专题51 图形折叠中的直角三角形存在性问题(解析版)

专题51图形折叠中的直角三角形存在性问题【题型演练】一、解答题1．如图，在平面直角坐标系中，直线为与x，y轴分别交于A，B两点，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．(1)点A坐标是，点B的坐标是．的长是．(2)求点C的坐标．(3)若点M是y轴上一动点，若，直接写出点M坐标．(4)在第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P坐标，若不存在，说明理由．【答案】(1)，5(2)(3)或(4)存在，点P的坐标为或或【分析】（1）利用一次函数解析式直接求出其图象与x轴和y轴的交点坐标，即为A，B的坐标，再根据两点的距离公式即可求出的长；（2）由折叠知，从而可求出．设，则．在中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x，即可求出C点坐标；（3）由三角形面积公式可求出．设，则，从而得出关于t的方程，解出t即可得出M点坐标；（4）分类讨论：①当，时，过点P作轴于点G．易证，得出，，从而得出；②当，时，过点P作轴于点H．由①同理可求出；③当，时，过点P作轴于点M，轴于点N．易证，得出，．即可设，得出，解出a，即得出P点坐标．【详解】（1）对于，令，则，解得：，∴．令，则，∴，∴．故答案为：，5；（2）由折叠知：，∴．设，则．∵在中，,∴，解得：，∴，∴；（3）∵，，∴．设，∴，∴，∴，解得：或20，∴或；（4）分类讨论：①当，时，如图，过点P作轴于点G．∴，，∴．即在和中，，∴，∴，∴，∴；②当，时，如图，过点P作轴于点H．由①同理可证，∴，∴，∴；③当，时，如图，过点P作轴于点M，轴于点N．∵，∴．∵，∴．又∵，，∴，∴，．∴可设，∴，，∴，解得：．∴；综上可知，存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或．【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，综合性强，较难．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．2．折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图1），怎样证明呢？把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处（如图2）．于是，由，，可得．【感知】(1)①如图2，在中，若，则．②如图2，在中，若，求证：；【探究】(2)若将图2中是角平分线的条件改成是高线，其他条件不变（图3），即在中，，请探索线段之间的等量关系，并说明理由．【拓展】(3)如图4，在中，，，点是边上的一个动点（不与重合），将沿翻折，点的对应点是点．若以为顶点的三角形是直角三角形，直接写出的长度【答案】(1)①；②见解析(2)，理由见解析；(3)或【分析】（1）①根据折叠的性质可得，根据三角形外角的性质，可得，即可求解；②根据折叠的性质与三角形外角的性质得出，根据等角对等边得出，进而根据等量代换可得结论；（2）结论，根据（1）②的方法证明即可；（3）根据折叠的性质，结合图形可知点不能为直角顶点，分两种情况讨论，①若，过点作于点，在中，，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解；②若，根据等腰三角形的性质与判定得出，即可求解．【详解】（1）解：①∵，，∴，∴，故答案为：；②证明：∵折叠，∴∵，又，∴，∴，∴，即；（2）解：，理由如下，如图，将沿折叠，∵，∴点落在上的点处，∴，，，∵，，∴∴，∴，即；（3）依题意，∵点在上，以为顶点的三角形若为直角三角形，则点不能为直角顶点，分两种情况讨论，①若，如图，过点作于点，∵，，∴，在中，，∴，设，则，在中，，，解得，即，②若，如图，∵，∴∴，，∴∴∴，综上所述，或【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，掌握折叠的性质是解题的关键．3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．(1)点A的坐标是_________，点B的坐标是__________，的长为_________；(2)求点C的坐标；(3)点M是y轴上一动点，若，直接写出点M的坐标；(4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)点M的坐标为或(4)点P的坐标为或或【分析】（1）直接利用直线求得点A和点B的坐标，则可得到的长，然后依据勾股定理可求得的长；（2）由折叠的性质可得到，利用可得D的坐标，然后依据勾股定理即可求解；（3）首先求出，进而得出，然后设出点M的坐标，建立方程求解即可；（4）分三种情况：①若；②若；③若，分别利用全等三角形的判定及性质求解即可．【详解】（1）令得：，∴，∴令得：，解得：，∴，∴，在Rt△OAB中，．故答案为：；（2）由折叠的性质可知，∴，设，则在中，，∴，解得：，∴，∴；（3）∵，，∴，设点M的坐标为，∴，解得或，∴点M的坐标为或；（4）存在，理由如下：①若，如图，过点P作交A于点G，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．∴此时点P的坐标为；②若，如图，过点P作交点H，同理可得，此时点P的坐标为；③若，如图，过点P作交OA于点M，交于点N，∵，∴，∵，∴，∴，∴，设点P的坐标为，∴，解得：，∴此时点P的坐标为，综上所述，点P的坐标为或或．【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，数形结合是解答本题的关键．

