量的运算法则，即可求解；本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平面向量，关键是证明，掌握平面向量的运算法则．【详解】（1）∵是的重心，∴，∵四边形是平行四边形，∴，，∴∴，∴，∵是的中线，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵G是的重心，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴∴，（2）∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故答案为：．14．（2023上·上海普陀·九年级校考期中）已知：如图，在梯形中，，点是边的中点，．

(1)填空：________，________．（结果用表示）．(2)先化简，并在图中求作向量的结果．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）【答案】(1)；(2)；作图见解析【分析】（1）由在梯形中，，，可求得，然后由点是边的中点，求得，再利用三角形法则求解即可求得；（2）先化简，然后利用平行四边形法则作图求解即可．【详解】（1）解：在梯形中，，，，，点是边的中点，；即；故答案为：；；（2），，，如图所示，取的中点E，过点E作的平行线交于F点，连接，即，，

，四边形是平行四边形，由平行四边形法则可得，，故图中即为所求．【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．15．（2023上·上海闵行·九年级统考期中）已知：如图，平行四边形中，点M、N分别在边、上，对角线分别交、于点E、F，且．

(1)求证：；(2)设，，请直接写出和关于、的分解式：；．【答案】(1)见解析(2)，【分析】（1）证明，推出，同法得到，进而得到，即可得到；（2）利用三角形法则表示出，再根据与的数量关系，表示出，即可．【详解】（1）证明：在平行四边形中，，．∵，∴．∵，∴，∴．又∵，∴．同理可得，∴．∴．（2）由图可知：，∵，∴，∴，由（1）知：，∴，∴，∴；故答案为：，【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，以及向量的线性计算，证明三角形相似，掌握三角形法则分解向量，是解题的关键．16．（2023上·上海普陀·九年级统考期中）如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量．）

【答案】见解析【分析】根据平面向量的加减运算法则解答；由平面向量的几何意义作图．【详解】解：．作图：

∴如图，为所求向量．【点睛】本题主要考查了平面向量，注意：三角形法则在解题过程中的应用．17．（2023上·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期中）如图，是的边上的中线，相交于点G，连接，设，．(1)用请用，表示向量和；(2)在图中，画出向量在和方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）【答案】(1)，(2)见解析图，．【分析】（）根据平面向量运算法则即可求出答案；（）根据平面向量的基本定理进行求解即可．【详解】（1）∵，分别是边，上的中线，∴是的重心，是的中位线，∴，，∴，∴∵，∴，∴，．（2）作图如下：，即为所求；∴．【点睛】此题考查了平面向量，解题的关键是熟练运用平面向量的运算法则．18．（2023上·上海长宁·九年级上海市娄山中学校考期中）如图，已知在中，，，点是边上的一点，．

(1)试用和表示，即______；(2)在图中分别作出向量在、方向上的分向量，并分别用、表示（写出结论，不要求写作法）．【答案】(1)(2)作图见详解，，【分析】本题考查了平面向量的三角形法则和平行四边形法则等知识，（1）根据三角形法则求解即可；（2）利用平行四边形法则求解，再利用平行线分线段成比例求出向量，向量．解题的关键是理解题意，灵活运用平面向量的相关知识解决问题．【详解】（1），∵，∴，故答案为；（2）

如图，，即为所求．∵，∴，∴，∴，同理可得，．19．（2023上·上海崇明·九年级校联考期中）已知、．

(1)化简：．(2)求作，使．【答案】(1)(2)见解析【分析】本题考查了实数与向量相乘，向量的线性运算．熟练掌握向量的运算是解题的关键．（1）先计算实数与向量相乘，然后进行线性运算即可；（2）根据，作图即可．【详解】（1）解：；（2）解：∵，∴，如图，即为所求；

