湖南师大附中2025届高二上数学期末质量跟踪监视试题含解析

湖南师大附中2025届高二上数学期末质量跟踪监视试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（）A. B.或2C. D.或2．在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3．一质点从出发，做匀速直线运动，每秒的速度为秒后质点所处的位置为（）A. B.C. D.4．已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（）A.-1 B.C.+1 D.65．一组样本数据：，，，，，由最小二乘法求得线性回归方程为，若，则实数m的值为（）A.5 B.6C.7 D.86．已知，分别是圆和圆上的动点，点在直线上，则的最小值是（）A. B.C. D.7．某高中学校高二和高三年级共有学生人，为了解该校学生的视力情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为的样本，其中高一年级抽取人，则高一年级学生人数为（）A. B.C. D.8．下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则9．如图，在棱长为1的正方体中，P、Q、R分别是棱AB、BC、的中点，以PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直三棱柱的体积为（）A. B.C. D.10．若关于x的方程有解，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.11．设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（）A. B.C. D.12．现要完成下列两项调查：①从某社区70户高收入家庭、335户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．这两项调查宜采用的抽样方法是（）A①简单随机抽样，②分层抽样 B.①分层抽样，②简单随机抽样C.①②都用简单随机抽样 D.①②都用分层抽样二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点，，处测得阁顶端点的仰角分别为，，.且米，则滕王阁高度___________米.14．若方程表示的曲线是圆，则实数的k取值范围是___________.15．已知等差数列的通项公式为，那么它的前项和___________.16．已知正三棱柱中，底面积为，一个侧面的周长为，则正三棱柱外接球的表面积为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）（1）A类工人中和B类工人各抽查多少工人？（2）从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2：表1：生产能力分组人数48x53表2：生产能力分组人数6y3618①先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）图1A类工人生产能力的频率分布直方图图2B类工人生产能力的频率分布直方图18．（12分）某校高三年级进行了一次数学测试，全年级学生的成绩都落在区间内，其成绩的频率分布直方图如图所示，若（1）求a，b的值；（2）若成绩落在区间内的人数为36人，请估计该校高三学生的人数19．（12分）如图，在三棱柱中，四边形为矩形，，，点E为棱的中点，.（1）求证：平面平面；（2）求平面AEB与平面夹角的余弦值.20．（12分）已知数列满足，.（1）证明：数列为等差数列.（2）求数列的前项和.21．（12分）已知椭圆C与椭圆有相同的焦点，且长轴长为4（1）求C的标准方程；（2）直线，分别经过点与C相切，切点分别为A，B，证明：22．（10分）已知，C是圆B：（B是圆心）上一动点，线段AC的垂直平分线交BC于点P（1）求动点P的轨迹的方程；（2）设E，F为与x轴的两交点，Q是直线上动点，直线QE，QF分别交于M，N两点，求证：直线MN过定点

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由等比中项的性质可得，分别计算曲线的离心率.【详解】由是和的等比中项，可得，当时，曲线方程为，该曲线为焦点在轴上的椭圆，离心率，当时，曲线方程为，该曲线为焦点在轴上的双曲线，离心率，故选：B.2、D【解析】根据复数在复平面内的坐标表示可得答案.【详解】解：由题意得：在复平面上对应的点为，该点在第四象限.故选：D3、A【解析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】2秒后质点所处的位置为.故选：A【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，考查了基本知识掌握的情况以及学生的综合素养，属于基础题.4、A【解析】先求出圆心和半径，求出圆心到坐标原点的距离，从而求出圆上的点到坐标原点的距离的最小值.【详解】变形为，故圆心为，半径为1，故圆心到原点的距离为，故圆上的点到坐标原点的距离最小值为.故选：A5、B【解析】求出样本的中心点，再利用回归直线必过样本的中心点计算作答.【详解】依题意，，则这个样本的中心点为，因此，，解得，所以实数m的值为6.故选：B6、B【解析】由已知可得，，求得关于直线的对称点为，则，计算即可得出结果.【详解】由题意可知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径设关于直线的对称点为，则解得，则因为，分别在圆和圆上，所以，，则因为，所以故选：B.7、B【解析】先得到从高二和高三年级抽取人，再利用分层抽样进行求解.【详解】设高一年级学生人数为，因为从三个年级中抽取一个容量为的样本，且高一年级抽取人，所以从高二和高三年级抽取人，则，解得，即高一年级学生人数为.