4．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点．(1)求直线的函数解析式；(2)将沿直线翻折得到，使点O与点C重合，与x轴交于点D．求证：；(3)在直线下方是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)见解析(3)，，【分析】（1）先将代入直线的解析式，求出A点坐标，再利用待定系数法求直线的函数解析式；（2）先利用两点间距离公式求出，推出．再利用折叠的性质得出，等量代换可得，根据内错角相等即可证明；（3）过点作，，过点作，，连接，，，与交于，可得四边形是正方形，则，，均为等腰直角三角形．分别求出，，的坐标即可．【详解】（1）解：直线与直线相交于点，，解得，，将，代入，得：，解得，直线的函数解析式为；（2）解：，，，，，．沿直线翻折得到，，，；（3）解：如图，过C作于M，，，，．由折叠的性质可知，，，．过点作，，过点作，，连接，，，与交于，则四边形是正方形，，，均为等腰直角三角形．作轴于N，，，，，又，，，，，，；四边形是正方形，是的中点，也是的中点，，，的横坐标为，纵坐标为，，，的横坐标为，纵坐标为，，综上，点P的坐标为：，，．【点睛】本题考查求一次函数解析式，折叠的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等，解题的关键是通过作图找出符合条件的P点的位置．5．在数学综合实践课上，老师让同学们探究等腰直角三角形中的折叠问题．如图，在中，，，点在边上运动，点在边上运动．(1)如图2，当沿折叠，点落在边的点处，且时，发现四边形是菱形，请证明；(2)如图3，奇异小组同学的折叠方法是沿折叠，点落在点处，延长交于点，，点在边上运动，沿折叠使点落在线段的中点处，求线段的长；(3)沿折叠，点的对应点恰好落在边的三等分点处，请借助图探究，并直接写出的长．【答案】(1)见解析；(2)；(3)或．【分析】（1）根据折叠的性质得出，，，进而证明，即可得证；（2）勾股定理求得，根据平行线分线段成比例得出，设，则，由折叠可知：，，根据题意得出，证明，根据相似三角形的性质求得，代入即可求解；（3）分情况讨论，①当时，②当时，根据勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：（1）由折叠可知：，，又∵

