专题09 动点产生的等腰三角形问题（中考压轴题常考题型）（解析版）

专题09动点产生的等腰三角形问题（中考压轴题常考题型）（解析版）题目精选自：2023、2024年上海名校及一二模真题，包含因动点移动产生的等腰三角形相关问题15道。一、解答题1．（2022上·上海青浦·九年级校考阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，，，是斜边上的中线，点是射线上的一点，以为斜边向左侧作等腰直角，连接．

(1)当点在线段上（点与点、点不重合），求证：；(2)在（1）的条件下，设，的面积为y，求y关于的函数关系式及其定义域；(3)探究：当点在射线上运动时，是否可以成为等腰三角形？若可以，求出的长度；若不可以，请说明理由．【答案】(1)见详解(2)(3)或4或【分析】（1）证明，则有，即可证明；（2）在中，由勾股定理得：，化简即可；（3）分当点在线段上，在线段上时，在线段的延长线上时分别讨论，紧扣，即可解答．【详解】（1），，，，，；（2），，设，则，在中，由勾股定理得：，，化简得，，（3）可以，当点在线段上时，则有，设，则，由（1）知，，，，，当点在线段上时，则有，则点与点重合时满足条件，此时，当在线段的延长线上时，且，如图，

同理可得，，设，则，解得，，综上所述：的长为或4或．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，勾股定理等知识，证明出是解题的关键．2．（2023上·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）如图，矩形中，，点是边上的一个动点，联结，过点作，垂足为点.

(1)设，的余切值为，求关于的函数解析式；(2)若存在点，使得、与四边形的面积比是，试求矩形的面积；(3)对（2）中求出的矩形，联结，当的长为多少时，是等腰三角形？【答案】(1)(2)(3)或或1【分析】（1）根据已知条件矩形和，得出，，从而求出，再根据求出结果；（2）假设存在，由题意、与四边形的面积比是，可得，设，证，根据三角形的相似比，从而求解；（3）过点作，垂足为点，判断是等腰三角形，要分类讨论，①；②；③，根据三角形相似进行求解．【详解】（1）解：，，，，∵在矩形中，，∴，则，；（2）：四边形的面积比是，，，设，则，∵，，，且，，，解得，，∴；（3）①时，过点作，垂足为点，则，，延长交于点，

，，当时，是等腰三角形；②时，则，

，，，则，当时，是等腰三角形；③时，则点在的垂直平分线上，故为中点．

，，，∴，，，即，∴，解得，当时，是等腰三角形，综上：的长度为或或1．【点睛】此题难度比较大，主要考查矩形的性质、相似三角形的性质、三角函数及等腰三角形的判定，考查知识点比较多，综合性比较强，另外要注意辅助线的作法．3．（2023·上海金山·统考一模）已知平行四边形中，，点P是对角线上一动点，作，射线交射线于点E，联结．(1)如图1，当点E与点A重合时，证明：；(2)如图2，点E在的延长线上，当时，求的长；(3)当是以为底的等腰三角形时，求的长．【答案】(1)见解析(2)(3)或【分析】（1）由平行四边形的性质得到，则，由角之间的关系得到，即可证明；（2）设交于点O．先证明，得到，过点D作延长线于H，由得到，则，在中，，由，得到，，，在中，由勾股定理得到，则，即可得到；（3）当点E在边延长线上或在边上两种情况，分别求解即可．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∵，又且，∴，∴；（2）设交于点O．∵，∴，∴，∵∴，∵在中，，在中，，∵，∴，∵，，∴，∴，过点D作延长线于H，∵，∴，∴，∴，∴在中，，∵，∴，∴，