20．（2024上·上海宝山·九年级统考期末）如图，在中，，，平分交于点D，交于点E．(1)求的长；(2)连结交于点F，设，，用、的线性组合表示向量_____，____．【答案】(1)；(2)，．【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平面向量．（1）根据平行线的性质和角平分线的定义得到，设，根据得到，分别代入即可解答；（2）根据平面向量三角形减法法则得出，根据可求得与的关系，即可求解．【详解】（1）∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，设，则，∵，∴，∴，即，解得，∴．（2）∵，，∴．∵，∴，∴，∴，∴，即，∴．故答案为：，21．（2023上·上海长宁·九年级上海市第三女子初级中学校考期中）如图，在平行四边形中，点在边上，，、相交于点．(1)求的值；(2)如果，，用、表示向量．【答案】(1)；(2)．【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平面向量等知识，（1）利用相似三角形的判定与性质即可解决问题；（2）利用三角形法则即可解决问题．【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．22．（2023上·上海宝山·九年级统考期中）如图，已知D、E分别是的边、上的点，，．

(1)求的值；(2)联结，设，，试用向量、表示向量．【答案】(1)(2)【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，平面向量，熟练掌握相似三角形的判定方法及性质、平面向量三角形法则是解答本题的关键．【详解】（1）解：∵，∴，，∴，∴，∵，则，∴；（2）∵，∴，则，∴∵，，∴，∴，∴．23．（2023上·上海松江·九年级统考期中）如图，已知在平行四边形中，对角线、交于点，点E在BC上，且，与交于点．(1)求的值；(2)设，，试用，表示．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平行四边形的性质，中位线的性质，平行线分线段成比例定理即可解决问题；（2）利用三角形法则计算即可．【详解】（1）解：取中点，连接，∵四边形是平行四边形，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．（2）解：∵，，∴，∵四边形是平行四边形∴，∴∴【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，中位线的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．24．（2023上·上海普陀·九年级统考阶段练习）如图，已知平行四边形中，与相交于点，是边的中点，连接交于点，设，．(1)______；______；（用向量、表示）(2)求作：分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要写明结论）【答案】(1)；(2)见解析【分析】本题考查了平行四边形的性质，平面向量知识，相似三角形的性质与判定；（1）根据平行四边形的性质直接可得,再证明，进而利用三角形法则解决问题即可；（2）利用平行四边形法则，过点作交AB于点，交于点，，即为向量分别在、方向上的分向量．【详解】（1）解：∵四边形中，与相交于点，∴，∵，．∴∴∵，∴∴∵是边的中点，∴∴∴，∴（2）如图，过点作交AB于点，交于点，，即为向量分别在、方向上的分向量．25．（2023上·上海青浦·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，点F是的中点，和相交于点E，如果，，(1)_________，___________；(2)在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出画图结论）【答案】(1)，(2)见解析【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则．（1）利用三角形法则，平行线分线段成比例定理求解即可；（2）过点A作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，则，即为所求．【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，；故答案为：，；（2）解：如图过点A作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，则，即为所求．26．（2023上·上海浦东新·九年级校考阶段练习）如图，已知，与相交于点O，且．(1)求的值；(2)如果，，请用，表示．【答案】(1)(2)【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质及平面向量的知识．（1）由，可得，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得的值；（2）由题意可知，则，由相似三角形的性质可得，进而由即可求解．掌握相似三角形的判定及平面向量的加减运算是解决问题的关键．【详解】（1）解：∵，，∴，，∴，∴，则，∴．（2）∵，，则，∴，∵，∴，则，即：，∴．27．（2023上·上海闵行·九年级上海市文来中学校考阶段练习）如图，已知在平行四边形中，点E，F分别是边、的中点，、与对角线分别交于点G，H，设，．

(1)向量______，向量______．（用、表示）(2)画出向量在向量和方向上的分向量．（画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．【答案】(1)，(2)见解析【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、平面向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．（1）根据平行四边形的判定和性质得四边形为平行四边形，再由平行线分线段成比例确定，，利用向量的三角形法则得出，即可确定，；（2）利用平行四边形法则分解向量即可．【详解】（1）解：∵平行四边形，∴，，∵点E，F分别是边、的中点，∴，∴，，∴四边形为平行四边形，∴，∵，，∴，同理得：，∴，∵，，∴，，∴，∴；∵，，，∴，故答案为：，；（2）如图所示：即为所求．

28．（2024·上海普陀·统考一模）如图，已知梯形中，，、分别是、的中点，与交于点，为上一点，．(1)求的值；(2)设，，如果，那么________，________．(用向量、表示)【答案】(1)(2)