∴

∴

∴

∴

∴四边形是菱形．（2）在中，

∴

∵，

∴设，则

由折叠可知：，

又∵为中点∴

∴

∵

∴∴

即

∴

∴∴线段DF的长为．（3）①当时，如图设，则

在中，

∴，即②当时，如图．设，则

在中，

∴

∴

综上，BD的长为或．【点睛】本题考查了菱形的判定，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．6．定义：若，，是的三边，且，则称为“方倍三角形”．(1)对于①等边三角形，②直角三角形，下列说法一定正确的是________．A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”D.①②都一定不是“方倍三角形”(2)若是“方倍三角形”，且斜边，则该三角形的面积为________；(3)如图，中，，，为边上一点，将沿直线进行折叠，点落在点处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的长．【答案】(1)A(2)(3)【分析】（1）直接利用“方倍三角形”的定义对等边三角形和直角三角形分别判断即可；（2）根据勾股定理和“方倍三角形”的定义求得直角三角形的三边长，即可求得直角三角形的面积；（3）根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，据此求解即可求得结论．【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等，设边长为a，则，根据“方倍三角形”定义可知：等边三角形一定是“方倍三角形”；对于②直角三角形，三边满足关系式：，根据“方倍三角形”定义可知：直角三角形不一定是“方倍三角形”；故选：A；（2）解：设，，，，，，，；故答案为：；（3）解：为“方倍三角形”，，，，即为等边三角形，，，，，，，，，即为等腰直角三角形，，．【点睛】本题考查了翻折变换、等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质以及“方倍三角形”的定义．7．如图，在中，，，，P是线段上一动点，将沿直线折叠，使点B落在点D处，交于点E，连结．(1)求的长．(2)若，求证：．(3)当是直角三角形时，求所有符合条件的长．【答案】(1)(2)见解析(3)或【分析】(1)根据等角对等边及折叠的性质，即可求得；(2)根据折叠的性质，平行线的性质及等角对等边，即可证得，，据此即可证得结论；(3)分两种情况：当，设，根据勾股定理列方程即可求得；当，过点C作于点H，根据直角三角形的性质，平行线的性质及三角形外角性质，可证得，即可得，据此即可求得．【详解】（1）解：，．由折叠知，；（2）证明：，，．，，，，，，即；（3）解：设．①当，如图1．此时，．，．由，得：，解得，即；②当，如图2，作于点H．由①知，．，，，，，，，．综上所述，当是直角三角形时，或．【点睛】本题考查了等角对等边，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，三角形外角的性质，平行线的性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．8．在中于点．(1)如图1，若的角平分线交于点，，，求的度数；(2)如图2，点、分别在线段、上，将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，点、均在直线上，若，试猜想与之间的数量关系，并简要说明理由；(3)在（2）小题的条件下，将绕点逆时针旋转一个角度，记旋转中的为（如图3）．在旋转过程中，直线与直线交于点，与直线交于点．若，是否存在这样的、两点，使为直角三角形？若存在，请直接写出旋转角的度数；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)存在，旋转角的度数为或，理由见解析【分析】（1）利用三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解决问题；（2）结论：．由翻折可知，，由得出，再根据三角形外角的性质可得出，从而得出结论；（3）分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】（1）解：如图，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，又∵平分，∴，∴，∴．∴的度数为．（2）结论：．理由：如图，由翻折可知，，∵，，∴，∴，∵，∴，即，∴．（3）①当时，∴，∵将折叠，点落在点处，折痕为，将绕点逆时针旋转一个角度，∴，∴，∴，∴；②当时，∵将折叠，点落在点处，折痕为，将绕点逆时针旋转一个角度，∴，∴，∵，∴，∴，∴．综上所述，旋转角的度数为或．【点睛】本题考查三角形综合题，旋转变换，翻折变换，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．9．如图，在中，，点P是射线上的任意一点（不与点C重合），，连接，将沿AP向右翻折，得到，连接．(1)当，时，的度数为，的度数为；(2)在图1中，点P在BC边上，猜想与的数量关系，并说明理由；(3)当点P在边的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立吗？请直接作出判断，不必说明理由．【答案】(1)或，(2)，理由见解析(3)仍然成立【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出，分点P在BC边上和点P在边的延长线上两种情况，利用折叠的性质和角的和差关系即可求解；（2）设,,利用三角形内角和定理可得，利用折叠的性质可得，，进而得出，可得；（3）采用（2）中的方法，可证仍然成立．（1）解：∵在中，，，∴，∴，当点P在BC边上时，，根据折叠的性质可知：，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，同理，当点P在边的延长线上时，，根据折叠的性质可知：，，，∵，∴，∴，综上，的度数为或，的度数为；（2）解：，理由如下：如图，设,,则,∴，由折叠的性质可，，，，∴，∴，∴，∴；（3）解：点P在边的延长线上时，（2）中的结论仍然成立．如图，设,,则,∴，由折叠的性质可，，，，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查折叠的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、角的和差关系等知识点，掌握折叠前后“对应边相等、对应角相等”是解题的关键．10．如图1，在△ABC中，BC＝6，P是BC边的一点，且不与B，C重合，将△APB沿AP折叠得，过点C作AP垂线，垂足为D，连接．(1)AB和的数量关系是，AP与的位置关系是；(2)如图2，当四边形是平行四边形时，求BP的长；(3)在（2）的条件下，若BD＝CD，求证：．【答案】(1)，(2)2(3)详见解析【分析】（1）由轴对称的性质即可得到，；（2）延长AP交于E，由△APB沿AP折叠得，有，根据四边形是平行四边形，可得＝＝，即得BP＝BC＝2；（3）连接交BC于G，由勾股定理可得CD＝2，再求出DP＝＝2，BE＝，PE＝＝1，在中，，可得，中，可得，从而，而，即可证得．（1）解：∵△APB沿AP折叠得，∴直线AP是的对称轴，∴，故答案为：AB＝AB'，AP⊥BB'；（2）延长AP交于E，作CP中点T，PD中点K，连接KT，则KT是△PCD的中位线，如图：∵△APB沿AP折叠得，∴，即，∵四边形是平行四边形，∴，∵KT是△PCD的中位线，∴，KT＝CD，