∵，∴，∵在中，，∴，∴，∴；（3）是以为底的等腰三角形时，∴当点E在边延长线上时，

设，则，由得，，即，解得，∴；当点E在边上时，设，则，由得，，即，解得，∴，∴综上所述，长为或．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．4．（2023·上海浦东新·统考二模）已知：的直径，C是的中点，D是上的一个动点（不与点A、B、C重合），射线交射线于点E．(1)如图1，当，求线段的长；(2)如图2，当点D在上运动时，连接中是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出这个角并求其度数；如果不存在，请说明理由；(3)连接，当是以为腰的等腰三角形时，求与面积的比值．【答案】(1)，详见解析(2)存在，，详见解析(3)与面积的比值为或或，详见解析【分析】（1）连，构造直角三角形利用勾股定理求出的长，再利用，求出的长，即可得解；（2）由C为的中点，为直径得出的度数为，再利用圆周角定理即可得出答案；（3）分类讨论，分点在线段的延长线上和点在线段上，利用勾股定理和面积公式分别求出它们的面积，然后求出比值即可得出答案．【详解】（1）连，如图1∵∴，∵C为的中点，为直径∴在中∴∵∴∴即∴∴∴（2）当D在上运动时，如图2，在中，为度数不变的角，理由如下：∵C为的中点，为直径，∴的度数∴的度数为∴所对的圆心角为，圆周角为∴（3）如图，当点在线段的延长线上，是以为腰的等腰三角形时，当时，连，∵∴由知∴∴∴又∵∴∴为等边三角形∴∴∴∵为中点∴又∵∴∴，当时∴∵∴∴与，，三点共线矛盾，所以此情况不存在；当点在线段上，且小于或等腰时，过点作交于点，过点作于点，，由点在线段上可知，是以为腰的等腰三角形时，不等于，只能有，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵由知，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴；当点在线段上，且大于时，过点作交于点，过点作于点，同可得，，，∴∴；综上所述：与面积的比值为或或．【点睛】本题考查了三角形相似，圆周角定理，圆心角定理，勾股定理，等腰三角形等知识的综合应用，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．5．（2023·上海·一模）如图，梯形中，，对角线，，，，点是边上一个动点，，交于点、交延长线于点，设．

(1)使用的代数式表示；(2)设，求关于的函数关系式，并写出定义域；(3)当是等腰三角形时，直接写出的长．【答案】(1)(2)(3)的长为、10或7【分析】（1）易证，则有，由可得，从而得到，然后根据相似三角形的性质即可解决问题；（2）由可得，根据可得，从而得到．易证，从而得到，问题得以解决；（3）易证，因而当是等腰三角形时，也是等腰三角形，然后只需分三种情况①，②，③，讨论，就可解决问题．【详解】（1）解：如图1，

，．∵，．，，，，．，，，．，，，，，；（2）解：，，又，，，．∵，，，，整理得：；（3）解：当是等腰三角形时，的长为、10或7．解题过程如下：，，．∵，，，当是等腰三角形时，也是等腰三角形．①当时，则有，，，，，，，；②当时，，，；③当时，作于，如图2，

则有．，，，，．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，在解决问题的过程中用到了面积法、分类讨论的思想，有一定的难度，证到是解决第（1）小题的关键，证到，从而得到是解决第（2）小题的关键，证到，从而把是等腰三角形转化为是等腰三角形是解决第（2）小题的关键．6．（2023·上海浦东新·校考一模）如图，在中，，，，，平分交边于点D，点E是边上的一个动点（不与B、C重合），F是边上一点，且，与相交于点G．

(1)求证：；(2)设，，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)当是以为腰的等腰三角形时，求的长．【答案】(1)见解析(2)y=(3)的长为1或【分析】（1）要证，只需证，只需证到，．由，平分∠ABC可证到；由可证到，问题解决．（2）作的垂直平分线交于点M，交于点N，易证，从而可以证到，可得．只需用x、y表示出、，问题就得以解决．（3）当是以为腰的等腰三角形时，可分和两种情况讨论．当时，由可得，从而可以得到x与y的等量关系，再结合（2）中的y与x的关系就可求出x的值；当时，易证，过点F作，垂足为H，则有，结合，就可得到x与y的等量关系，再结合（2）中的y与x的关系就可求出x的值．【详解】（1）证明：∵平分，∴．∵，∴．∵，，，∴．∵，，∴．∴．（2）解：作的垂直平分线交于点M，交于点N，如图2，