故选：B8、D【解析】通过举反列即可得ABC错误，利用不等式性质可判断D【详解】A.当时，，但，故A错；B.当时，，故B错；C.当时，，但，故C错；D.若，则，D正确故选：D9、C【解析】分别取的中点，连接，利用棱柱的定义证明几何体是三棱柱，再证明平面PQR，得到三棱柱是直三棱柱求解.【详解】如图所示：连接,分别取其中点，连接，则，且，所以几何体是三棱柱，又，且，所以平面，所以，同理，又，所以平面PQR，所以三棱柱是直三棱柱，因为正方体的棱长为1，所以,所以直三棱柱的体积为，故选：C10、C【解析】将方程有解，转化为方程有解求解.【详解】解：因为方程有解，所以方程有解，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以实数a的取值范围为，故选：C11、B【解析】利用求解.【详解】解：因为等差数列，的前n项和分别是，所以.故选：B12、B【解析】通过简单随机抽样和分层抽样的定义辨析得到选项【详解】在①中，由于购买能力与收入有关，应该采用分层抽样；在②中，由于个体没有明显差别，而且数目较少，应该采用简单随机抽样故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设，由边角关系可得，，，在和中，利用余弦定理列方程，结合可解得的值，进而可得长.【详解】设，因为，，，所以，，，.在中，，即①.，在中，，即②，因为，所以①②两式相加可得：，解得：，则，故答案为：.14、【解析】根据二元二次方程表示圆的条件求解【详解】由题意，故答案为：15、【解析】由题意知等差数列的通项公式，即可求出首项，再利用等差数列求和公式即可得到答案.【详解】已知等差数列的通项公式为，..故答案为：.16、【解析】首先由条件求出底面边长和高，然后设、分别为上、下底面的的中心，连接，设的中点为，则点为正三棱柱外接球的球心，然后求出的长度即可.【详解】如图所示，设底面边长为，则底面面积为，所以，因此等边三角形的高为：，因为一个侧面的周长为，所以设、分别为上、下底面的的中心，连接，设的中点为则点为正三棱柱外接球的球心，连接、则在直角三角形中，即外接球的半径为，所以外接球的表面积为，故答案为：【点睛】关键点睛：求几何体的外接球半径的关键是根据几何体的性质找出球心的位置.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）25,75（2）①5,15，直方图见解析，B类②123，133.8，131.1【解析】（1）先计算抽样比为，进而可得各层抽取人数（2）①类、类工人人数之比为，按此比例确定两类工人需抽取的人数，再算出和即可．画出频率分布直方图，从直方图可以判断：类工人中个体间的差异程度更小②取每个小矩形的横坐标的中点乘以对应矩形的面积相加即得平均数.【详解】（1）由已知可得：抽样比，故类工人中应抽取：人，类工人中应抽取：人，（2）①由题意知，得，，得满足条件的频率分布直方图如下所示：从直方图可以判断：类工人中个体间的差异程度更小②，类工人生产能力的平均数，类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1【点睛】本题考查等可能事件、相互独立事件的概率、频率分布直方图的理解以及利用频率分布直方图求平均数等知识、考查运算能力18、（1）（2）人【解析】（1）由频率分布直方图的性质求得，结合，即可求得的值；（2）由频率分布直方图求得落在区间内的概率，进而求得该校高三年级的人数【小问1详解】解：由频率分布直方图的性质，可得：，可得，又由，可得解得；【小问2详解】解：由频率分布直方图可得，成绩落在区间内的概率为，则该校高三年级的人数为（人）19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据矩形及勾股定理的逆定理可得线面垂直的条件，再由平面，即可证明面面垂直；（2）建立空间直角坐标后，求出相关法向量，再用夹角公式即可.【小问1详解】证明：由三棱柱的性质及可知四边形为菱形又∵∴为等边三角形∴，又∵，∴，∴又∵四边形为矩形∴又∵∴平面又∵平面∴平面平面.【小问2详解】以B为原点BE为x轴，为y轴，BA为E轴建立空间直角坐标系，如图所示，，，，，，设平面的法向量为.则即∴，又∵平面ABE的法向量为，∴，∴平面ABE与平面夹角的余弦值为.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由结合等差数列的定义证明即可；（2）由结合错位相减法得出前项和.【小问1详解】在两边同时除以，得：，，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列；【小问2详解】由（1）得：，，①②①②得：所以.21、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）根据共焦点求出参数c，由长轴长求参数a，即可确定C的标准方程；（2）令过切线为，联立椭圆C结合得到关于k的一元二次方程，根据根与系数关系即可证明结论.【小问1详解】由题设，对于椭圆C有，又椭圆的焦点为，则，所以，故C的标准方程.【小问2详解】由题设，直线，的斜率必存在，令椭圆C的切线方程为，联立椭圆方程并整理可得：，由相切关系知：，整理得：，所以，即直线，相互垂直，则.22、（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据，利用椭圆的定义求解；（2）（解法1）设，得到，的方程，与椭圆方程联立，求得M，N的坐标，写出直线的方程求解；（解法2）上同解法1，由对称性分析知动直线MN所过定点一定在x轴上，设所求定点为，由C，D，T三点共线，然后由求解；（解法3）设，由，，设：，：，其中，与椭圆方程联立，整理得，由F，M，N三点的横坐标为该方程的三个根，得到：求解.【小问1详解】解：由题知，则，由椭圆的定义知动点P的轨迹为以A，B为焦点，6为长轴长的椭圆，所