∴BE＝KT，，∴∠PBE＝∠PTK，∠PKT＝∠PEB，∴△BEP≌△TKP（ASA），∴BP＝PT，∴BP＝PT＝CT＝BC，而BC＝6，∴BP＝BC＝2；（3）连接交BC于G，如图：由（2）知：四边形是平行四边形，BP＝2，∴PC＝BC﹣BP＝4，∵BD＝CD，∴四边形是菱形，∴，BG＝CG＝BC＝3，∵CD⊥AP，∴∠DGC＝∠PDC＝90°，由勾股定理可得，，∴，即，解得DG＝（负值舍去），∴CD＝2，DP＝2，由（2）知：，∴BE＝，在Rt△BPE中，PE＝＝1，∴DE＝DP+PE＝3，

Rt△ABE中，，∴，Rt△ADC中，，∴，而，∴．【点睛】本题考查对称变换，涉及平行四边形、菱形的性质与判定，勾股定理的应用等知识，解题的关键是勾股定理的灵活运用，表达出．11．已知，如图1，在中，，将沿翻折至，连接．(1)求证：；(2)若点在直线下方，如图2，，，求的长；(3)在翻折过程中，若为直角三角形，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)(3)的值为或或或【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出，再根据折叠的性质，得出，再根据等量代换，即可得出结论；（2）首先设与的交点为，根据平行四边形的性质，得出，，再根据折叠的性质，得出，，，根据等量代换，得出，，再根据，可得，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等角对等边，得出，再根据三角形的内角和为，得出，然后再根据直角三角形所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据直角三角形的勾股定理，得出，再根据线段的关系，得出，再利用等量代换，得出，进而算出，然后再利用，即可得出结果；（3）根据题意，分四种情况，利用直角三角形的性质，分别进行讨论，即可得出结果．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，又∵沿翻折至，∴，∴．（2）解：如图，设与的交点为，∵四边形是平行四边形，∴，，∵沿翻折至，∴，，，∴，，又∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，又∵，∵，∴，解得：，∴．（3）解：如图，当时，∵，∴，由（2）可知，，∴，∴，∴，∴．如图，当时，同理可得：．如图，当，点在的上方时，过点作，交于，∵四边形是平行四边形，，∴，∴，∵沿翻折至，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴．如图，当，点在的下方时，同理可得：．综上可得：的值为或或或．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等量代换，全等三角形性质与判定，直角三角形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关性质和找出所有符合条件的情况．12．在中，，点D是BC边上一点，将沿AD折叠后得到，射线AE交射线CB于点F．(1)当点D在线段BC上时，①如图1，若，说明；②如图2，若，请判断与的数量关系，并说明理由；(2)若，，求的度数．【答案】(1)①见解析；②，证明见解析(2)或【分析】（1）①根据平行线的性质和折叠的性质即可证得；②利用互余的性质和折叠的性质可证；（2）分两种情况：（ⅰ）若点在线段上；若点在延长线上，利用翻折变换的性质进行求解即可．（1）①∵，∴．∵，∴．由折叠可得，∴，∴，即．②．理由：∵，∴，即，由折叠可得，∴．∵，，∴．由折叠可得，∴，化简得，，即．（2）解：∵，∴．∵，∴，．（ⅰ）若点在线段上，由折叠可得，∵，∴．∵，，∴．∴．由折叠可得．（ⅱ）若点在延长线上，由折叠可得，∴．∵，∴．∴，由折叠可得．综上所述，或．【点睛】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．13．【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想．【问题解决】(1)小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：四边形是矩形，∴．由折叠可知，，．∴．∴．请你补全余下的证明过程．