则有．在中，，则．∵垂直平分，∴．∴．∴．∵，∴．∵，，∴．∴．∴．∵，，，∴．又∵，∴．∴．（3）解：①，如图3，

∵（已证），∴．∵，∴．∵，，∴．∴．∴．整理得：．则有．解得：（舍），．②，过点F作，垂足为H，如图4，

∵，∴．∵，，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．在中，．∴．∴．∴．∴．整理得：．则有．∴，．∵，∴．综上所述：当是以为腰的等腰三角形时，的长为1或．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、用因式分解法解一元二次方程、锐角三角函数的定义、三角形内角和定理、三角形的外角性质、垂直平分线的性质等知识，综合性非常强．而作的垂直平分线交于点M，进而证到是解决第二小题和第三小题的关键．7．（2023·上海闵行·校联考模拟预测）已知：在中，，，，点是边上一动点不与、重合，过点分别作交于点，交于点，联结，设，．

(1)求关于的函数解析式，并写出定义域；(2)以为圆心为半径的交直线于点，当点为中点时，求的值；(3)如图，联结将沿直线翻折，点落在点处，直线与直线相交于点，当为等腰三角形时，求的度数．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）根据已知条件可证明四边形为矩形，则，，即可得出，在中，由，，可表示出，，在中，，，由勾股定理得即可；（2）在中，由，，得出，，从而得出，连接，，可证明为等边三角形，则，从而得出；在中，由勾股定理得，从而得出的值；（3）由翻折可得，当是等腰三角形时，的大小存在三种情况：当点落在边上时，当时，，求得，当时，，求得；当点在延长线上时，当时，，根据，得，求得．【详解】（1）解：，，，，四边形为矩形，则，，在中，，，，在中，，；（2）解：在中，，，，连接，，如图，

在中，为中点为等边三角形，，在中，；（3）解：由翻折可得，是等腰三角形时，的大小存在三种情况：当点落在边上时，

当时，，，；当时，；当点在延长线上时，

当时，，，，，，；综上，的度数为或或．【点睛】本题考查了考查了等腰三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、直角三角形的性质以及勾股定理的应用，分类讨论思想的运用，是一道综合性较强的题目，难度较大．8．（2023上·上海浦东新·九年级校考阶段练习）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，tan∠A=，点D是射线AB上的一动点，联结DC，过点C作DC⊥CE，垂足为C，联结DE使得∠CDE=∠A，联结BE；设AD=x，△BDE面积为y．（1）如图1，求证：△ACD∽△BCE；（2）当D在AB延长线上时，求y关于x的函数解析式及x的取值范围；（3）在点D的运动过程中，记射线EB与射线CD交于点P，若△EDP是等腰三角形，直接写出x的值．【答案】（1）见解析；（2），x＞10；（3）．【分析】（1）由∠ACB＝∠DCE和∠CDE=∠A得出△CDE∽△CAB得出对应边成比例，等量代换得∠ACD＝∠BCE即可判断结论；（2）由三角函数值和勾股定理求得BC、AC的值，由△ACD∽△BCE，表示出BE的长度，并得出BE⊥AD，在Rt△BDE中，由三角形面积公式表示y化简即可；（3）先判断DP=DE,表示出，再根据勾股定理解题即可求出x的值．【详解】解（1）证明：∵DC⊥CE，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∵∠CDE=∠A，∴△CDE∽△CAB，∴，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE；（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，tan∠A=，∴，则设BC＝3a，AC＝4a，由勾股定理得：（3a）2+（4a）2＝102，解得：a＝2，∴BC＝6，AC＝8，由△ACD∽△BCE，AD=x，△BDE面积为y．∴∠A＝∠CBE，，即，∴，∵∠A+∠ABC＝90°，∴∠ABC+∠CBE＝90°，即BE⊥AD，∴在Rt△BDE中，BD＝AD－AB＝x－10，（x＞10），（3）如图，．是等腰三角形由（2）知即当△EDP是等腰三角形时，．【点睛】本题考查相似三角形综合题，涉及相似三角形的判断与性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识，有难度，掌握相关知识是解题关键．9．（2022·上海·上海市进才中学校考一模）已知：AB=5，tan∠ABM=，点C、D、E为动点，其中点C、D在射线BM上（点C在点D的左侧），点E和点D分别在射线BA的两侧，且AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE．(1)当点C与点B重合时（如图1），联结ED，求ED的长；(2)当EABM时（如图2），求四边形AEBD的面积；(3)联结CE，当△ACE是等腰三角形时，求点B、C间的距离．【答案】(1)(2)15(3)3【分析】(1)如图1中，延长BA交DE于F，作AH⊥BD于H，先证明BF⊥DE，EF=DF，再利用ΔABH≌ΔDBF，得，求出DF即可解决问题．(2)先证明四边形ADBE是平行四边形，根据=BD·AH，计算即可(3)由题意AC≠AE，EC≠AC，只有EA=EC，利用四点共圆先证明四边形ADBE是平行四边形，求出DH、CH即可解决问题．【详解】（1）（1)如图1中，延长BA交DE于F，作AH⊥BD于H．在RtΔABH中，∵∠AHB=90°，∴sin∠ABH=∴AH=3，BH==4，∵AB=AD，AH⊥BD，在ΔABE和ΔABD中，∴ΔABD≌ΔABE，∴BE=BD，∵∠ABE=∠ABD，∴BF⊥DE，EF=DF，∵∠ABH=∠DBF，∠AHB=<BFD，∴ΔABH≌ΔDBF，∴,∴DF=，∴DE=2DF=．（2）如图2中，作AH⊥BD于H，∵AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE，∴∠AEB=∠ABE=∠ACD=∠ADC，∵AE//BD，∴∠AEB+∠EBD=180°，∴∠EBD+∠ADC=180°，∴EB∥AD，∵AE∥BD，∴四边形ADBE是平行四边形，∴BD=AE=AB=5，AH=3，∴=BD·AH=15．（3）由题意AC≠AE，EC≠AC，只有EA=EC，∵∠ACD=∠AEB(已证），∴A、C、B、E四点共圆，∵AE=EC=AB，∴，∴，∴∠AEC=∠ABC，。∴AE//BD，由(2)可知四边形ADBE是平行四边形，∴AE=BD=AB=5，∵AH=3，BH=4，∴DH=BD-BH=1，∵AC=AD，AH⊥CD，∴CH=HD=1，BC=BD-CD=3．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，第三个问题的关键是利用四点共圆的性质解决问题，属于中考压轴题．10．（2023下·上海·九年级专题练习）如图，在梯形中，动点在边上，过点作，与边交于点，过点作，与边交于点，设线段．(1)求关于的函数解析式，并写出定义域；(2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值；(3)如图，作的外接圆，当点在运动过程中，外接圆的圆心落在的内部不包括边上时，求出的取值范围．【答案】(1)，(2)或(3)【分析】（1）由题中条件、可知四边形是平行四边形，故CE；过点作垂线交于点，交于点，可得相似的和，用含、的表达式表示它们的边长，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得关于的解析式；下一步即为求得和的各自边长，过点作垂线交延长线于点，由且可得四边形为矩形，则；在中，由勾股定理可算得的长度；在中，，则可由勾股定理求得的长度，，至此已求得所有所需边长，根据相似三角形边长比例关系：，代入各边长表达式即可得关于的解析式，再根据题中要求写出定义域即可；（2）因为是以为腰的等腰三角形，，由勾股定理知，过点作交于点，则四边形是矩形，；在直角三角形中，运用勾股定理进行计算即可得解；（3）根据三角形的外接圆圆心落在三角形的内部，得到为锐角三角形，分析点运动过程可知，随点向右运动角度不断减小，且和始终是锐角．根据题意，令点的位置满足，则大于此时对应的长度就可使得外接圆圆的圆心落在的内部．【详解】（1）解：如图所示：过点作交延长线于点，再过点作垂线交于点，交于点，，四边形是矩形，，在中，由勾股定理得：，又，四边形是平行四边形，，，，，，，化简得：，点在上运动，故定义域为：；（2）如图所示，此时是以为腰的等腰三角形，过点作交于点，，四边形是矩形，又是以为腰的等腰三角形，，由（得，，，在中，由勾股定理得：，，即，解得：的值为或，因此，的值为或；（3）解：分析点运动过程可知，随点向右运动角度不断减小，且和始终是锐角．根据题意，令点的位置满足，则大于此时对应的长度就可使得外接圆圆的圆心落在的内部．如下图所示，此时，，，同角的余角相等，同理可得：，∽，，，，解得：，综上可得，当时，外接圆圆的圆心落在的内部．【点睛】本题考查矩形和平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形的外接圆等知识点，解题的关键是熟练掌握并灵活运用以上性质．本题综合性较强，属于中考压轴题．11．（2023上·上海青浦·九年级校考期中）已知：如图，在平行四边形中，，，，E为上一动点，作，射线交射线于点G．(1)如图1当时，求的长；(2)如图2，当点G在线段上时，射线交射线于点F，设，，求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)当是等腰三角形时，直接写出的长．【答案】(1)16(2)(3)的长为或或．【分析】（1）根据，求出，由勾股定理求出，再求出，根据，得出，即可求出答案；（2）证明，得出，作，由，得出，进而得出，根据勾股定理得出，从而得出，即可得出答案，当时，求出x的值，即可得出取值范围；（3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，根据等腰三角形的性质即可求出答案．【详解】（1）解：∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴，作，由（1）可得：，∵，即，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；当时，即时，，∴，综上，．（3）分三种情况：①当时，，∵，∴，∵平行四边形，∴，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴，根据等腰三角形三线合一，，∴∴，∴；②当时，，，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴；③当时，，∵，∴，∴，∵，∴，即，