【结论应用】(2)的度数为________度，的值为_________；(3)在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为_________．（用含a的代数式表示）【答案】(1)见解析(2)22.5°，(3)【分析】（1）根据折叠的性质可得AD=AF，，由HL可证明结论；（2）根据折叠的性质可得证明是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而可得结论；（3）根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，求出PR=AR=，求出DR，根据勾腰定理可得结论．【详解】（1）证明：四边形是矩形，∴．由折叠可知，，．∴．∴．由折叠得，，∴∴又AD=AF，AG=AG∴（2）由折叠得，∠又∠∴∠由得，∠∠又∠∴∠∴∠∴设则∴∴∴（3）如图，连接∵∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；过点P作交AD于点R，∵∠∴∠∴又∴∴在中，∴∴的最小值为【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．14．如图，ABCD为一长方形纸片，E为BC上一点，将纸片沿AE折叠，B点落在长方形外的F点．(1)如图1，当∠BEA＝35°时，∠FAD的度数为．（直接填空）(2)如图2，连BD，若∠CBD＝25°，AFBD，求∠BAE；(3)如图3，当AFBD时，设∠CBD＝，请你求出∠BAE的度数．（用表示）【答案】(1)20°(2)57.5°(3)【分析】（1）先求出∠BAE的度数，然后根据翻折得出∠FAE的度数，再根据平行线的性质求出∠DAE的度数，即可得出结论；（2）先根据AD∥BC，∠CBD=25°得出∠ADB=25°，再由AF∥BD得出∠FAD=25°，故可得出∠AGF的度数，由平行线的性质得出∠BEF的度数，根据翻折变换的性质得出∠BEA的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论；（3）同（2）的证明过程即可．【详解】（1）解：由题意知ADBC，∠B=90°，又∠BEA＝35°，∴∠BAE=55°，∵翻折，∴∠FAE=∠BAE=55°，∵ADBC，∴∠EAD=∠BEA=35°．∴∠FAD=∠FAE-∠EAD=20°故答案为：20°；（2）解∶如图2，∵ADBC，∠CBD=25°，∴∠ADB=25°．∵AFBD，∴∠FAD=25°，∴∠AGF=90°-25°=65°．∵ADBC，∴∠BEF=∠AGF=65°．∵△AEF由△AEB反折而成，∴∠BEA=∠BEF=32.5°，∴∠BAE=90°-32.5°=57.5°；（3）解∶如图3，∵ADBC，∠CBD=，∴∠ADB=．∵AFBD，∴∠FAD=，∴∠AGF=．∵ADBC，∴∠BEF=∠AGF=．∵△AEF由△AEB反折而成，∴∠BEA=∠BEF=，∴∠BAE=．故答案为：．【点睛】本题考查的是平行线的性质与翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．15．【探究与应用】我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形ABCD中，，将△ABC沿直线AC翻折至△AEC，连结DE，则AC∥ED．(1)如图1，若AD与CE相交于点O，证明以上个结论；(2)如图2，AD与CE相交于点O，若，，，求△AOC的面积；(3)如果，，当A、C、D、E为顶点的四边形是正方形时，请画图并求出AC的长；(4)如果，，当△AED是直角三角形时，直接写出BC的长．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)或2；图形见解析；(4)或或【分析】（1）由平行四边形的定义可得AD∥BC，AD=BC，由折叠的性质可得∠ACB=∠ACE，BC=CE，于是可得△OAC、△ODE是等腰三角形，利用对顶角相等求得∠OCA和∠OED即可证明；（2）设OD=x，由（1）解答可得OD=OE=x，由折叠的性质可得OC=2-x，由∠B=90°可得ABCD是矩形，Rt△ODC中由勾股定理建立方程求得x，进而求得OA即可解答；（3）分∠ACB=45°和∠ACB=90°两种情况作出图形，再根据正方形的性质计算求值即可；（4）分∠ACB=60