过A作，则，∵，，∴，∴，∴，综上，的长为或或．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，注意（3）要分情况讨论．12．（2023·上海徐汇·上海市徐汇中学校考一模）已知：在梯形中，，，，，点是边上一点，，点是边上的一动点，连接，作，使得，射线与边交于点，与的延长线交于点，设，.(1)求的长；(2)试求关于的函数关系式，并写出定义域；(3)连接，如果是等腰三角形，试求的长.【答案】(1)(2)(3)5或【分析】（1）先作辅助线构造两个直角三角形，证明全等后，利用勾股定理求解即可；（2）证明，利用对应边成比例即可求解；（3）分为三种情况讨论哪两条边是腰，再构造相似三角形和平行四边形，分别利用相似三角形的判定与性质求解即可．【详解】（1）∵在梯形中，，，∴，分别过A点、B点作于M，于N，∴四边形是矩形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∴，又∵∴，∴，∵，，，∴，∴，∵，，∴，∴；（3）∵，∴，∴，∴，，当时，∴，∴，∴；当时，，∵，∴，过B点作交于点Q，∴是等腰三角形，四边形是平行四边形，∴，，∴，∵，∴，∴，过F点作，交于H，∴，∴，∴，∴，∴（不合题意，舍去），若，同理可证，得，，∴，∴，综上可得：如果是等腰三角形，的长为5或．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰梯形的性质等，涉及到了勾股定理、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，本题综合性较强，解题关键是发现或构造相似三角形，本题包含了分类讨论的思想方法等．13．（2023·上海·一模）已知：在梯形中，，，，，点E是边上一点，，点是边上的一动点，连接，作，使得，射线与边交于点，与的延长线交于点，设，．

(1)求的长；(2)试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(3)连接，如果是等腰三角形，试求的长．【答案】(1)(2)(3)或时，是等腰三角形【分析】（1）作等腰梯形的高、，得矩形，，则；（2）先由三角形内角和定理得出，由等腰梯形在同一底上的两个角相等得出，则，根据相似三角形对应边成比例得出关于的函数关系式，并写出定义域；（3）分三种情况：①；②；③．【详解】（1）解：如图，作等腰梯形的高、，∴，∵，∴，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，设，由勾股定理得，∴，所以；（2）解：如图．，，，∵四边形是等腰梯形，，，，；∴，过点B分别作，如图所示：∴四边形为平行四边形，∴，，由（1）可知要使成立，则点P需在点K、C之间运动，∴，∴；（3）解：分三种情况：①如果，如图，过作平行线交底边于，则．在与中，，，，；②如果，如图，过作平行线交底边于，则．在与中，，，，又，过点做的高，则，，，解得；即；③如果，同理可得，，，过点做的高，则，，，解得，；（舍去），综上所述：或时，是等腰三角形．【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，第（3）问进行分类讨论是解题的关键．14．（2023·上海·一模）已知的余切