°，∠ACB=90°和∠ACB=30°，三种情况，根据30°直角三角形的边长关系和勾股定理计算求值即可；【详解】（1）证明：∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∴∠OAC=∠ACB，∵∠ACB=∠ACE，∴∠OAC=∠OCA，∴OA=OC，∠OCA=（180°-∠AOC），∵BC=CE，BC=AD，∴AD=CE，∴AD-OA=CE-OC，∴OE=OD，∴∠OED=（180°-∠EOD），∵∠AOC=∠EOD，∴∠OCA=∠OED，∴AC∥DE；（2）解：设OD=x，由（1）解答可得OD=OE=x，∵CE=CB=2，∴OC=2-x，∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=，AD=BC=2，∠ADC=90°，Rt△ODC中，OC2=OD2+CD2，∴（2-x）2=x2+2，∴x=，∴OA=AD-OD=，∴△OAC面积=OA•CD=；（3）解：①如图，∠ACB=45°时，∠B=45°，AB=AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=45°，则∠BCD=135°，∴∠ACD=90°，∵∠BAC=180°-∠B-∠ACB=90°，AC∥ED，∴∠AED=90°，∠CDE=90°，∴四边形ACDE是矩形，∵AB=AC=AE，∴四边形ACDE是正方形，∵CE=CB=2，∴AC2+AE2=CE2，∴AC=；②如图，∠ACB=90°时，∠B=∠BAC=45°，CA=CB，∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=45°，则∠BAD=135°，∴∠CAD=90°，∵AC∥ED，∴∠ADE=90°，∠CED=90°，∴四边形ACDE是矩形，∵BC=CE=CA，∴四边形ACDE是正方形，∴AC=2；∴AC=或2；（4）解：①如图，∠ACB=60°时，∠B=30°，则∠BAC=90°，∴∠CAE=90°，∵AC∥DE，∴∠AED=90°，则△AED是直角三角形，Rt△ABC中，AB=3，BC=2AC，∴BC2=AB2+AC2=9+BC2，BC=；②如图，∠ACB=90°时，∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=30°，则∠BAD=150°，∵∠BAC=90°-∠B=60°，∴∠CAD=90°，∵AC∥DE，∴∠ADE=90°，则△AED是直角三角形，Rt△ABC中，AB=3，AC=，∴BC==，③如图，∠ACB=30°时，作AH⊥BC于点H，由四边形ABCD是平行四边形得AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=30°，∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=120°，由折叠的性质可得∠EAC=∠BAC=120°，∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=90°，则△AED是直角三角形，Rt△ABH中，AB=3，AH=，∴BH=，∠B=∠ACB=30°，AH⊥BC，则BH=HC=BC，∴BC=2BH=，综上所述BC的长为：或或.【点睛】本题考查了特殊平行四边形的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，含30°直角三角形，勾股定理等知识；正确作出图形并分类讨论是解题关键．16．小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得．(1)问题解决：如图①，当，将沿翻折后，使点与点重合，则______；(2)问题探究：如图②，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；(3)拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值．【答案】(1)(2)(3)作图见解析，【分析】（1）根据等边三角形的性质，平行四边形的性质可得，根据特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据折叠的性质即可求得，由三角形内角和定理可得，根据点在边上，当时，取得最小值，最小值为；（3）连接，设，则，，在中，，延长交于点，在中，，进而根据，即可求解．【详解】（1），是等边三角形，四边形是平行四边形，，，为边上的高，，（2），，是等腰直角三角形，，，，，，，，，是等腰直角三角形，为底边上的高，则点在边上，当时，取得最小值，最小值为；（3）如图，连接，，则，设，则，，折叠，，，，，，，，，，，在中，，，延长交于点，如图，，，，，，在中，，，．【点睛】本题考查了轴对称的性质，特殊角的三角函数值，解直角三角形，勾股定理，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．17．在中，点E是BC的中点，点F在AD上．将四边形ABEF沿EF折叠，得到四边形．(1)利用图1，求证：；(2)如图2，连接BD，若，，，当点落在BD上时，求EF的长；(3)如图3，当点恰好落在线段CD上时，求证：直线与直线CD重合．【答案】(1)见解析(2)(3)见解析【分析】(1)利用折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线判定定理，也可以运用折叠的性质，构造三角形中位线定理证明．（2）设EF与BD相交于点O．运用勾股定理，三角函数，中位线定理求解即可．(3)运用经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，证明即可．(1)解：（1）证法一：由折叠的性质可知：，．∴．∵E是BC的中点，∴．∴．∴．∴．证法二：设EF与相交于点G．由折叠的性质可知：G是的中点．又∵E是BC的中点，∴GE是的中位线．∴．即．(2)设EF与BD相交于点O．由折叠的性质可知：O是的中点，．由（1）得．∴．∵四边形ABCD是平行四边形，∴若，∠BDC＝∠ABD＝45°．∴，．∴．在中，由勾股定理得．∵E是BC的中点，O是的中点，∴，．∴．∵四边形ABCD是平行四边形，∴．∴，即．．(3)证法一：连接交直线EF于点M．由折叠知：．连接BM并延长交直线CD于点H．∵四边形ABCD是平行四边形，点在CD上，∴．∴，．∴．∴BM＝HM．又∵E是BC的中点，∴EM是△BCH的中位线．∴，即．由（1）得．∵过点C有且只有一条直线与EF平行，∴点在直线CD上．∴直线与直线CD重合．证法二：连接并延长交直线AB于点K，连接AE．∵四边形ABCD是平行四边形，点在CD上，∴．∴，．∵BE＝CE，∴．∴．由折叠知：，．∴．∴∵过点有且只有一条直线与AB平行，∴直线与直线重合．即直线与直线CD重合．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，是三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，三角函数的应用，熟练掌握平行四边形的性质，折叠性质，三角函数，勾股定理是解题的关键．18．模型探究：如图1，D、E、F分别为三边BC、AB、AC上的点，且．（1）与相似吗？请说明理由；模型应用：为等边三角形，其边长为8，E为AB边上一点，F为射线AC上一点，将沿EF翻折，使A点落在射线CB上的点D处，且．（2）如图2，当点D在线段BC上时，求的值；（3）如图3，当点D落在线段CB的延长线上时，求与的周长之比．【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）与的周长之比为【分析】（1）根据三角形的内角和得到，即可证明；（2）①设，，根据等边三角形的性质与折叠可知，，，根据三角形的内角和定理得，即可证明，故，再根据比例关系求出的值；②同理可证，得，得，再得到，再根据相似三角形的性质即可求解.【详解】解（1），理由：，在中，，，，，，，；（2）①设，，是等边三角形，，，由折叠知，，，，在中，，，，，，，，，，，，，，，，；②设，，是等边三角形，，，由折叠知，，，，在中，，，，，，，，，，，，，，，，与的周长之比为.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质.19．综合与实践：如图1，已知正方形纸片ABCD．实践操作第一步：如图1，将正方形纸片ABCD沿AC，BD分别折叠．然后展平，得到折痕AC，BD．折痕AC，BD相交于点O．第二步：如图2，将正方形ABCD折叠，使点B的对应点E恰好落在AC上，得到折痕AF，AF与BD相交于点G，然后展平，连接GE，EF．问题解决（1）的度数是______；（2